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重点高中自主招生数学1


理科 实验班预录试题数学模拟卷
一.填空题(每题 3 分,共 24 分)
1.

1 5? 2 6
2

?
6

1 7?4 3
12

?
11


10

2、 ( x ? x ? 2) ? a12 x ? a11 x ? a10 x ? ?... ? a1 x ? a0 则 a12 ? a10 ? a8 ? a6 ? a4 ? a2 ? . 3.如果函数 y=b 与函数 y ? x 2 ? 3 x ?1 ? 4x ? 3 的图象恰好有三个交点,则 b= 4.已知 x 为实数,则 8 ? x ? x ? 2 的最大值是 5.关于 x 的方程 . . .

6x x2 ? ? 2 ? a ? 0 有实数根,则 a 的取值范围是 2 x ?1 x2 ? 1
( x ? 3) 2 ? 9 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,则 f ( x) 的最小值是


6.已知 f ( x) ?

7. 如下左图, 动点 C 在⊙O 的弦 AB 上运动, AB= 2 3 , 连接 OC, CD⊥OC 交⊙O 于 D, 则 CD 的最大值为_ ____________.

8.如右上图,已知 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA=3,PB=4,则 PC 的最大值是___________.

二.选择题(每小题 3 分,共 24 分)
9.记 A ?
2013

?
k ?1

1?

1 1 ,再记 ? A? 表示不超过 A 的最大整数,则 ?A? ? ( ? 2 k (k ? 1) 2



A.2010 B.2 0 1 1 C.2012
2

D.2013

10.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的 x 与 y 的部分对应值如下表: x y -3 11 -2 -1 1 0 -1 1 -1 2 1 ) . 3 5

2 且方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根分别为 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) ,下面说法错误 的是( ..

A. x ? ?2, y ? 5 ;B. 1 ? x2 ? 2 ;C.当 x1 ? x ? x2 时, y ? 0 ; D.当 x ?

1 时, y 有最小值. 2

11.如图,从 1× 2 的矩形 ABCD 的较短边 AD 上找一点 E,过这点剪下两个正方形,它们的边长分别是 AE、DE,当剪 下的两个正方形的面积之和最小时,点 E 应选在( ) . A.AD 的中点; C.AE:ED= 2 : 1 ; B.AE:ED= ( 5 ? 1) : 2 ; D.AE:ED= ( 2 ? 1) : 2 .

12.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA 、OB 为直径作两个半圆.向直角扇形 OAB 内随机取一点,则该 点刚好来自阴影部分的概率是

A.1 ?

2

?

1 1 B. ? 2 ?

C.

2

?

D.

1

?

13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.



8? 3

B.3π

C.

10? 3

D.6π

[来源:学科网][来源:学科网]

︵ 14.如右图,以半圆的一条弦 AN 为对称轴将AN 折叠 过来和直径 MN 交于点 B,如果 MB:BN=2:3, 且 MN=10,则弦 AN 的长为( )A. 3 5 B. 4 5 C. 4 3 D. 5 3

15.两列数如下: 7,10,13,16,19,22,25,28,31,...... 7,11,1 5,19,23,27,31,35,39,......第 1 个相 同的数是 7,第 10 个相同的数是( ) A.115 B.127 C.139 D.151 16.如图,△AOB 和△ACD 均为正三角形,且顶点 B、D 均在双曲线 y ? A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 4

4 ( x ? 0) 上,则图中 S△OBP= x



三.解答题
17.(本题满分 12 分)如图,已知锐角△ABC 的面积为 1,正方形 DEFG 是△ABC 的一个内接三角形,DG∥BC,求 正方形 DEFG 面积的最大值. 解:

[来源:Zxxk.Com]

18.(本题满分 14 分)在某服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势 ,设这种时装开始时定 价为 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始保持 30 元的价格平稳销售;从第 12 周开始,当季节即将过去 时,平均每周减价 2 元,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴试建立销售价 y 与周次 x 之间的函数关系式; ⑵若这种时装每件进价 Z 与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0.125 ?x ? 8? ? 12,1≤ x ≤16,且 x 为整数,试问该服装第
2

几周出售时,每件销售利润最大?最大利润为多少?

19. (本题满分 14 分)已知 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+(3a-1)x+2a2-1=0 的两个实数根,使得(3x1-x2) (x1-3x2) =-80 成立.求实数 a 的所有可能值.

20、 (16 分)如图所示,已知点 P 是⊙O 外一点,PS、PT 是⊙O 的两条切线,过点 P 作⊙O 的割线 PAB,交⊙O 于 A、 B 两点,与 ST 交于点 C,求证:

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? PC 2 ? PA PB ?

S B

C O
[来源:Zxxk.Com]

A P

T

21.(本题满分 16 分)如图,平面直角坐标系中,点 A、B、C 在 x 轴上,点 D、E 在 y 轴上,OA=OD=2,OC=OE=4, DB⊥DC, 直线 AD 与经过 B、 E、 C 三点的抛物线交于 F、 G 两点, 与其对称轴交于 M.点 P 为线段 FG 上一个动点(与 F、G 不重合),PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q. (1)求经过 B、E、C 三点的抛物线的解析式; (2)是否存在点 P,使得以 P、Q、M 为顶点的三角形与△AOD 相似?若存在,求出满足条件的点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由; (3)若抛物线的顶点为 N,连接 QN,探究四边形 PMNQ 的形状:①能否成为菱形;②能否 成为等腰梯形?若能,请 直接写出点 P 的坐标;若不能,请说明理由.

[来源:学+科+网]

参考答案
1、 2

-

2

2、-32 3 、-6 或

-

25 4

4、 2 3

5、-3<a≤2 6、应为最大值是

5

7、 3

8、

3+ 4 2

9、D 10、C 11、A 12、A 13、B 14、B 15、A 16、D
17、过 A 作 AI 垂直 BC 于 I,交 DG 于 H ,设正方形边长 x ,BC=a,则 AI=

2 a

,由相似比可得关于实数 a 的一元二次方程:

a 2x - 2a + 2x = 0 ,后由根的判别式可得 x 2 ≤
18、解:
(1)

1 1 ,即正方形最大面积为 。 2 2

(2)设每件销售利润为 w 元, 当 1≤ x ≤6 时, w = y-Z=2 有 x =6 时, w 最大值= 18

1 x +18+ 0.125( x -8) 2 -12= x 2 +14 8

1 ; 2
2 2

当 6< x <12 时, w = y-Z=30+ 0.125( x -8) -12=0.125( x -8) +18 有 x =8 时, w 最大值=18 当 12≤ x ≤16 时 w = y-Z=-2 x +54+ 0.125( x -8) -12=0.125( x -16) +18 有 x =16 时, w 最大值=18 综上所述:在第 6 周时出售每件销售利润最,最大 18
2 2

1 元。 2

19、

-

33 5
1 2

20、 作 OD 垂直 PB 于 D, 连接 SD、 OS、 PO, 则有 P、 S、 D、 O 四点共圆, PA+PB=2PD, 又由切割线定理可知 PS2=PA· PB, 2 又易证三角形 PSC 与三角形 PCS 相似可得,PS =PC· PD,即有 PC· PD=PC· (PA+PB)=PA· PB,从而得证.

21、解: (1 )在 Rt△BDC 中,OD⊥BC, 由射影定理,得:OD2=OB?OC; 则 OB=OD2÷OC=1; ∴B(-1,0) ; ∴B(-1,0) ,C(4,0) ,E(0,4) ; 设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x-4) (a≠0) ,则有: a(0+1) (0-4)=4, 2 a=-1; ∴y=-(x+1) (x-4 )=-x +3x+4; (2)因为 A(-2,0) ,D(0,2) ; 所以直线 AD:y=x+2; 联立抛物线 的解析式可求得 F(1- 3 ,3- 3 ) ,G(1+

3 ,3+

3 ) ; 设 P 点坐标为(x,x+2) (1-

3 <x<1+ 3

) ,

则 Q (x,-x2+3x+4) ; ∴PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2; 易知 M(

3 2



7 2

) 。 若以 P、Q、M 为顶点的三角形与

△AOD 相似,则△PQM 为等腰直角三角形; ①以 M 为直角顶点,PQ 为斜边,则 P(2Q 为直角顶点,PM 为斜边; P(

3 ,4-

3 ) ; ②以

3 - 11 2



7 - 11 2

) 故存在符合条件的 P 点,且 P 点坐标为(2-

3 ,4-

3 )或(

3 - 11 2



7 - 11 2

) ; (3) 易知 N (

3 2



25 4

) , M (

3 2



7 2

) ; 设 P 点坐标为 (m, m+2) , 则Q (m, -m2+3m+4) ;

(1- 3 <m<1+

3 ) ∴PQ=-m2+2m+2,N M=

11 4

; ①若四边形 PMNQ 是菱形,则首先四边形 PMNQ 是

平行四边形, 有: MN=PQ, 即: -m2+2m+2=

11 4

, 解得 m=

1 3 1 , m= (舍去) ; 当 m= 2 2 2

时, P (

1 2



3 2

) ,

Q(

1 2



21 4

) 此时 PM≠MN,故四边形 PMNQ 不可能是菱形; ②由于当 NQ∥PM 时,四边形 PMNQ 是平行

四边形, 所以若四边形 PMNQ 是梯形,只有一种情况:PQ∥MN,此时 P 点坐标为(

5 2



9 2

) .

∴四边形 PMNQ 可以是等腰梯形,且 P 点坐标为(

5 2



9 2

) .


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