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优化方案数学必修4(北师大版)4.2第二章2.3.3应用案巩固提升


[A 基础达标] → 1.如果用 i,j 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量,且 A(2,3),B(4,2),则AB可 以表示为( A.2i+3j C.2i-j ) B.4i+2j D.-2i+j → → → → → 解析:选 C.记 O 为坐标原点,则OA=2i+3j,OB=4i+2j,所以AB=OB-OA=2i-j. 2.已知向量 a=(1,2),2a+b=(3,2),则 b=( A.(1,-2) C.(5,6) B.(1,2) D.(2,0) ) 解析:选 A.b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 1→ → → 3.已知向量AB=(2,4),AC=(0,2),则 BC=( 2 A.(-2,-2) C.(1,1) B.(2,2) D.(-1,-1) ) 1→ 1 → → 1 解析:选 D. BC= (AC-AB)= (-2,-2)=(-1,-1).故选 D. 2 2 2 → → 4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶 点 D 的坐标为( 7? A.? ?2,2? C.(3,2) ) 1? B.? ?2,-2? D.(1,3) ?2m=4, ? 解析: 选 A.设点 D(m, n), 则由题意得(4, 3)=2(m, n-2)=(2m, 2n-4), 故? ?2n-4=3, ? m=2, ? ? 7 2, ?,故选 A. 解得? 7 即点 D? 2? ? ? ?n=2, 5. 已知向量 a=(1, 2), b=(2, 3), c=(3, 4), 且 c=λ1a+λ2b, 则 λ1, λ2 的值分别为( A.-2,1 C.2,-1 解析:选 D.因为 c=λ1a+λ2b, 所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2), ? ?λ1+2λ2=3, 所以? ?2λ1+3λ2=4, ? ) B.1,-2 D.-1,2 解得 λ1=-1,λ2=2. → 6.已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为________. → → → → → 解析:设 O 为坐标原点,因为OA=(-1,-5),AB=3a=(6,9),故OB=OA+AB=(5, 4),故点 B 的坐标为(5,4). 答案:(5,4) → 1→ 7.已知两点 M(3,2),N(-5,-5),MP= MN,则点 P 的坐标是________. 2 解析:设 O 为坐标原点. → 1→ → → → 因为MP= MN,OP-OM=MP, 2 1 → → 1→ 所以OP=OM+ MN=(3,2)+ (-8,-7) 2 2 3 -1,- ?. =? 2? ? 3? 所以点 P 的坐标为? ?-1,-2?. 3? 答案:? ?-1,-2? → → → 8.已知 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),且点 P 在第一、三象 限的角平分线上,则 λ=________. → → → 解析:因为AP=AB+λAC, → → → → → → → → 所以OP=OA+AP=OA+AB+λAC=OB+λAC =(5,4)+λ(5,7)=(5+5λ,4+7λ), 1 由 5+5λ=4+7λ,得 λ= . 2 1 答案: 2 9.已知长方形 ABCD 的长为 4,宽为 3,建立如图所示的平面直角坐标系,i 是 x 轴上 → → 的单位向量,j 是 y 轴上的单位向量,试求AC和BD的坐标. 解:

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