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文科高中数学选修1-1、1-2、4-4重要知识点+习题精选


选修 1-1、1-2 数学知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若 p ,则 q ” 否命题: “若 ? p ,则 ? q ” 逆否命题: “若 ? q ,则 ? p ” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p . 逆命题: “若 q ,则 p ”

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、⑴全称量词——“所有的”“任意一个”等,用“ ? ”表示; 、 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个”“至少有一个”等,用“ ? ”表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点 F , F2 的距离之和等于常数(大于 F F2 )的点的轨迹称为椭圆. 1 1 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a
1

范围

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0,b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F F2 )的点的轨迹称为双曲线.即: 1 1

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 4、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? b x a y?? a x b

渐近线方程

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点,定直
2

线 l 称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
e ?1

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” 即 ? ? 2p . , ? 9、焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

第三部分 导数及其应用
1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
x ? x0

2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 4、常见函数的导数公式:
' n ' n?1 ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ;

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜率.

③ (sin x) ? cos x ;④ (cosx) ? ? sin x ;
' '

3

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数运算法则:

⑦ (log a x ) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

?1?
? 2?

? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? ; ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 ? g ? x ?? ? 3? ? g ? x ? ? ? ?



6、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值;
? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值;
? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是
最小值. 9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

第四部分
1.概念:

复数

(1) z=a+bi∈ ? b=0 (a,b∈ ? z= z ? z2≥0; R R) (2) z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈ R); ? a=0 且 b≠0(a,b∈ ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; (3) z=a+bi 是纯虚数 R) (4) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈ R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; (3) z1÷z2 =
(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠0) ; (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论: (1) (1 ? i) 2 ? ?2i ;⑷ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; 1? i 1? i
4

(2) i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;
1 (3) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 。 z
4.运算律: (1) z
m

? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1 z2 (m, n ? N );
m m

5.共轭的性质:⑴ ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ;⑵ z1 z 2 ? z1 ? z 2 ;⑶ (

z1 z ) ? 1 ;⑷ z ? z 。 z2 z2

6. 模的性质: || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ; | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ; | ⑴ ⑵ ⑶

z1 | z1 | ; | z n |?| z | n ; ⑷ |? z2 | z2 |

第五部分
1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1n ? 2 ? ? xi2 ? nx ? i ?1 ? ? a ? y ? bx ?
?

统计案例

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。

2.相关系数(判定两个变量线性相关性) r ? :

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关; ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相 关关系。 3.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:

? ( yi ? y) 2 ⑵残差: ei ? yi ? yi ;⑶残差平方和: ? ( yi ? yi) 2 ;⑷回归平方和:
i ?1 i ?1 ?

n

?

?

n

?

? ( yi ? y) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;⑸相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1 i ?1
2

n

n

? ( yi ? yi ) 2 ?(y
i ?1 i ?1 n

n

?


i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② R 越接近于 1, ,则回归效果越好。
5
2

4.独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
2

第六部分 一.推理:

推理与证明

⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后 提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个 别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称 为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成 立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种 证明方法叫反证法。

选修 4-4 数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行 极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在 极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结:
1. 伸缩变换: 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ?

对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下, P( x, y) 点 ?y? ? ? ? y, (? ? 0).

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个长度单
6

位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时, 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5. 极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 2 7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .
在极坐标系中,以 C ( a, 8. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

?

? x ? f (t ), 并 ? y ? g (t ),

且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ?
2 2 2

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . y ? b ? rsin? . ? 2 2 ? x ? acos? , x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . y ? bsin?. a b ?
? x ? 2 px 2 , (t为参数 ) . 抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ? ? y ? 2 pt .
2

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

? x ? x o ? tcos ? , ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的 取值范围保持一致.

7

《选修 1-1》第一章 常用逻辑用语
一、选择题 1.下列语句中是命题的是( C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

) B. sin 45 ? 1
0

A.周期函数的和是周期函数吗?
2

D.梯形是不是平面图形呢?

2.在命题“若抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax 2 ? bx ? c ? 0 ? ? ”的逆命题、否命题、逆否命题 中结论成立的是( A.都真 ) B.都假
2 2

?

?

C.否命题真

3. 有下述说法: a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件. ①

D.逆否命题真 1 1 的充要条件. ③ a ? b ? 0 是 a 3 ? b3 ②a ? b ? 0是 ? a b D. 3 个

的充要条件.则其中正确的说法有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 4.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价
2 2

C. a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” “ D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 5.若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,另一根小于零,则 A 是 B 的(
2 2

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件
2

D.既不充分也不必要条件 ) D.既不充分也不必要条件 。

6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 二、填空题 1.命题: “若 a ? b 不为零,则 a , b 都不为零”的逆否命题是

b ,则 A 是 B 的 条件。 a 3.用“充分、必要、充要”填空:① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的___ ___条件;② ? p 为假命题是 p ? q
2. A : x1 , x2 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ? 为真命题的_____
2 2 _条件;③ A : x ? 2 ? 3 , B : x ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的____ ___条件。

4.命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。 5. a ? ? ”是“ x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。 “ b Z 三、解答题 1.对于下述命题 p ,写出“ ? p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ? p ”的真假:
2

⑴ p : 91? ( A ? B) (其中全集 U ? N * , A ? ?x | x是质数? , B ? ?x | x是正奇数? ). ⑵ p : 有一个素数是偶数;. ⑶ p : 任意正整数都是质数或合数; ⑷ p : 三角形有且仅有一个外接圆.

2.已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

3.若 a ? b ? c ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。
2 2 2

4.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 ? a ? 4
2

8

《选修 1-1》第二章 圆锥曲线
一、选择题

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为( 25 16 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为( )
1. 已知椭圆
2 2 2 2 2 2 2 2 A. x ? y ? 1 B. x ? y ? 1 C. x ? y ? 1 或 x ? y ? 1 D.以上都不对 9 16 16 25 25 16 25 16 3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离心率 e 等于(





A. 2
2

B. 3

C. 2 ) C.

D. 3

5.抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是( A.

15 D. 10 2 6.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( ) 。
B. 5 A. (7, ? 14) 二、填空题
2 2

5 2

B. (14, ? 14)

C. (7, ?2 14)

D. (?7, ?2 14)

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2 2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。
1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k 4.抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程为_____. 5.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 。
3.若曲线 三、解答题
2 2



1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

2.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

3.双曲线与椭圆有共同的焦点 F (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3,4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与 1 椭圆的方程。

4.若动点 P( x, y) 在曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b
9

《选修 1-1》第三章 导数及其应用
一、选择题 1.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

A. f ' ( x0 )

B. 2 f ' ( x0 )
2

C. ?2 f ' ( x0 )

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为( h D. 0



2. 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 ( t A. 7 米/秒 B. 6 米/秒 C. 5 米/秒 D. 8 米/秒 3.函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1) ) C. (??,??) ) D. (1,??)



4. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.

13 10 D. 3 3 5.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的(
B. C. A.充分条件 A. 72 二、填空题 6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4

19 3

16 3

B.必要条件 B. 36

C.充要条件 ) C. 12

) D.必要非充分条件 D. 0

1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 2.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;

sin x 的导数为_________________; x 4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;
3.函数 y ? 5.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程。
3 2

2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。

3. 求 函 数 f ( x) ? x ? 5x ? 5x ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
5 4 3

4.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。
3 2

10

《选修 1-1》第一章
一、选择题 1.B 可以判断真假的陈述句 2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题 3.A ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件
2 2

常用逻辑用语

②a ?b ? 0?

1 1 3 3 ? ,仅仅是充分条件;③ a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件 a b

4.D 否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性 5.A 6.A

A : a ? R, a ? 1 ? a ? 2 ? 0 ,充分,反之不行 ?p : x ?1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x2 , x2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2
?p ? ?q ,充分不必要条件

二、填空题 1.若 a , b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 2.充分条件 4. [?3, 0]

A? B

3.必要条件;充分条件;充分条件, A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B

ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立,当 a ? 0 时, ?3 ? 0 成立;当 a ? 0 时, ?a ? 0 得 ?3 ? a ? 0 ;??3 ? a ? 0 ? 2 ? ? ? 4a ? 12a ? 0

5.必要条件 左到右来看: “过不去” ,但是“回得来” 三、解答题 1.解: (1) ?p : 91? A, 或91? B ; p 真, ? p 假; (2) ?p : 每一个素数都不是偶数; p 真, ? p 假; (3) ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数; p 假, ? p 真; (4) ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2.解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

q : x2 ? 2x ?1 ? a2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ?x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?
?1 ? a ? ?2 ? 而 ?p ? q,? A B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ? 2 2 2 3.证明:假设 a, b, c 都是奇数,则 a , b , c 都是奇数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 得 a ? b 为偶数,而 c 为奇数,即 a ? b ? c ,与 a ? b ? c 矛盾
所以假设不成立,原命题成立 4.证明: ax ? ax ? 1 ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?
2

?

?

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

?0?a?4

《选修 1-1》第二章
一、选择题 1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.C 3.D 4.C

圆锥曲线

2 2 2 2 2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9,2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1 ,得 a ? 5, b ? 4 ,? x ? y ? 1 或 x ? y ? 1

25 16

16

25

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
11

5.B

2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 二、填空题 1. 1, 或2
2 2 2 2 2 2 当 m ? 1 时, x ? y ? 1, a ? 1 ;当 0 ? m ? 1 时, y ? x ? 1, e2 ? a ? b ? 1 ? m ? 3 , m ? 1 , a 2 ? 1 ? 4, a ? 2 2 1 1 1 a 4 4 m 1 m m

2 2 2. x ? y ? ?1 20 5

设双曲线的方程为 x2 ? 4 y 2 ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c2 ? 25

2 2 2 2 当 ? ? 0 时, x ? y ? 1, ? ? ? ? 25, ? ? 20 ;当 ? ? 0 时, y ? x ? 1, ?? ? (? ? ) ? 25, ? ? ?20 ? ?? 4 ? ? 4 ? 4 4 3. (??, ?4) ? (1, ??) (4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ?1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4

4. x ? ? 5. 1

3 2

2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

p 3 ?? 2 2

2 2 焦点在 y 轴上,则 y ? x ? 1, c 2 ? 5 ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k 三、解答题 2 2 2 2 2 2 2 1.解:由 ? y ? kx ? 2 ,得 2 x ? 3(kx ? 2) ? 6 ,即 (2 ? 3k ) x ? 12kx ? 6 ? 0 , ? ? 144k ? 24(2 ? 3k ) ? 72k ? 48 ? 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6

2 2 当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ? 6 , 或k ? ? 6 时,直线和曲线有两个公共点;当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ? 6 , 或k ? ? 6 时,

3

3

直线和曲线有一个公共点;当 ? ? 72k 2.解:设点 P(t , 4t 2 ) ,距离为 d , d ?

2

3 6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ? 48 ? 0 ,即 ? ? k ? 3 3

3

4t 2 ? 4t ? 5 ,当 1 时, d 取得最小值,此时 P ( 1 ,1) 为所求的点。 t? 2 2 17 17 2 2 2 y x y x2 3.解:由共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ;双曲线方程为 2 ? ? 1 ,点 P(3, 4) a a ? 25 b 25 ? b 2 16 9 b b 在椭圆上, 2 ? 2 即 ? 1, a 2 ? 40 ,双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ? ?3 b2 1 , , ? 6 x, 4? 2 2 a a ? 25 25 ? b 25 ? b ?
2 2 y 2 x2 所以椭圆方程为 y ? x ? 1 ;双曲线方程为 ? ?1 16 9 40 15 2 2 2 4.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x ? 2 y ? 4cos ? ? 2b sin ? ? ?4sin ? ? 2b sin ? ? 4

4t ? 4t 2 ? 5

令 T ? x2 ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t 2 ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ? 当

b 4

b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4 2 ? b2 b ? Tmax ? T | b ? ? 4 ? ( x 2 ? 2y m a x? ? 4 ? 4 , 0 b ? 4 ) ? t? 4 4 ?2b ,b ? 4 ?

《选修 1-1》第三章
一、选择题 1.B 2.C 3.C

导数及其应用

lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 h ?0 h ?0 h 2h 2h s' (t ) ? 2t ?1, s' (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5

y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
12

4.D

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ('?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ?

10 3

5.D 对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0 得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0

二、填空题 1. ?1 2.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1

3 3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t a n ? ? 1 , ?? ? ? ? 4 4 ' ' x cos x ? sin x (sin x) x ? sin x ? ( x) x cos x ? sin x y' ? ? 3. 2 x x2 x2 1 1 1 1 1 ' ' 4. , x ? ey ? 0 y ? , k ? y |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x e x e e e 5 5 ' 2 5. (??, ? ), (1, ??) 令y ? 3 x ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3 3
三、解答题 1.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x 切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x3 ? 3x2 ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.解: y' ? ( x ? a)' ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)' ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)'

? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)
3.解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?1

(?1, 0)
+ ↗

0 0
1

(0, 4)
+ ↗

0
0

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x ? 5x ? 5x ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。
5 4 3

4.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

(2) y ? ?6x ? 9x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1 ,

? y极小值 ? y |x?0 ? 0

13

《选修 1-2》第二章 推理与证明
一、选择题 1.数列 2,5,11, 20, x, 47, ?中的 x 等于( A. 28 B. 32 ) C. 33 D. 27 1 1 1 2.设 a, b, c ? (??, 0), 则 a ? , b ? , c ? ( ) b c a A.都不大于 ?2 B.都不小于 ?2 C.至少有一个不大于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2 3. 已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式① BC ? CD ? EC ; 2BC ? DC ;③ FE ? ED ; 2 ED ? FA 中, ② ④ 与 AC 等价的有( A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个 ) D.既有最大值又有最小值 D. 4 个

4.函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

?

4

)在[0, ] 内( 2

?

A.只有最大值 B.只有最小值 C.只有最大值或只有最小值 5.如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( ) A. a1a8 ? a4 a5 A. 123 7.函数 y ? A. B. a1a8 ? a4 a5 B. 105

C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4 a5 C. 89 ) C. D. 58

6. 若 log2[log3 (log4 x)] ? log3[log 4 (log 2 x)] ? log 4[log 2 (log3 x)] ? 0 ,则 x ? y ? z ? ( )

1 x

在点 x ? 4 处的导数是 ( B. ?

1 8

1 8

1 16

D. ?

1 16

二、填空题 1.从 1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中得出的一般性结论是_____________。
2 2.已知实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? (2 x ?

1 ) 有最小值 ?1 ,则 a =__________。 a

3.已知 a, b 是不相等的正数, x ? 4.若正整数 m 满足 10
m?1

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是_________。

? 2512 ? 10m ,则 m ? __________ ____.(lg2 ? 0.3010 )

5.若数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 3 ? 5, a3 ? 7 ? 9 ? 11, a4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,... 则 a10 ? ____ 。 三、解答题 1.观察(1) tan100 tan 200 ? tan 200 tan 600 ? tan 600 tan100 ? 1; (2) tan 50 tan100 ? tan100 tan 750 ? tan 750 tan 50 ? 1,由以上 两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。 2.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数.求证: f ( x) ? 0 无整数根。

3. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

4.设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ?

?
8

.

⑴求 ? 的值;⑵求 y ? f (x) 的增区间;⑶证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不相切。

14

《选修 1-2》第三章 复数
一、选择题 1.下面四个命题: ⑴ 0 比 ?i 大;⑵两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数;⑶ x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为

x ? y ? 1 ;⑷如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应;其中正确的命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ?1 3 2. (i ? i ) 的虚部为( ) A. 8i B. ? 8i C. 8 D. ?8
3.使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( A. z ? z A. z1 ? z2
20 20

) C. z 为实数 C. z1 ? 1 ? z2 C. 0 C. 4
? ? ? ? 2
2

?

B. z ? z B. z1 ? ? z2

D. z ? z 为实数

?

4.设 z1 ? i 4 ? i5 ? i 6 ? ?? i12 , z2 ? i 4 ? i5 ? i 6 ??? i12 , 则 z1 , z2 的关系是( ) D.无法确定 D. 1024 D. 无数个
2 2

5. (1 ? i) ? (1 ? i) 的值是( ) A. ?1024 B. 1024
n ?n 2

6.已知 f (n) ? i ? i (i ? ?1, n ? N ) 集合 ? f (n)? 的元素个数是( ) A. 2 二、填空题 B. 3

1. 如果 z ? a ? bi (a, b ? R, 且a ? 0) 是虚数,则 z, z, z, z , z , z ? z, z , z , z 中是虚数的有 是实数的有 个,相等的有
2

_______个,

组. 象限. .

2. 如果 3 ? a ? 5 ,复数 z ? (a ? 8a ? 15) ? (a2 ? 5a ?14)i 在复平面上的对应点 z 在 3. 若复数 z ? sin 2a ? i(1 ? cos 2a) 是纯虚数,则 a = . 4. 5. 6.
?

设 z ? log2 (m2 ? 3m ? 3) ? i ? log2 (m ? 3)(m ? R), 若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,则 m 的值是 已知 z ? (2 ? i)3, 则 z ? z = 若z ? . . .
?

2 100 50 ,那么 z ? z ? 1 的值是 1? i 2 3 2000 ? 7. 计算 i ? 2i ? 3i ? ?? 2000i
三、解答题

1.设复数 z 满足 z ? 1,且 (3 ? 4i) ? z 是纯虚数,求 z .

2.已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 的值. 2z

15

《选修 1-2》第二章

推理与证明

一、选择题 1.B 5 ? 2 ? 3,11 ? 5 ? 6, 20 ? 11 ? 9, 推出 x ? 20 ? 12, x ? 32 1 1 1 2.D a ? ? b ? ? c ? ? ?6 ,三者不能都小于 ?2 b c a 3.D 4.D 5.B 6.C

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ③ FE ? ED ? FD ? AC ;④ 2ED ? FA ? FC ? FA ? AC ,都是对的
2? ? , ? 已经历一个完整的周期,所以有最大、小值 [0, ] ? 2 4 2 由 a1 ? a8 ? a4 ? a5 知道 C 不对,举例 an ? n, a1 ? 1, a8 ? 8, a4 ? 4, a5 ? 5 T?

① BC ? CD ? EC ? BD ? EC ? AE ? EC ? AC ;② 2BC ? DC ? AD ? DC ? AC

??? ?

log2[log3 (log4 x)] ? 0,log3 (log4 x) ? 1,log4 x ? 3, x ? 43 ? 64 , log3[log4 (log2 x)] ? 0,log4 (log2 x) ? 1,
1 ? 1 1 ?3 1 1 1 ? x 2 , y' ? ? x 2 ? ? , y '(4) ? ? ?? 2 16 x 2x x 2? 4 4

log2 x ? 4, x ? 24 ? 16 , log4[log2 (log3 x)] ? 0,log2 (log3 x) ? 1,log3 x ? 2, x ? 9 , x ? y ? z ? 89
7.D

y?

二、填空题 1. n ? n ? 1 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ?1)2 , n ? N * 注意左边共有 2n ? 1 项 1 1 1 2. 1 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 有最小值,则 a ? 0 ,对称轴 x ? , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 a a a 1 1 2 1 1 2 2 即 f ( ) ? a ? ( ) ? 2 ? ? a ? ? 0, a ? ? ?1, a ? a ? 2 ? 0, (a ? 0) ? a ? 1 a a a a a 2(a ? b) ( a ? b )2 3. x ? y y 2 ? ( a ? b )2 ? a ? b ? ? ? x2 2 2 4. 155 512lg 2 ? m ? 512lg 2 ? 1,154.112 ? m ? 155.112, m ? N * , m ? 155 5. 1000 前 10 项共使用了 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 10 ? 55 个奇数, a10 由第 46 个到第 55 个奇数的和组成,即

a10 ? (2 ? 46 ? 1) ? (2 ? 47 ? 1) ? ... ? (2 ? 55 ? 1) ?
三、解答题
0

10(91 ? 109) ? 1000 2

0 1. 若 ? , ? , ? 都不是 90 ,且 ? ? ? ? ? ? 90 ,则 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 2 2.证明:假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an ?bn ?c ? 0,( ?Z ) ,而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b n

为偶数,则 a, b, c 同时为奇数或 a , b 同时为偶数, c 为奇数,当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;当 n 为偶数时,
2

an 2 ? bn 也为偶数,即 an2 ? bn ? c 为奇数,与 an2 ? bn ? c ? 0 矛盾。? f ( x) ? 0 无整数根。
a?b?c a ?b?c c a bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? ? 3,即 ? ? 1 ,即只要证 ? 1, a?b b?c a?b b?c ab ? b 2 ? ac ? bc bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab 而 A ? C ? 2B, B ? 600 , b2 ? a2 ? c2 ? ac ? ? ? ?1 ab ? b2 ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? bc 3 4.解: (1)由对称轴是 x ? ? ,得 sin( ? ? ? ) ? ?1, ? ? ? ? k? ? ? , ? ? k? ? ? ,而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ?
3.证明:要证原式,只要证

3 ? 3 ? ? ), 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 4 2 4 2 ? 5? ? 5? k? ? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) ,增区间为 [k? ? , k? ? 8 8 8 8 3 3 ' (3) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 ,即曲线的切线的斜率不大于 2 , 4 4 5 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 ? 2 ,即直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f (x) 的切线。 2
(2) f ( x) ? sin(2 x ?

8

4

4

2

4

4

16

《选修 1-2》第三章

复数

一、选择题 1.A (1) 0 比 ?i 大,实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的 和为实数不一定是共轭复数; (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 是错误的,因为没有表明 x, y 是否是 实数; (4)当 a ? 0 时,没有纯虚数和它对应 2.D 3.B

1 i2 ?1 3 ?2 (i ? i ?1 )3 ? (i ? )3 ? ( ) ? ( )3 ? (2i)3 ? ?8i ,虚部为 ?8 i i i

z ? z ? z ? R ; z ? z ? z ? R ,反之不行,例如 z ? ?2 ; z 2 为实数不能推出
z ? R ,例如 z ? i ;对于任何 z , z ? z 都是实数 i 4 (1 ? i 9 ) i 4 (1 ? i) 4 z1 ? ? ? i ? 1, z2 ? i 4?5?6?7?...?12 ? i 72 ? 1 1? i 1? i
?

?

4.A 5.C

(1 ? i)20 ? (1 ? i)20 ? [(1 ? i)2 ]10 ? [(1 ? i)2 ]10 ? (2i)10 ? (?2i)10 ? (2i)10 ? (2i)10 ? 0 1 0 0 ?1 2 ?2 3 ?3 6.B f (0) ? i ? i ? 0, f (1) ? i ? i ? i ? ? 2i, f (2) ? i ? i ? 0, f (3) ? i ? i ? ?2i i
二、填空题 1. 4,5,3 2.三 3. k? ? 4. 15 5. 125 6. i

z , z , z , z 2 四个为虚数; z , z , z ? z, z , z 2 五个为实数; z ? z, z ? z , z ? z ? z 三组相等
2 2

? ?

?

?

?

?

?

3 ? a ? 5 , a2 ? 8a ?15 ? (a ? 3)(a ? 5) ? 0, a2 ? 5a ?14 ? (a ? 2)(a ? 7) ? 0
?
2 ,k ?Z s i n? ? 2 0 ?1 , c ? s?2 o
2

? ? 0? k ? ?2? ? k , ? ? k ,2 ?
2

Z , ?

log 2 (m2 ? 3m ? 3) ? 2log 2(m ? 3) ? 1 ? 0,log

m2 ? 3m ? 3 m2 ? 3m ? 3 1 ? ?1 , ? , m ? ? 15, 而m ? 3, m ? ? 15 (m ? 3)2 (m ? 3)2 2

z ? z ? z ? (2 ? i)3 ? ( 5)6 ? 125
2

?

2

2i 2i 2 5 2 1? i 1 0 0 1? i 1 0 0 1? i 50 25 2 0 ?( 50 ? , z ? z 5 0? ? 1 ( ) ?( ) 5 ?1 ) ? ( ) ?1 ? i ? i ?1 ? i ? i ? 1 ? i 2 2 1? i 2 2 2 2 3 2000 2 3 4 2000 ? 2000i 2001 7. 1000 ? 1000i 记 S ? i ? 2i ? 3i ? ? ? 2000i , iS ? i ? 2i ? 3i ? ? ? 1999i ?2000i i(1 ? i 2000 ) ? 1000 ? 1000i (1 ? i) S ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? ? ? i 2000 ? 2000i 2001 ? ? 2000i 2001 ? ?2000i , S ? 1? i 1? i 三、解答题
z?
1.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,由 z ? 1得 a2 ? b2 ? 1 ;

(3 ? 4i) ? z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0

4 4 ? ? ? ?a ? ? 5 ? 4 3 ? a 2 ? b 2 ? 1 ?a ? 5 4 3 ? ? ?? ,或 ? , z ? ? i, 或 ? ? i ? 5 5 5 5 ?3a ? 4b ? 0 ?b ? 3 ?b ? ? 3 ? ? ? 5 5 ? ?
2.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0 则?

? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ? ?? , z ? ?4 ? 3i ?b ? 3 ?b ? 3 ? 0 ?

(1 ? i)2 (3 ? 4i)2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i
17

《选修 4-4》
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?

坐标系与参数方程
) D. ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t 2 2 3 A. B. ? C. 3 3 2 ? x ? sin 2? 2.下列在曲线 ? ) (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ? 1 3 1 A. ( , ? 2) B. ( ? , ) C. (2, 3) 2 4 2 2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? ) 2 ? y ? sin ? ? A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) 2 4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( ) 2 2 2 2 A. x ? y ? 0或y ? 1 B. x ? 1 C. x ? y ? 0或x ? 1
5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2, )

3 2

D. (1, 3)

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1) D. y ? 1

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 二、填空题 1.直线 ?

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?

2.参数方程 ?

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) ,则 AB ? _______。 ? y ? 2 ? 4t

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2 5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。
三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ? 3.在椭圆

?x ? 1? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P 与 Q(1, ?5) 的距离。 ? y ? ?5 ? 3t ?

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12
18

《选修 4-4》 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2

3 1 时, y ? 4 2 转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]
转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1 2? (2, 2k? ? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ? ,则 ? ? k? ?
5 4
2 2

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16
5 2
将?

y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? (x ? ) x ? ? ( ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t

4. 14 5. ? ?

?
2

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ? 1 ? 2 ,弦长的一半为 22 ? ( 2 )2 ? 14 ,得弦长为 14 2 2 2 2

??

? c o s? c o?? ? s i? s? n s n ? i

0 , ? o s ? ,取 ? ? ? ? ? ?( c ) 0

?

2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , 2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ? 1 ? y ? 1 ? sin ?

?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 , ? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? 2.解:将 ?

?
4

) ? 1? a ? ? 2 ? 1

?x ? 1? t ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 ,得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) , ? y ? ?5 ? 3t ?
2 2

得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4 cos ? ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5
19


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