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江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题6


2016 年数学全真模拟试卷六
试题Ⅰ

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 已知集合 U ? ?1,,, 3 5 9? , A ? ?1,, 3 9? , B ? ?1, 9? ,则 ? U ( A U B) ? 【答案】{5} 2. 已知复数 z 满足 (z ? 2)i ? 1 ? i ( i 为虚数单位),则复数 z 的模是 ▲ . 【答案】 10 3. 已知函数 f ? x ? ? a 在 x ? 1 处的导数为 ?2 ,则实数 a 的值是 ▲ . x 【答案】2 4. 右图是某算法的流程图,则输出的 i 的值为 ▲ . 【答案】7 5. 有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 这 5 张扑克牌,现从中随机抽取 一张, 则抽到的牌为红心的概率是 ▲ . 【答案】 3 5 6. 某单位在岗职工 624 人,为了调查工人用于上班途中的时间, 决定采用系统抽样的方法抽取 10 % 的工人进行调查.首先 在总体中随机剔除 4 人,将剩下的 620 名职工编号(分别为 000,001,002,?,619) ,若样本中的最小编号是 007, 则样本中的最大编号是 ▲ 【答案】617 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知角 ? ? π 的终边经过点 P 1, 3 , 则a n t ? 的值为 4 【答案】 2 ? 3 8. 已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? 5 y ? 20 ,则 lg x ? lg y 的最大值为 ▲ . 【答案】1 9. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? k (k ? N* ) ,则 a2 k 的值为 ▲ .
1





开始 i←1 i←i ? 2 i2 ? 2i ? 63 ) Y 输出 i 结束
(第 4 题)

N



?

?

?

?

▲ .

【答案】6 10. 已知 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,则不等式 f ( x2 ? x) ? f (0) 的解 集为 ▲ . 【答案】 (0,1) 【解析】易得 f ( x2 ? x) ? 0 ,即 x 2 ? x ? 0 ,解得 x ? (0,1) . 11. 设向量 a ? ? cos25?, b ? ?sin 20?, 若 t 是实数,且 u ? a ? tb ,则 u 的最 sin 25 ? ?, cos20 ? ?,

小值为 ▲ .

【答案】 2 2 【解析】因为 u2 ? ? a ? tb ? ? a 2 ? t 2 b2 ? 2ta ? b ? 1 ? t 2 ? 2t sin 45? ? t 2 ? 2t ? 1≥ 1 ,所以 2
2

u 的最小

值为 2 . 2 12.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目: “在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 1 的左顶点为 A ,过点 A 作两 条斜率 之积为 2 的射线与椭圆交于 B , C ,?”
2 ②解:设 AB 的斜率为 k ,?点 B 1 ? 2k 2 , 2k 2 , D ? 5 , 0 ,?” 3 1 ? 2k 1 ? 2k

?

?

?

?

据此,请你写出直线 CD 的斜率为 ▲ . (用 k 表示) 【答案】
3k 2k 2 ? 4

2 2 【解析】 将点 B 1 ? 2k 2 , 2k 2 用 2 代替得点 C 的坐标 k 2 ? 8 , 24k , 从而直线 CD k 1 ? 2k 1 ? 2k k ?8 k ?8

?

?

?

?

的斜率 为
3k . 2k 2 ? 4

13.使“ a ? b ”成立的必要不充分条件是“ ▲ ” . (填上所有满足题意的序号) ① ?x ? 0 , a≤b ? x ; ② ?x≥0 , a ? x ? b ; ③ ?x≥0 , a ? b ? x ;
2

④ ?x ? 0 , a ? x≤b . 【答案】① 【解析】① ? ?x ? 0 , a ? b≤x ,从而 a ? b≤0 ,即 a≤b ; ② ? ?x≥0 , b ? a ? x ,从而 b ? a ? 0 ,即 a ? b ; ③ ? ?x≥0 , a ? b ? x ,从而 a ? b ? 0 ,即 a ? b ; ④ ? ?x ? 0 , b ? a≥x ,从而 b ? a ? 0 ,即 a ? b . 14. 在△ABC 中,已知 sinA=13sinBsinC,cosA=13cosBcosC,则 tanA+tanB+tanC 的值

为 ▲ . 【答案】196 【解析】 依题意 cosA ? sinA=13cosBcosC ? 13sinBsinC, 即 cosA ? sinA=13cos ? B ? C ? , 即 cosA ? sinA= ? 13cosA,所以 tanA ? 14 ,又易得 tanA=tanBtanC, 而 tanA+tanB+tanC ? tanAtanBtanC, 所以 tanA+tanB+tanC ? tan 2 A ? 196 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,AD// BC,且 AD=2BC,AD⊥CD,PA=PD,M 为棱 AD 的中点. (1)求证:CD//平面 PBM; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PBM. 证明: (1)因为 AD// BC,且 AD=2BC, 所以四边形 BCDM 为平行四边形, 故 CD// BM, 又 CD ? 平面 PBM,BM ? 平面 PBM, 所以 CD//平面 PBM; (6 分) (2)因为 PA=PD,点 M 为棱 AD 的中点, 所以 PM⊥AD, 又 AD⊥CD,CD// BM, 故 AD⊥BM, BP CP
(第 16 题)

P

AP

M P

D P

3

而 PM ? BM ? M ,

PM、BM ? 平面 PBM,
所以 AD⊥平面 PBM, 又 AD ? 平面 PAD, 所以平面 PAD⊥平面 PBM. (14 分)

16. (本题满分14分)

??? ? ???? 在△ABC 中, BC ? 6 , AB ? AC ? 2 .
(1)求证:△ABC 三边的平方和为定值; (2)当△ABC 的面积最大时,求 cosB 的值. ??? ? ???? 证明: (1)因为 AB ? AC ? 2 ,所以 AB ? AC ? cos A ? 2 .(3 分) 在△ABC 中,由余弦定理得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A , 即 ( 6)2 ? AB2 ? AC 2 ? 4 ,于是 AB 2 ? AC 2 ? 10 , 故 AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? 10 ? 6 ? 16 为定值.(6 分) 解: (2)由(1)知 AB 2 ? AC 2 ? 10 ,
2 2 所以 AB ? AC ≤ AB ? AC ? 5 ,当且仅当 AB ? AC 时取“=”号.(8 分) 2

因为 AB ? AC ? cos A ? 2 ,所以 cos A ? 从而 sin A ? 1 ? cos2 A ?

2 , AB ? AC

1?

4 .(10 分) AB2 ? AC 2

4 △ABC 的面积 S ? 1 AB ? AC ? sin A ? 1 AB ? AC ? 1 ? 2 2 AB2 ? AC 2
? 1 AB2 AC 2 ? 4 ≤ 1 25 ? 4 ? 21 ,(12 分) 2 2 2
当且仅当 AB ? AC 时取“?”号. 因为 AB 2 ? AC 2 ? 10 ,所以当 AB ? AC 时, AB ? AC ? 5 ,
BC 6 ? 30 故 cos B ? 2 ? .(14 分) AB 10 2 5

17. (本题满分 14 分) 某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为 E ? cv nT ,其中 v 为行进时相对于水 的速
4

度, T 为行进时的时间(单位:小时) , c 为常数, n 为能量次级数.如果水的速度为 4 km/h, 该生物探测器在水中逆流行进 200 km. (1)求 T 关于 v 的函数关系式; (2)(i)当能量次级数为 2 时,求该探测器消耗的最少能量; (ii)当能量次级数为 3 时,试确定 v 的大小,使该探测器消耗的能量最少. 解: (1)由题意得,该探测器相对于河岸的速度为 200 , T 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小 4 km/h,即 v ? 4 , 所以 200 ? v ? 4 ,即 T ? 200 , v ? 4 ; (4 分) T v?4
2 (2)(ⅰ) 当能量次级数为 2 时,由(1)知 E ? 200c ? v , v ? 4 , v?4

? 200c ?

? (v ? 4) ? 4?
v?4

2

? 200c ? ?(v ? 4) ? 16 ? 8? ? ? v?4 ? ?
? ? ≥200c ? ? 2 (v ? 4) ? 16 ? 8? v ? 4 ? ?
=3200c (当且仅当 v ? 4 ? 16 即 v ? 8 km/h 时,取等号) (9 分) v?4
3 (ⅱ) 当能量次级数为 3 时,由(1)知 E ? 200c ? v , v ? 4 , v?4

所以 E ? ? 200c ?

2v 2 (v ? 6) ? 0 得v ? 6, (v ? 4) 2

当 v ? 6 时, E ? ? 0 ;当 v ? 6 时, E ? ? 0 , 所以当 v ? 6 时, Emin = 21600c . 答:(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为 3200 c ; (ⅱ) v ? 6 km/h 时,该探测器消耗的能量最少. (14 分)

18. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:9x +y =m (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行 于坐标轴,且与椭圆 C 有两个交点 A,B,记线段 AB 的中点为 M. (1)求证:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;
2 2 2

5

(2)若直线 l 过点 m , m ,延长 OM 与椭圆 C 交于点 P. 3 问:四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求直线 l 的斜率;若不能,说明理由. (1)证明:设直线 l 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

?

?

?9 x12 ? y12 ? m2, ? 则? 2 ,两式相减得 9 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , 2 2 ? ?9 x2 ? y2 ? m ,
整理得

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? ?9 , ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

即 kOM ? k=-9,得证.(6 分) (2)四边形 OAPB 能为平行四边形.(8 分) 因为直线 l 过点 m , m ,且 l 不过原点且与椭圆 C 有两个交点,则 k>0,k ? 3, 3 由(1)得直线 OM 的方程为 y ? ? 9 x , k
?y ? ? 9 x, ? k 设点 P 的横坐标为 xP,由 ? 得, xP ? ?km ;(10 分) 2 2 2 3 k2 ? 9 ? ?9 x ? y ? m

?

?

(3 ? k )m 将点 m , , m 的坐标代入 l 的方程 y ? kx ? b 得 b ? 3 3

?

?

因此 xM ?

k ( k ? 3)m , (12 分) 3? k 2 ? 9?

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分, 即 xP=2xM,于是

?km ? 2 ? k ( k ? 3)m , 3? k 2 ? 9? 3 k2 ? 9

解得 k1 ? 4 ? 7 , k2 ? 4 ? 7 , 所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.(16 分)

19. (本题满分 16 分) 设函数 f ( x ) , g ( x ) 的定义域均为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数, f ( x ) ? g ( x )
? e x,其中 e 为自然对数的底数.

(1)求 f ( x ) , g ( x ) 的表达式; (2)设 a≤0 , b≥1 , x ? 0 ,证明: ag ( x ) ? (1 ? a) ?
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x
6

解: (1)由 f ( x ) ? g ( x ) ? e x 得, f (? x ) ? g (? x ) ? e? x , 因为 f ( x ) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数, 所以 ? f ( x ) ? g ( x ) ? e? x ,
x ?x x ?x 从而 f ( x ) ? e ? e , g ( x ) ? e +e (4 分) 2 2

(2)当 x ? 0 时, e x ? 1, 0 ? e? x ? 1 ,
x ?x 所以 f ( x) ? 0 , g ( x ) ? e +e ? e x e? x ? 1 .(6 分) 2 x ?x x ?x 由(1)得, f ?( x ) ? e +e ? g ( x ) , g ?( x ) ? e ? e ? f ( x ) ,(8 分) 2 2

当 x ? 0 时,

f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) ? f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x , x

f ( x) ? bg ( x ) ? (1 ? b) ? f ( x ) ? bxg ( x ) ? (1 ? b) x , x

设函数 P( x ) ? f ( x ) ? cxg ( x ) ? (c ? 1) x ,(10 分) 则 P?( x) ? f ?( x) ? c ? g ( x) ? xg ?( x)? ? (c ? 1) ? (1 ? c) ? g ( x) ? 1? ? cxf ( x) ,(12 分) 若 c≤0 , x ? 0 ,则 P?( x ) ? 0 ,故 P( x ) 为 ?0 , ? ?? 上增函数, 所以 P( x ) ? P(0) ? 0 ,
? ?? 上减函数, 若 c≥1 , x ? 0 ,则 P?( x ) ? 0 ,故 P( x ) 为 ?0 ,

所以 P( x ) ? P(0) ? 0 , 综上知, ag ( x ) ? (1 ? a) ?
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) .(16 分) x

20. (本题满分 16 分) 设 f k (n) 为关于 n 的 k (k ? N) 次多项式.数列{an}的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn .对于任 意的正 整数 n, an ? Sn ? f k (n) 都成立. (1)若 k ? 0 ,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列. 解: (1)若 k ? 0 ,则 f k (n) 即 f 0 (n) 为常数,不妨设 f0 (n) ? c (c 为常数) .

7

因为 an ? Sn ? f k (n) 恒成立,所以 a1 ? S1 ? c ,即 c ? 2a1 ? 2 . 而且当 n≥2 时, an ? Sn ? 2 , ①
an ?1 ? Sn ?1 ? 2 ,② n≥2) . ①-②得 2an ? an?1 ? 0(n ? N,

若 an=0,则 an ?1 =0 ,?,a1=0,与已知矛盾,所以 an ? 0(n ? N* ) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 1 的等比数列. (4 分) 2 (2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (6 分) (ii) 若 k=1,设 f1 (n) ? bn ? c (b,c 为常数) , 当 n≥2 时, an ? Sn ? bn ? c , ③

an?1 ? Sn?1 ? b(n ? 1) ? c , ④ n≥2) . ③-④得 2an ? an?1 ? b(n ? N,

要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an ? b ? d (常 数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 n ? N* , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an =1 n ? N* ,此 时
f1 (n) ? n ? 1 . (9 分)

?

?

?

?

(iii) 若 k=2,设 f 2 (n) ? an2 ? bn ? c ( a ? 0 ,a,b,c 是常数) , 当 n≥2 时, an ? Sn ? an2 ? bn ? c , ⑤

an?1 ? Sn?1 ? a(n ? 1)2 ? b(n ? 1) ? c , ⑥
n≥2) , ⑤-⑥得 2an ? an?1 ? 2an ? b ? a(n ? N,

要 使 数 列 {an} 是 公 差 为 d ( d 为 常 数 ) 的 等 差 数 列 , 必 须 有
an ? 2an ? b ? a ? d ,且

8

d=2a,
考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2a ? 2an ? 2a ? 1 n ? N* . 故 当 k=2 时 , 数 列 {an} 能 成 等 差 数 列 , 其 通 项 公 式 为
an ? 2an ? 2a ? 1 n ? N* ,

?

?

?

?

此时 f 2 (n) ? an 2 ? (a ? 1)n ? 1 ? 2a (a 为非零常数) . (12 分) (iv) 当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,则 an ? Sn 的表达式中 n 的最高次 数为 2, 故数列{an}不能成等差数列. (14 分) 综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. (16 分)

试题Ⅱ(附加题)

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,C,D 是直径为 AB 的半圆上的两个不同的点, AC 与 BD 交于点 E ,点 F 在弦 BD 上, C 且△ACD∽△BCF,证明:△ABC∽△DFC. 证明:因为△ACD∽△BCF, 所以 ? ACD ? ? BCF, 故 ? ACD ??ACF ? ? BCF ??ACF , 即 ? DCF ? ? BCE, 又 ? BDC ? ? BAC, 所以△ABC∽△DFC. (10 分) A
(第 21 题 A)

D E FF B

9

B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
?1 ?5? 设 x 为实数.若矩阵 M ? ? 为不可逆矩阵,求 M 2 . ? ?2 x ?

解:依题意, x ? ?10 , (4 分)
?1 ?5 ? ?1 ?5 ? ? ?9 45? 所以 M 2 ? ? (10 分) ?? ??? ?. ? 2 ?10 ? ?2 ?10 ? ? ?18 90 ?

C.选修 4—4:极坐标与参数方程 (本小题满分 10 分) 已知极坐标系中的曲线 ? cos2 ? ? sin ? 与曲线 ? sin ? ? π ? 2 交于 A,B 两点,求线段 4

?

?

AB 的长.
解:曲线 ? cos2 ? ? sin ? 化为 x2 ? y ; (4 分) (8 分) ? sin ? ? π ? 2 同样可化为 x ? y ? 2 ,
4

?

?

联立方程组,解得 A (1,1), B (-2,4), 所以 AB ? (1 ? 2)2 ? (1 ? 4)2 ? 3 2 . (10 分)

D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)
a2, a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,求证: 1 ? 1 ? 1 ≥9. 设 a1, a1 a2 a3 a2, a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 , 证明:因为 a1,
1 所以 1 ? 1 ? 1 ? (a1 ? a2 ? a3 ) 1 ? 1 ? 1 ≥3 ? a1a2 a3 ? 3 ? 3 1 1 1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3

?

?

?

? ?9 ,
1 3

(当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? 1 时等号成立) (8 分) 3 所以 1 ? 1 ? 1 ≥9 .(10 分) a1 a2 a3
A1 D1 B1 C1

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 .......

P

D
A

10

C

B
(第 22 题)

内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)
??? ? ???? ???? ? 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 1 , A1P ? ? AC (0 ? ? ? 1) . 1

(1)若 ? ? 1 ,求直线 PB 与 PD 所成角的正弦值; 2
? 平面 PBD ,求实数 ? 的值. (2)若直线 AC 1

解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,D D1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系 O ? xyz , 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1, 1),

C1(0,1,1),D1(0,0,1),
1, 1 , (1)由 ? ? 1 得 P 1 , 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 1, 所以 PB ? 1 , ?1 , PD ? ? 1 , ? 1, ?1 , 2 2 2 2 2 2

?

?

? ?

?

?

?1 ? 1 ? 1 ??? ? ??? ? 所以 cos PB ? PD ? 4 4 4 ? ? 1 , 3 3? 3 2 2

所以,直线 PB 与 PD 所成角的正弦值为 2 2 . (5 分) 3 ???? ? (2)易得 AC ? ? ?1 ,, 1 ? 1? , 1

???? ???? ? ? 1 ? ?) , 由 A1P ? ? AC ? ? (?1 ,, 1 ? 1) 得, P(1 ? ?,, 1 ??? ? 此时 BP ? (??, ? ?1, 1 ? ?) ,
? 平面PBD ,所以 BP ? A1C , 因为 AC 1

???? ? ??? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 2 . 从而 AC (10 分) 1 ? BP ? 0 ,即 3

23. (本小题满分 10 分) 设 i 为虚数单位, n 为正整数. (1)证明: (cos x ? isin x)n ? cos nx ? isin nx ;

11

(2)结合等式“ ?1 ? (cos x ? isin x)? ? ?(1 ? cos x) ? isin x? ”证明:
n n
n n x 2 n cos nx . 1 ? C1 n cos x ? Cn cos 2 x ? ??? ? Cn cos nx ? 2 cos 2 2

证明: (1)①当 n ? 1 时, cos x ? i sin x ? cos x ? i sin x ,即证; ②假设当 n ? k 时, (cos x ? isin x)k ? cos kx ? isin kx 成立, 则当 n ? k ? 1 时, (cos x ? isin x) k ?1 ? ?cos kx ? isin kx ?(cos x ?isin x)
? ? cos kx cos x ? sin kx sin x ? ? ?sin kx cos x ? sin x cos kx ? i ? cos ? k ? 1? x ? isin ? k ? 1? x ,

故命题对 n ? k ? 1 时也成立, 由①②得, (cos x ? isin x)n ? cos nx ? isin nx ; (5 分) ( 2
n n




n



1







?1 ? (cos x ? i sin x)?

r r ? ? Cr n (cos x ? i sin x ) ? ? C n (cos rx ? i sin rx) , r ?0 r ?0

2 n 其实部为 1 ? C1 n cos x ? Cn cos 2 x ? ??? ? Cn cos nx ;

?(1 ? cos x) ? isin x?

n

? 2cos2 x ? 2isin x cos x 2 2 2

?

?

n

? 2n cosn x cos nx ? isin nx , 2 2 2
其实部为 2n cos n x cos nx , 2 2 根据两个复数相等,其实部也相等可得:
n n x 2 n cos nx . (10 分) 1 ? C1 n cos x ? Cn cos 2 x ? ??? ? Cn cos nx ? 2 cos 2 2

?

?

? 2n cosn x cos x ? isin x 2 2 2

?

?

n

12


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