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数学:综合测试题(3)(新人教A版选修2-2)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题

一、选择题 1.函数 y ? x 2 在区间 [1 2] 上的平均变化率为( , A.2 答案:B 2.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( A.
1 e



B.3

C.4

D.5



B. ?

1 e

C.

2 e

D. ?

2 e

答案:A 3. 如果 1N 的力能拉长弹簧 1cm, 为了将弹簧拉长 6cm (在弹性限度内) 所耗费的功为 ( A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J 答案:A )

4.方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0(a ? R) 有实根 b ,且 z ? a ? bi ,则 z ? ( A. 2 ? 2i 答案:A B. 2 ? 2i C. ?2 ? 2i D. ?2 ? 2i



5. △ABC 内有任意三点不共线的 2002 个点,加上 A B,C 三个顶点,共 2005 个点,把这 , 2005 个点连线形成不重叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为( A.4005 B.4002 C.4007 D.4000 答案:A 6.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, ? 的第 50 项( A.8 B.9 C.10 D.11 答案:C 7.在证明 f ( x) ? 2 x ? 1 为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;② 增函数的定义是小前提; ③函数 f ( x) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是大前提; ④函数 f ( x) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是大前提.其中正确的命题是( A.①② B.②④ C.①③ ) D.②③ ) )

-1-

答案:C

8.若 a,b ?R ,则复数 (a 2 ? 4a ? 5) ? (?b2 ? 2b ? 6)i 表示的点在( A.第一象限 答案:D B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

9.一圆的面积以 10πcm2 / s 速度增加,那么当圆半径 r ? 20cm 时,其半径 r 的增加速率 u 为 ( ) A.
1 cm/s 2

B.

1 cm/s 3

C.

1 cm/s 4

D.

1 cm/s 5

答案:C
1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中,由 n ? k 到 n ?1 n ? 2 2n 24

10.用数学归纳法证明不等式“
n ? k ? 1 时,不等式的左边( 1 A.增加了一项 2(k ? 1)



B.增加了两项 C.增加了两项 D.增加了一项

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 ,又减少了一项 ? 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1 1 1 ,又减少了一项 2(k ? 1) k ?1

答案:C

11.在下列各函数中,值域不是 [? 2, 2] 的函数共有( (1) y ? (sin x)? ? (cos x)? (2) y ? (sin x)? ? cos x (3) y ? sin x ? (cos x)? ? (4) y ? (sin x)· (cos x)? A.1 个 答案:C B.2 个 C.3 个 D.4 个



2 12.如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x2 等于

( A.
2 3

) B.
4 3

C.

8 3

D.

12 3

-2-

答案:C 二、填空题 13.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 在闭区间 [?3, 上的最大值与最小值分别为 0] 答案:3, ?17
1 1 1 14.若 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 6 ? 8i ,且 ? ? ,则 z 的值为 z z1 z2





4 22 答案: ? ? i 5 5

15.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 答案: an ? 2n ? 1



16.物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 2t ? 1( v 的单位是 m/s,t 的单位是 s) ,物 体 B 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 1 ? 8t ,两个物体在相距为 405m 的同一直线上同 时相向运动.则它们相遇时, A 物体的运动路程为 . 答案:72m 三、解答题
2 17.已知复数 z1 , z2 满足 10 z12 ? 5z2 ? 2 z1 z2 ,且 z1 ? 2 z2 为纯虚数,求证: 3z1 ? z2 为实数.

2 2 证明:由 10 z12 ? 5z2 ? 2 z1 z2 ,得 10 z12 ? 2 z1 z2 ? 5z2 ? 0 ,

即 (3z1 ? z2 )2 ? ( z1 ? 2 z2 )2 ? 0 ,那么 (3z1 ? z2 )2 ? ?( z1 ? 2 z2 )2 ? [( z1 ? 2 z2 )i]2 , 由于, z1 ? 2 z2 为纯虚数,可设 z1 ? 2z2 ? bi(b ? R,且b ? 0) , 所以 (3z1 ? z2 )2 ? b2 ,从而 3z1 ? z2 ? ?b , 故 3z1 ? z2 为实数. 18.用总长 14.8 的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器的底面的一边长比另一边长

-3-

多 0.5m,那么高是多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解 : 设 该 容 器 底 面 矩 形 的 短 边 长 为 x cm , 则 另 一 边 长 为 ( x ? 0 . 5 ) , 此 容 器 的 高 为 m
y? 14.8 , ? x ?( x ?0 . 5 ) ? 3 . 2? x 2 4

于是,此容器的容积为: V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ?2 x3 ? 2.2 x 2 ? 1.6 x ,其中 0 ? x ? 1.6 ,
4 (舍去) , 15 因为, V ?( x) 在 (0, 内只有一个极值点,且 x ? (0, 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递增; 1.6) 1) x ? (11.6) 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递减; ,

即 V ?( x) ? ?6 x2 ? 4.4 x ? 1.6 ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? ?

所以,当 x ? 1 时,函数 V ( x) 有最大值 V (1) ? 1? (1 ? 0.5) ? (3.2 ? 2 ? 1) ? 1.8m3 , 即当高为 1.2m 时,长方体容器的空积最大,最大容积为 1.8m3 .

19.如图所示,已知直线 a 与 b 不共面,直线 c ? a ? M ,直线 b ? c ? N ,又 a ? 平面 ? ? A , b ? 平面 ? ? B , c ? 平面 ? ? C ,求证: A B,C 三点不共线. , 证明:用反证法,假设 A B,C 三点共线于直线 l , , ∵ A B,C ?? ,∴l ? ? . , ∵c ? l ? C ,∴c 与 l 可确定一个平面 ? . ∵c ? a ? M ,∴ M ? ? . 又 A ? l ,∴ a ? ? ,同理 b ? ? ,

∴ 直线 a , b 共面,与 a , b 不共面矛盾. 所以 A B,C 三点不共线. ,

20.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.

解:求函数 f ( x) 的导数: f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1 . (1)当 f ?( x) ? 0( x ?R) 时, f ( x) 是减函数.
3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0( x ? R) ? a ? 0 且 ? ? 36 ? 12a ? 0 ? a ? ?3 .

所以,当 a ? ?3 时,由 f ?( x) ? 0 ,知 f ( x)( x ? R) 是减函数;
1? 8 ? (2)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3 ? x ? ? ? , 3? 9 ?
3 2 3

由函数 y ? x3 在 R 上的单调性,可知当 a ? ?3 时, f ( x)( x ? R) 是减函数; (3)当 a ? ?3 时,在 R 上存在使 f ?( x) ? 0 的区间, 所以,当 a ? ?3 时,函数 f ( x)( x ? R) 不是减函数.

-4-

综上,所求 a 的取值范围是 (?∞, 3) . ?
?1 1? 21 . 若 xi ? 0 (? ,1, ,3 n, 观 察 下 列 不 等 式 : ( x1 ? x2 ) ? ? ? ≥ 4 , i ,? 2 ) ? x1 x2 ?
?1 1 1? ?1 1 1? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? ? ? ? ≥ 9 ,? ,请你猜测 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ? ? ? ? ? 满足的不等 xn ? ? x1 x2 ? x1 x2 x3 ?

式,并用数学归纳法加以证明.

?1 1 1? 解:满足的不等式为 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ? ? ? ? ? ≥ n 2 (n ≥ 2) ,证明如下: xn ? ? x1 x2

1.当 n ? 2 时,结论成立;
?1 1 1? 2.假设当 n ? k 时,结论成立,即 ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? ? ? ? ? ? k 2 xk ? ? x1 x2 ?1 1 ?1 1 1? 1 1? ? ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? ? ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 ? ? ?) ? xk ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1 · x1 x2 xk ? xk ?1 x1 x2 xk ? ? ?

≥ k 2 ? 2 ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ?

?1 1 1 ? ? ??? ? ?1 xk ? ? x1 x2

≥ k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2 .
显然,当 n ? k ? 1 时,结论成立.

22.设曲线 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 过点 (?11) , (11) . , , (1)用 a 表示曲线与 x 轴所围成的图形面积 S (a ) ; (2)求 S (a ) 的最小值. 解: (1)曲线过点 (?11) 及 (11) ,故有 1 ? a ? b ? c ? a ? b ? c , , , 于是 b ? 0 且 c ? 1 ? a ,令 y ? 0 ,即 ax 2 ? (1 ? a) ? 0 ,得 x ? ?
a ?1 a ?1 ,? ? ,由曲线关于 y 轴对称, a a ? ?a ?? 有 S (a) ? 2? [ax 2 ? (1 ? a)]dx ? 2 ? x3 ? (1 ? a) x ? |0 0 3 ? ? a ?1 , a

记? ? ?

? a a ?1 a ?1 a ? 1 ? 4 (a ? 1)3 ? 2? · ? (1 ? a) . ?? a a ? 3 a ?3 a

-5-

(2) S (a) ? 则 f ?(a) ?

4 (a ? 1)3 (a ? 1)3 ,令 f (a) ? (a ? 0) , 3 a a

1 (a ? 1)2 [3(a ? 1)2 a ? (a ? 1)3 ] ? (2a ? 1) . a2 a2 1 令 f ?(a) ? 0 ,得 a ? ? 或 a ? 1 (舍去) . 2 1? ? 又 a ? ? ?∞, ? 时, f ?( x) ? 0 ; ? 2? ?
? 1 ? a ? ? ? ,? 时, f ?( x) ? 0 . 0 ? 2 ?

4 27 1 27 所以,当 a ? ? 时, f (a ) 有最小值 ,此时 S (a ) 有最小值 ?2 3. 3 4 2 4 www.ks5u.com

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.函数 y ? x? x ? sin x 的导数为 cos (A) x cos x (B) ? x sin x 2.下列说法正确的是 (C) x sin x (D) ?x cos x ( ) ( )

(A)当 f ?( x0 ) ? 0 时, f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值 (B)当 f ?( x0 ) ? 0 时, f ( x0 ) 为 f ( x) 的极小值 (C)当 f ?( x0 ) ? 0 时, f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值 (D)当 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值时, f ?( x0 ) ? 0 3.如果 z 是 3 ? 4i 的共轭复数,则 z 对应的向量 OA 的模是 (A)1 (B) 7
3

??? ?

( ) (D)5

(C) 13

4.若函数 y ? a( x ? x) 的递减区间为 ( ? (A) (0, ??) (B) (?1,0)

3 3 , ) ,则 a 的取值范围是 3 3
(C) (1, ??) (D) (0,1)

( )

-6-

5.下列四条曲线(直线)所围成的区域的面积是 (1) y ? sin x ;(2) y ? co s x ; (3) x ? ?

( )

?
4

;(4) x ?

?
4
(D)

(A) 2

(B) 2 2

(C)0

2 2

6.由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 叫 ( ) (A)合情推理 (B)演绎推理 (C)类比推理 (D)归纳推理 7.复数 a ? bi 与 c ? di 的积是实数的充要条件是 ( ) (A) ad ? bc ? 0 (B) ac ? bd ? 0 (C) ad ? bc ? 0 (D) ac ? bd ? 0 8.已知函数 y ?

1 sin 2 x ? sin x ,那么 y ? 是 2

( )

(A)仅有最小值的奇函数 (B)既有最大值又有最小值的偶函数 (C)仅有最大值的偶函数 (D)非奇非偶函数 9.用边长为 48 厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时,在四角截去 的正方形的边长为 ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 10.用数学归纳法证明: 1 ? a ? a ? ? ? a
2 n ?1

1 ? a n?2 ? (a ? 1) ,在验证 n=1 时,左端计算 1? a
( )
3

所得的式子是 (A)1 (B)1+a (C) 1 ? a ? a
2 2

(D) 1 ? a ? a ? a

11.给出下列四个命题: (1)任一两个复数都不能比较大小; (2) z ?z 为实数 ? z 为实数(3) 虚轴上的点都表示纯虚数; (4)复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。 其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 12. 用数学归纳法证明: ? 不等式左端变化的是 (A)增加

1 n

1 1 1 由 ? ??? ? 1(n ? N * , n ? 2) , n ? k 到 n ? k ? 1 , n ?1 n ? 2 2n
( ) (B)增加

1 一项 2( k ? 1)

1 1 和 两项 2k ? 1 2( k ? 1)

(C)增加

1 1 1 和 两项,同时减少 一项 2k ? 1 2( k ? 1) k

(D)增加

1 1 一项,同时减少 一项 2k ? 1 k
x a

二、填空题: (每小题 4 分,四小题共 16 分) 13.已知 f ( x) ? a ?x ( a 为常数) ,则 f ?( x) ? ;

-7-

14.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

4an (n ? N * ) ,则 an ? 4 ? an



15.已知:△ABC 中,AD⊥BC 于 D,三边分别是 a,b,c,则有 a ? c? B ? b? C ;类比 cos cos 上述结论,写出下列条件下的结论:四面体 P-ABC 中,△ABC,△PAB,△PBC,△PCA 的 面 积 分 别 是 S , S1 , S 2 , S3 , 二 面 角 P ? AB ? C, P ? BC ? A, P ? AC ? B 的 度 数 分 别 是

? , ? , ? ,则 S ?



16.对于函数 f ( x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),有如下结论: (1) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (2) f ( x1 ?x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (3)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0; (4) f ( 1 ;试分别写出对应上述一个结 )? x1 ? x2 2 2

论成立的四个函数: 适合结论(1) ; 适合结论(2) ; 适合结论(3) ; 适合结论(4) 。 三、解答题(17-19,21 题,每题 12 分;20,22 题,每题 14 分;共 76 分) 17.求过点(1,2)且与曲线 y ?

x 相切的直线方程。

18.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且 cos A ? (1)求 sin
2

B?C (2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值。 ? cos 2 A 的值; 2

1 。 3

19.半径为 a 的球的内接圆柱,问圆柱的底半径与高多大,才能使圆柱的体积最大。 20.在数列 {an } 中, a1 ?

1 * ,且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n-1 倍( n ? N ) 。 3

(1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想 {an } 的通项公式,并加以证明。

21.求由抛物线 y ? ? x ? 4 x ? 3 与它在点 A(0,-3)和点 B(3,0)的切线所围成的区域的面
2

积。

y

O 21 题

x

-8-

22.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 ax ? bx, a ? 0 。 2

(1) 若 b ? 2 ,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 3, b ? 2 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的取值范围。 www.ks5u.com

以下为参考答案
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.解析: y? ? ( x cos x ? sin x)? ? ( x cos x)? ? (sin x)? ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x 故选 B 2.反例: f ( x) ? x , f ?(0) ? 0 ,但 f (0) =0 既不是极大值也不是极小值, 故选 D
3

3.解析: z ? 3 ? 4i ,所以 OA ? (3, ?4) , OA ? 32 ? (?4)2 ? 5
2

??? ?

??? ?

故选 D
2

4.解析: y? ? 3ax ? a ,令 y? ? 0 ,则 3ax ? a ? 0 ,当 a ? 0 时, 3x ? 1 ? 0 不合题意;当
2

a ? 0 时, 3x2 ?1 ? 0 , ?
? ?

3 3 ?x? , 3 3
?
4 ?

故选 A
?
4 ?

5.解析:

? ? cos x ? ? ? sin x ? sin x
4 4 ? 4 ? 4

?
4

? cos x

?
4

?

2 2 2 2 ? ? ? ? 2 故选 A 2 2 2 2
选D

6.解析:概念题

( 7.解析: (a ? bi)? c ? di ) ? ac ? adi ? bci ? bdi ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
2

选C

1 y? ? ( sin 2 x ? sin x)? ? cos 2 x ? cos x ? 2 cos 2 x ? cos x ? 1(偶函数) 2 8.解析: 故选 B 1 2 9 9 ? 2(cos x ? ) ? cosx ? [-1,1] y? ? [- ,2] 4 8 8
9.解析:设小正方形的边长为 x 厘米,则 V ? (48 ? 2 x) x ? 4 x ? 192 x ? 2304 x
2 3 2

令 V ? ? 12 x ? 384 x ? 2304 ? 0
2

即 x2 ? 32 x ? 192 ? 0
2

x=8或24(舍去) 故选 C
2

10.解析:n=1 时,左端最后一项为 a ,所以左端的式子是 1 ? a ? a

故选 C

11.解析: (1)两个实数可以比较大小, (2) z ?z 为实数, z 可以为纯虚数; (3)原点, (4)

-9-

正确, 12.解析:当 n ? k 时,左端= 当 n ? k ? 1 时,左端=

故选 A

1 1 1 1 ; ? ? ?? ? k k ?1 k ? 2 2k
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 2)
显然选 C

二、填空题: (每小题 4 分,四小题共 16 分)
x a x a x ?1 a ?1 x a x ?1 a ?1 13.解析: f ?( x) ? (a ?x )? ? a x ln a ? a x ,故填 a x ln a ? a x



14.解析:

4 ? an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n?3 ? ? ? , ? ? , ? 1 ,所以 ? 1 ? (n ? 1) ? an ?1 4an an 4 an ?1 an 4 a1 an 4 4
故填

an ?

4 也可以用归纳法。 n?3

4 n?3

c ? 15 . 解 析 : 作 PD ? 面 ABC 于 D, 连 结 DA,DB , 可 得 S A D B ? S1 ? o s , 同 理 可 得 : cos cos cos cos SBDC ? S2 ? ? , SCDA ? S3 ? ? ,所以 S ? S1 ? ? ? S2 ? ? ? S3 ? ? , cos cos cos cos 故填 S1 ? ? ? S2 ? ? ? S3 ? ?
16. 解析: (1)f ( x) ? kx(k ? 0) ; (2)f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1) ; (3)f ( x) ? x ,3 , lg x
3 x

(4) f ( x) ? a (a ? 1)
x

三、解答题(17-19,21 题,每题 12 分;20,22 题,每题 14 分;共 76 分) 17.解析:因为点(1,2)不在曲线 y ?

x 上,所以设所求切线与 y ? x 的切点为 x0 ,则

k ? y?

x ? x0

?

1 1 ( x ? 1) , x ? 2 x0 y ? 4 x0 ? 1 ,所以切线方程为 y ? 2 ? 2 x0 2 x0

代入 y ?

x ,即 x ? y 2 ( y ? 0) ,得, y 2 ? 2 x0 y ? 4 x0 ? 1 ? 0 ,

所以 ? ? 4 x0 ? 16 x0 ? 4 ? 0 ,即 x0 ? 4 x0 ? 1 ? 0 , x0 ? 2 ? 3 或 2 ? 3 所求的切线方程为 x ? (4 ? 2 3) y ? (7 ? 4 3) ? 0 或 x ? (4 ? 2 3) y ? (7 ? 4 3) ? 0 18.解析: (1) sin

B?C 1 ? cos 2 A ? [1 ? cos( B ? C )] ? (2cos 2 A ? 1) 2 2 1 1 2 1 1 1 ? 2cos 2 A ? cos A ? ? ? ? ? ? 2 2 9 6 2 9
2

(2)由余弦定理得

b2 ? c2 ? a 2 1 2 ? cos A ? ,所以 bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 2bc 3 3

- 10 -

bc ?

3 2 9 3 9 a ? ,当且仅当 b ? c ? 时,等号成立,即 bc 的最大值为 。 4 4 2 4
2 2

19.解析:设球的内接圆柱的底半径为 x ,则其高为 h ? 2 a ? x ,所以圆柱的体积是

V ( x) ? 2? x

2

a ? x , x ? (0, a) , V ?( x) ? 4? x a ? x ?
2 2

2

2

2? x3 a2 ? x2

?

2? x(2a 2 ? 3 x 2 ) a2 ? x2

令 V ?( x) ? 0 ,则 2? x(2a ? 3x ) ? 0 , x ?
2 2

6 a ,列表: 3

所以函数 V ( x ) 在 x ?

6 a 时取得最大值, 3

x
V ?( x) V ( x)

(0,
+

6 a) 3

6 a 3
0 极大 值

(

6 a, a ) 3


此时 h ?

2 3 a ,即当圆柱的底半径为 3

6 2 3 a ,高为 a 时,圆柱的体积最大, 3 3


?

?

4 3 3 ?a 。 9

1 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , ? (2n ? 1)an ,分别取 n ? 2,3, 4,5 ,得: n 3 1 1 1 1 1 1 a2 ? a1 ? ? , a3 ? (a1 ? a2 ) ? ? , 5 3 ? 5 15 14 5 ? 7 35 1 1 1 1 1 1 , a4 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? ? a5 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ? 27 7 ? 9 63 44 9 ?11 99 1 1 1 1 1 所以数列的前 5 项是: a1 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? 15 35 63 99 3
20.解析: (1)由已知 a1 ? (2)由(1)中的分析可以猜想 an ?

1 。下面用数学归纳法证明: (2n ? 1)(2n ? 1) 1 ,那么由已知, (2k ? 1)(2k ? 1)

①当 n=1 时,公式显然成立。②假设当 n ? k 时成立,即 ak ?



a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1
2

即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? (2k ? 3k )ak ?1

所以 (2k ? k )ak ? (2k ? 3k )ak ?1
2 2

即 (2k ? 1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 ,又归纳假设,得: (2k ? 1)

1 ? (2k ? 3)ak ?1 (2k ? 1)(2k+1)

- 11 -

所以 ak ?1 ?

1 ,即当 n ? k ? 1 时,公式也成立 (2k ? 1)(2k ? 3)
*

由①,②,对一切 n ? N ,都有 an ?

1 成立。 (2n ? 1)(2n ? 1)

? 21.解析: y? ? ?2 x ? 4 , k1 ? y(0) ? 4, y? ? y?(3) ? ?2 ,
所以过点 A(0,-3)和点 B(3,0)的切线方程分别是 y

3 ,围 y ? 4 x ? 3和y ? ?2 x ? 6 ,两条切线的交点是( ,3 ) 2 3 成的区域如图所示:区域被直线 x ? 分成了两部分,分别 2
计算再相加,得:
3 2 0 3 2 0 3 3



x

S ? [ ? (4 x ? 3)dx ? ? (? x 2 ? 4 x ? 3)dx] ? [ ?3 (?2 x ? 6) dx ? ?3 (? x 2 ? 4 x ? 3)dx]
2 2
3 1 2 ? (2 x 2 ? 3 x) 0 ?(? x 3 ? 2 x 2 ? 3 x) 3 3 2 0

? ( ? x 2 ? 6 x)

3 3 2

1 ? ( ? x 3 ? 2 x 2 ? 3 x) 3

3 3 2

?

9 4

即所求区域的面积是

9 。 4
1 ?ax 2 ? 2 x ? 1 1 2 ax ? 2 x ,则 h?( x) ? ? ax ? 2 ? x x 2 ?ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,又因为 x ? 0 , x

22.解析: (1) b ? 2 时, h( x) ? ln x ?

因为函数 h( x ) 存在单调递减区间,所以 h?( x) ? 0 有解,即
2
2

则 ax ? 2 x ? 1 ? 0有x ? 0 的解。①当 a ? 0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向上的抛物线,

ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总有 x ? 0的解 ;②当 a ? 0 时, y ? ax 2 ? 2 x ? 1 为 开口向下 的抛物线 , ax2 ? 2 x ? 1 ? 0要有x ? 0 的解,所以 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正
根,所以 ?1 ? a ? 0 。综上可知, a 得取值范围是 (?1,0) ? (0, ??) 。 (2) a ? 3, b ? 2 时, h( x) ? ln x ?

?ax 2 ? 2 x ? 1 ?3x 2 ? 2 x ? 1 3 2 ? , x ? 2 x , h?( x) ? x x 2

令 h?( x) ? 0 ,则

?3x 2 ? 2 x ? 1 1 ? 0 ,所以 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ? 或 ?(舍去) 1 x 3

x

1 (0, ) 3

1 3

1 ( , ??) 3

- 12 -

列表:

1 1 5 所以当 x ? 时, h( x ) 取的最大值 ln ? 3 3 6
又当 x ? ?? 时, h( x) ? ?? 所以 h( x ) 的取值范围是 (??, ln

h?( x)



0 极 大值



h( x )

?

?

1 5 ? ]。 3 6

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