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黑龙江省大庆实验中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


大庆实验中学 2012—2013 学年度第一学期期末考试

高二数学(理)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数 字之和为奇数的概率是( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

2.如下图,是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统 计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,4

D.85,1.6 )

3.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ,则 BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为(

A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

4. 若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6, p 的值为 则 ( ) A. 2 B. 18 C. 2 或 18 D. 4 或 16 5.过点 (0,1) 且与曲线 y ?

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 6.在 2012 年 12 月 30 日那天,大庆市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进 行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8
[]

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线垂直的直线方程为( ) x ?1 B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

10.5 6

11 5

由 散点图 可知 ,销售量 y 与价格 x 之间 有较强的 线性相 关关系 ,其 线性 回归直 线方程 是: y ? ?3.2 x ? a ,则 a =( ) A.24 B.35.6 C.40.5 D.40 7. 已知椭圆的中心为原点,离心率 e ? 此椭圆方程为( )

3 ,且它的一个焦点与抛物线 x2 ? ?4 3 y 的焦点重合,则 2

x2 ? y2 ? 1 A. 4

x2 y 2 ? ?1 B. 4 16

y2 ?1 C. x ? 4
2

x2 y 2 ? ?1 D. 16 4

8. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的

角等于( ) A. 30°

B. 45°

C.60°

D.90°

9. 已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 a2 b2


于 A, B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A. ?1,1 ?

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ?1 ?

? ? ?

? 2 ,?? ? ? 2 ?
3

C. 1 1 ? 2 ,

?

?
3

D. 1 ? 2 ,??

?

?

10. 右面的程序框图表示求式子 2 3 × 5 × 113 × 23 × 47 × 95 的值, 则判断框内可以填的条 件为( A. B. C. D. )

3

3

i ? 90 ? i ? 100 ? i ? 200 ? i ? 300 ?

开始 S=1,i =2 否

11.已知点 p 是双曲线

x y ? 2 ? 1 右支上的一点, F1 、 F2 分别是双曲线的 2 a b

2

2

是 S = S×i
3

左、 右焦点,I 是 ?PF F2 的内心,S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2 成立, ? ?( ) 则 1

i =2 i + 1 输出 S 结束

a 2 ? b2 A. 2a

B.

a a 2 ? b2

b C. a

a D. b

12. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于 (1, 0) 对称, 且当 x? ? ??,0? 时,f ( x) ? xf ?( x) ? 0 (其 中 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数) ,若

1? ? a ? ? 30.3 ? ? f ? 30.3 ? , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? , c ? ? log3 ? ? 9? ?
( ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a

1? ? f ? log3 ? ,则 a, b, c 的大小关系是 9? ?
D. a ? c ? b

C. c ? a ? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.命题“ ?x ? (1,2), x 2 ? mx ? 4 ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围为 __________. 14.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:20~7:20 之间把报纸 送到你家,你父亲离 开家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间,则你父亲在离 开家前能得到报纸的概率是______.

15.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , a ? R ,若函数 f (x ) 在 ?1,2? 上是减 函数,则实数 a 的取值范围是________. 16.如图 ?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面

BCD , AB ? 平面BCD , AB ? 2 3 ,则点 A 到平面 MBC 的距离是
__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出过程) 17. (本小题满分 10 分)已知命题 p : x2 ? 8x ? 20 ? 0, q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) , 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.
P

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 是正方形, PD ? 底面ABCD, PD ? DC ,点 E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F . (1)求证: PA // 平面EDB ; (2)求证: PB ? 平面EFD ; (3)求二面角 C ? PB ? D 的大小.
A D C F E

B

19. (本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? 3 同时满足以下条件: ① f (x) 在 ? 0,1? 上是减函数, ?1, ?? ? 上是增函数; ② f ?(x) 是偶函 在 数;③ f (x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (1) 求函数 y ? f (x) 的解析式; (2) 若方程 f ( x) ? m ? 0 有 3 个不同的实根,求实数 m 的取值范 围. 20. (本小题满分 12 分)某培训班共有 n 名学生,现将一次某学科考试成绩(单位:分)绘制成频率 分布直方图,如图所示.其中落在 [80,90) 内的频数为 36. (1) 请根据图中所给数据,求出 a 及 n 的值; (2) 从如图 5 组中按分层抽样的方法选取 40 名学生的成绩作为一个样本,求在第一组、第五组(即

?50, ? , ?90, ? )中分别抽取了几名学生的成绩? 60 100

(3) 在(2)抽取的样本中, 从由第一组和第五组抽取来的成绩中随机抽取 2 名学生的成绩, 求所抽取 2 名学生成绩的平均分不低于 70 分的概率. 21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知 A1 ? 2,0 , A2 若实数 ? 使得 ?2 OM ? ON ? A1 P ? A2 P ( O 为坐标原点). (Ⅰ) 求 P 点的轨迹方程; (Ⅱ) 当 ? ?

?

? ?

2,0 , P?x, y ?, M ?x,1?, N ?x,?2? ,

?

2 时,是否存在过点 B?0,2? 的直线 l 与(Ⅰ)中 P 点的轨迹交于不同的两点 E, F 2

( E 在 B, F 之间) ,且

S ?OBE ? 1 . 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. S ?EOF
1? x ln x . a(1 ? x)

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

(1)设 a=1,讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若对任意 x ? (0,1) , f ( x) ? ?2 ,求实数 a 的取值范围.

理科数学参考答案
一、选择题:DDDCD DCCCB BC

二、填空题:13. (??,?5] 三、解答题:

14.

17 18

15. a ? ?

7 2

16.

2 15 5
??????2 分

17.解:由 x ? 8x ? 20 ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 10 ,
2

即命题 p 对应的集合为 A ? {x x ? ?2 或 x ? 10} , 由 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ? [ x ? (1 ? m)] ? [ x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0)

? x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m(m ? 0)
即命题 q 对应的集合为 B ? {x x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m, m ? 0}, ??????5 分 因为 p 是 q 的充分不必要条件,知 A 是 B 的真子集. ??????7 分

?m ? 0 ? 故有 ?1 ? m ? ?2 ,解得 0 ? m ? 3 . ?1 ? m ? 10 ?

即实数 m 的取值范围是 (0,3] .??10 分

18. 解:如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,设 DC ? 1 . (1) PA ? (1,0,?1) , EG ? ( ,0,? ) ,所以 PA ? 2 EG ,即 PA // EG ,因此, PA // 平面EDB .?4 分
P

1 2

1 2

z

(2) PB ? (1,1,?1) , DE ? (0,

1 1 , ) ,故 2 2
F E

PB ? DE ? 0 ?
所以

1 1 ? ? 0 ,所以 PB ? DE . 又 PB ? EF , 2 2

D
G

c

y

A B

x
PB ? 平面EFD
(3)由(2)知 PB ? DF ,故 ? EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角。 ??????8 分

, , 设 F ( x,y,z ) ,则 PF? x,y,z - 1 . 因为 PF ? k PB ,所以 ( x,y,z ? 1) ? k(11 - 1) ,即 ( )
x ? k,y ? k,z ? 1 - k .

所以 PB ? DF ? (11 - 1) ? k, k,1- k) k ? k ? ?1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 ,所以 k ? , ( , ?

1 1 1 2 , F ( , , ) .又点 点 3 3 3 3

1 1 1 1 1 E (0, , ) ,所以 FE ? - , , ) cos?EFD ? ( .故 2 2 3 6 6

1 1 1 1 1 2 (? , , ) ? (? , , ) ? ? ? 3 6 6 3 3 3 ? 1 ,所以 2 6 6 ? 6 3
??????12

?EFD ? 60? ,即二面角 C ? PB ? D 的大小为 60 ?
分 19. 解:(1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c

??????1 分

( ? 上是增函数,? f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 . ??3 分 ? f ( x)在(0, 上是减函数,在 1, ?) 1)
由 f (x) 是偶函数,得 b ? 0 . 又 f (x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直, f ?(0) ? c ? ?1. ??????4 分 ??????5 分 ??????6 分

?a ?

1 1 3 ,即 f ( x ) ? x ? x ? 3 . 3 3

(2)方程化为 m ? f (x) .
2 ( 1) - ( ? 令 f ?( x) ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,? f (x) 在 (??,1) 和 1, ?) 上增,在 - 1, 上减,

2 1 ? f 极大值 ( x) ? f (?1) ? 3 , f 极小值 ( x) ? f (1) ? 2 ??????10 分 3 3 1 2 由图象可知,当 2 ? m ? 3 时, y ? m 与 y ? f (x) 的图象有 3 个交点,即方程 f ( x) ? m ? 0 有 3 3 1 2 3 . 3 个不同的实根,故 m 的取值范围是 (2 , ) ??????12 分 3 3
20. 解:(1)第四组的频率为: 1? 0.05 ? 0.225 ? 0.35 ? 0.075 ? 0.3 ,? a ? 分 (2) 个. 第 一 组 应 抽 :
0.05? 40 ? 2
0.3 36 ? 0.03 , n ? ? 120 .??4 10 0.3















:

0.075? 40 ? 3

??????8 分

(3)设第一组抽取的 2 个分数记作 A1 , A2 ,第五组的 3 个记作 B1 , B2 , B3 ,那么从这两组中抽取 2 个 有: A1 A2 , A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , B1 B2 , B1 B3 , B2 B3 10 种,其中平均分不低于 70 分有 9 种,所以概 率为: P ?
9 . 10

? ??????12 分

21. 解:(Ⅰ) 化简得: 1 ? ?2 x 2 ? y 2 ? 2 1 ? ?2 (Ⅱ)? ? ?

?

?

?

?

???????? 4 分

x2 2 ? y 2 ? 1 . 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,则 ,? P 点轨迹方程为 2 2
由已知得

S?OBE : S?OBF ? x1 : x2

x1 S ?OBE 1 x1 ? 1 ,? ? ? 1. ? 1 ,则 x 2 ? x1 2 x2 S ?OBF ? S ?OBE
????????? 6 分

设直线 EF 直线方程为 y ? kx ? 2 ,联立方程可得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 6 ? 0

?

?

? ? 0,? k 2 ?

x1 x 3 ? 1 , ? x1 , x2 同号,? x2 x2 2
????????? 8 分

x1 ? x 2 ? ?


8k 6 , x1 x 2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

x1 ?x ? x2 ? ?m ? 1?2 32k 2 ? 9 ? , ? 3 ? k 2 ? 27 , ? m ,则 1 ? ? ? ? 4, ? 2 10 x2 x1 x2 m 3 ? 6k 2 ? 2 ?
? 6 3 30 ? ? 3 30 6? ? ? ? ? 2 , 10 ? ? ? ? 10 ,? 2 ? . ? ? ? ?
1? x ln x ,定义域为 (0,1) ? (1,??) . 1? x
???????? 12 分

解得 k ? ?

22. 解: (Ⅰ) a ? 1 , f ( x) ?

1? x2 2 ln x ? 2 ln x 1? x x . f ?( x) ? ? ? 2 2 (1 ? x) x (1 ? x) (1 ? x)
设 g ( x) ? 2 ln x ?

???????2 分

1? x2 ? ( x ? 1) 2 ,则 g ?( x) ? . x x2

因为 x ? 0 , g ?( x) ? 0 ,所以 g (x) 在 (0,??) 上是减函数,又 g (1) ? 0 ,于是

x ? (0,1) , g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ; x ? (1,??) , g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 .
所以 f (x) 的增区间为 (0,1) ,减区间为 (1,??) . (Ⅱ)由已知 a ? 0 ,因为 x ? (0,1) ,所以 (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 .不合题意. (2)当 a ? 0 时, x ? (0,1) ,由 f ( x) ? ?2 ,可得 ln x ? ??????6 分

1? x ln x ? 0 . 1? x
??????8 分

2a (1 ? x) ? 0. 1? x

设 h( x) ? ln x ?

2a (1 ? x) x 2 ? (2 ? 4a) x ? 1 ,则 x ? (0,1) , h( x) ? 0 . h?( x) ? . 1? x x(1 ? x) 2

设 m( x) ? x 2 ? (2 ? 4a) x ? 1 ,方程 m( x) ? 0 的判别式 ? ? 16a(a ? 1) . 若 a ? (0,1] , ? ? 0 , m( x) ? 0 , h ?( x) ? 0 , h(x) 在 (0,1) 上是增函数, 又 h(1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) , h( x) ? 0 . ?????????10 分

若 a ? (1,??) , ? ? 0 , m(0) ? 1 ? 0 , m(1) ? 4(1 ? a) ? 0 , 所 以 存 在 x0 ? (0,1) , 使 得

m( x0 ) ? 0 ,对任意 x ? ( x0 ,1) , m( x) ? 0 , h?( x) ? 0 , h(x) 在 ( x0 ,1) 上是减函数,又 h(1) ? 0 ,
所以 x ? ( x0 ,1) , h( x) ? 0 .不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (0,1] . ?????????12 分


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