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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数


(浙江专用) 2018 版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初 等函数 I 2.5 指数与指数函数教师用书

1.分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a = a (a>0,m,n∈N ,且 n>1).于是,在条
*

m n

n

m

件 a>0,m,n∈N ,且 n>1 下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的 意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定 a
? m n

*



1

a
指数幂等于 0;0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质:a a =a 2.指数函数的图象与性质
r s r+s

m n

(a>0,m,n∈N ,且 n>1).0 的正分数

*

,(a ) =a ,(ab) =a b ,其中 a>0,b>0,r,s∈Q.

r s

rs

r

r r

y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1)

性质

(4)当 x>0 时,y>1;当 x<0 时,0<y<1 (6)在(-∞,+∞)上是增函数

(5)当 x>0 时,0<y<1;当 x<0 时,y>1 (7)在(-∞,+∞)上是减函数

【知识拓展】 1.指数函数图象画法的三个关键点 1 x 画指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, ).

a

2.指数函数的图象与底数大小的比较

1

如图是指数函数(1)y=a ,(2)y=b ,(3)y=c ,(4)y=d 的图象,底数 a,b,c,d 与 1 之 间的大小关系为 c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数 y=a (a>0, 且 a≠1)的图象越高,底数越大. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) a =( a) =a.( × )
m
x

x

x

x

x

n

n

n

n

(2)分数指数幂 a n 可以理解为 个 a 相乘.( ×
2 1

m n

)

(3)(-1) 4 =(-1) 2 = -1.( × ) (4)函数 y=a 是 R 上的增函数.( × (5)函数 y ? a x (6)函数 y=2
2

-x

)

?1

(a>1)的值域是(0,+∞).( × )

x-1

是指数函数.( × )

1.(2016·临安中学期末)已知函数 f(x)=a A.(0,1) B.(2,3) C.(3,2) D.(2,2) 答案 B

x-2

+2 的图象恒过定点 A,则 A 的坐标为(

)

解析 由 a =1 知,当 x-2=0,即 x=2 时,f(2)=3,即图象必过定点(2,3). 3 ? 3 ? 3 ? 2.已知 a=( ) 3 ,b=( ) 4 ,c=( ) 4 ,则 a,b,c 的大小关系是( 5 5 2 A.c<a<b C.b<a<c 答案 D 3 x 解析 ∵y=( ) 是减函数, 5 3 ? 3 ? 3 0 ∴( ) 3 >( ) 4 >( ) , 5 5 5 即 a>b>1,
2
1 1

0

1

3

)

.a<b<c .c<b<a

1

3 ? 3 0 又 c=( ) 4 <( ) =1, 2 2 ∴c<b<a. 4 2 ?3? ? ? 7?0 3.计算:? ? 3 ×?- ? +8 4 × 2- (? ) 3 =________. ?2? ? 6? 3 答案 2
1

3

1

2

?2? ?2? 解析 原式=? ? 3 ×1+2 4 ×2 4 -? ? 3 =2. 3 ? ? ?3?
4.函数 y=8-2 答案 [0,8) 解析 ∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<2
3-x 3-x

1

3

1

1

(x≥0)的值域是________.

≤2 =8,∴0≤8-2
3-x

3

3-x

<8,

∴函数 y=8-2

的值域为[0,8).

题型一 指数幂的运算 例 1 化简下列各式:
1

2
-2.5

(1)[(0.064 5 )
4 3

]3 -

3

3 0 3 -π ; 8 3 2 b 3

(2)

a -8a b
2 3

1 3

4b +2 ab+a

3

2 3

÷(a

?

2 3



a

)× 5

a· a2 a· a
3

.

64 5 ? 2 3 27 解 (1)原式={[( ) ] } -( ) 3 -1 1 000 8 4 3 ?( ? )? 3 3 =[( ) ] 5 2 3 -[( ) ] 3 -1 10 2 5 3 = - -1=0. 2 2
1 5 2 1

1

5

2

1

(2)原式=

a [?a ? -?2b ? ]
1 3
2

1 3

1 3

3

1 3

3

?a ? +a ·?2b ?+?2b ?

1 3

1 3

1 3

÷
2

a -2b ?a·a ? × 1 1 1 a 3 2 ?a ·a ? 5

1 3

1 3

2 3

1 2

3

5

=a (a -2b )×

1 3

1 3

1 3

a a -2b
1 3 1 3

×

a6
1

a6

1

2
2

=a 3 ×a×a 3 =a . 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、 分数指数幂统一为分数指数幂, 以便利用法则计算, 还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 1 ? 化简( ) 2 · 4 答案 8 5 2 ·a ·b
3 2
3

1

? 4ab ?
-1 3

-1

3

?0.1? ·?a ·b ?

-3

1 2

=________.

3 2

?

3 2 3 2

解析 原式=2×

10·a ·b

?

=2

1+3

8 -1 ×10 = . 5

题型二 指数函数的图象及应用 例2 (1)已知实数 a,b 满足等式 2 017 =2 018 ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0; )
a b

③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( A.1 个 B.2 个 C.3 个
x

D.4 个 )

(2)已知函数 f(x)=|2 -1|, a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b), 则下列结论中, 一定成立的是( A.a<0,b<0,c<0 C.2 <2
-a

B.a<0,b≥0,c>0 D.2 +2 <2
a c

c

答案 (1)B (2)D 解析 (1)如图,观察易知,a,b 的关系为 a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0.

(2)作出函数 f(x)=|2 -1|的图象,如图,

x

4

∵a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),结合图象知, 0<f(a)<1,a<0,c>0, ∴0<2 <1. ∴f(a)=|2 -1|=1-2 <1, ∴f(c)<1,∴0<c<1. ∴1<2 <2,∴f(c)=|2 -1|=2 -1, 又∵f(a)>f(c),∴1-2 >2 -1, ∴2 +2 <2,故选 D. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点, 若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸 缩、对称变换而得到.特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (1)(2017·湖州调研)已知函数 f(x)=a +b 的图象可能是( )
x-b a c a c c c c a a a

的图象如图所示,则函数 g(x)=ax

(2)若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________.
5

x

答案 (1)A (2)[-1,1] 解析 (1)由 f(x)的单调性知 0<a<1, 又 x=0 时,a >1,x=1 时,a
-b 1-b

<1,∴0<b<1,

对照图象知 g(x)的图象可能是 A. (2)曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可知:如果|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1].
x x

题型三 指数函数的性质及应用 命题点 1 指数函数单调性的应用 例 3 (1)(2016·绍兴模拟)下列各式比较大小正确的是( A.1.7 >1.7 C.0.8
-0.1 2.5 3

)

B.0.6 >0.6
0.2

-1

2

>1.25

D.1.7 <0.9

0.3

3.1

1 ? ??2?x-7,x<0, (2)设函数 f(x)=? ? ? x,x≥0, 答案 (1)B (2)(-3,1)

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是________.

解析 (1)选项 B 中,∵y=0.6 是减函数, ∴0.6 >0.6 . 1 a (2)当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为( ) -7<1, 2 1 a 1 a 1 -3 即( ) <8,即( ) <( ) , 2 2 2 ∴a>-3.又 a<0,∴-3<a<0. 当 a≥0 时,不等式 f(a)<1 可化为 a<1. ∴0≤a<1, 综上,a 的取值范围为(-3,1). 命题点 2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数 f(x)=2
2 x?m
-1 2

x

(m 为常数),若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则 m 的
6

取值范围是________.

?1? 2 (2)函数 f(x)=? ? ? x ? 2 x ?1 的单调减区间为_____________________________________. ?2?
答案 (1)(-∞,4] (2)(-∞,1] 解析 (1)令 t=|2x-m|,则 t=|2x-m|在区间[ ,+∞)上单调递增,在区间(-∞, ]上 2 2 单调递减.而 y=2 为 R 上的增函数,所以要使函数 f(x)=2 则有 ≤2,即 m≤4,所以 m 的取值范围是(-∞,4]. 2
t

m

m

2 x?m

在[2,+∞)上单调递增,

m

?1?u 2 (2)设 u=-x +2x+1,∵y=? ? 在 R 上为减函数, ?2?
∴函数 f(x)= ( )
2

1 2

? x 2 ? 2 x ?1

的减区间即为函数 u=-x +2x+1 的增区间.

2

又 u=-x +2x+1 的增区间为(-∞,1], ∴f(x)的减区间为(-∞,1]. 引申探究 函数 f(x)= 4 ? 2
x x ?1

的单调增区间是________.

答案 [0,+∞) 解析 设 t=2 ,则 y=t -2t 的单调增区间为[1,+∞), 令 2 ≥1,得 x≥0, ∴函数 f(x)= 4 ? 2
x x ?1
x x
2

的单调增区间是[0,+∞).

命题点 3 函数的值域(或最值)

?1?x ?1?x 例 5 (1)函数 y=? ? -? ? +1 在区间[-3,2]上的值域是________. ?4? ?2?
(2)如果函数 y=a +2a -1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,则 a 的值为 ________.
2x

x

?3 ? 答案 (1)? ,57? ?4 ?

1 (2) 或 3 3

?1?x 解析 (1)令 t=? ? ,因为 x∈[-3,2], ?2? ?1 ? 所以 t∈? ,8?, ?4 ? ? 1?2 3 2 故 y=t -t+1=?t- ? + . ? 2? 4

7

1 3 当 t= 时,ymin= ;当 t=8 时,ymax=57. 2 4

?3 ? 故所求函数的值域为? ,57?. ?4 ?
(2)令 a =t,则 y=a +2a -1=t +2t-1 =(t+1) -2. 1 ?1 ? 2 当 a>1 时,因为 x∈[-1,1],所以 t∈[ ,a],又函数 y=(t+1) -2 在? ,a?上单调递增,
2

x

2x

x

2

a

?a

?

所以 ymax=(a+1) -2=14,解得 a=3(负值舍去). 1 当 0<a<1 时,因为 x∈[-1,1],所以 t∈[a, ],

2

a

1 2 又函数 y=(t+1) -2 在[a, ]上单调递增,

a

1 1 2 则 ymax=( +1) -2=14,解得 a= (负值舍去). a 3 1 综上,a=3 或 a= . 3 思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时, 要特别注意底数 a 的取值范围, 并 在必要时进行分类讨论. (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,要化 归于指数函数来解. 1 ? ?-? ?x,a≤x<0, 2 (1)已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x +2x,0≤x≤4 取值范围是( A.(-∞,-3] C.[-3,-1] ) B.[-3,0) D.{-3} 则函数 g(x) 的最小值是

的值域是[-8,1],则实数 a 的

?f?x?,x≥0, ? 1 x (2) 已知函数 f(x) = 2 - x ,函数 g(x) = ? 2 ?f?-x?,x<0, ?

________. 答案 (1)B (2)0 解析 (1)当 0≤x≤4 时,f(x)∈[-8,1], 1 a 当 a≤x<0 时,f(x)∈[-( ) ,-1), 2 1 所以[- a,-1)?[-8,1], 2
8

1 即-8≤- a<-1,即-3≤a<0, 2 所以实数 a 的取值范围是[-3,0). 1 x (2)当 x≥0 时,g(x)=f(x)=2 - x为单调增函数,所以 g(x)≥g(0)=0;当 x<0 时,g(x) 2 =f(-x)=2 -
-x

1 -x为单调减函数,所以 g(x)>g(0)=0,所以函数 g(x)的最小值是 0. 2

2.指数函数底数的讨论

典例 (2016·金华模拟)已知函数 y=b+ a

x2 ? 2 x

3 (a,b 为常数,且 a>0,a≠1)在区间[- , 2

5 0]上有最大值 3,最小值 , 则 a,b 的值分别为________. 2 错解展示 解析 令 t=x +2x=(x+1) -1, 3 ∵- ≤x≤0,∴-1≤t≤0. 2 1 t 1 t ∵ ≤a ≤1,∴b+ ≤b+a ≤b+1,
2 2

a

a

1 5 ? ?b+ = , 由? a 2 ? ?b+1=3, 答案 2,2 现场纠错

得?

? ?a=2, ?b=2. ?

解析 令 t=x +2x=(x+1) -1, 3 ∵x∈[- ,0],∴t∈[-1,0]. 2 ①若 a>1,函数 f(x)=a 在[-1,0]上为增函数, 1 1 x2 ? 2 x t ∴a ∈[ ,1],b+ a ∈[b+ ,b+1],
t

2

2

a

a

1 5 ? ?b+ = , 依题意得? a 2 ? ?b+1=3,

解得?

? ?a=2, ?b=2. ?

②若 0<a<1,函数 f(x)=a 在[-1,0]上为减函数,

t

9

1 t ∴a ∈[1, ],

a

则 b+ a

x2 ? 2 x

1 ∈[b+1,b+ ],

a

1 ? ?b+a=3, 依题意得? 5 ?b+1=2, ? 2 a= , ? ? 3 解得? 3 ? ?b=2. 2 ? ?a=3, 或? 3 ?b=2. ?

? ?a=2, 综上①②,所求 a,b 的值为? ?b=2 ?

2 3 答案 2,2 或 , 3 2 纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题,要对底数进行讨论.

1.(2016·宁波模拟)设 2 =8 A.18 B.21 C.24 答案 D 解析 ∵2 =8 ∵9 =3
y x-9 x y+1

x

y+1, y

9 =3

x-9

,则 x+y 的值为(

)

D.27

=2

3(y+1)

,∴x=3y+3,

=3 ,∴x-9=2y,

2y

解得 x=21,y=6,∴x+y=27. 2.函数 f(x)=2
|x-1|

的图象是(

)

10

答案 B 解析 ∵|x-1|≥0,∴f(x)≥1,排除 C、D. 又 x=1 时,|f(x)|min=1,排除 A. 故选 B. 3.已知 a=4 ,b=0.4 ,c=0.4 ,则( A.a>b>c C.c>a>b 答案 A 解析 由 0.2<0.8,底数 0.4<1 知,y=0.4 在 R 上为减函数,所以 0.4 >0.4 ,即 b>c. 又 a=4 >4 =1,b=0.4 <1,所以 a>b. 综上,a>b>c. 4.已知 f(x)=3 A.[9,81] C.[1,9] 答案 C 解析 由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2, 因为 f(x)=3
x-2 x-b
0.2 0 0.2 0.2 0.2 0.8

)

B.a>c>b D.b>c>a

x

0.2

0.8

(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域为( B.[3,9] D.[1,+∞)

)

在[2,4]上是增函数,

所以 f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9. 故选 C. 2 +1 5.(2015·山东)若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为( 2 -a A.(-∞,-1) C.(0,1) D.(1,+∞) 答案 C 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即 2 +1 2 +1 x =- x ,整理得(a-1)(2 +1)=0, -x 2 -a 2 -a
-x

x

)

B.(-1,0)

x

11

2 +1 ∴a=1,∴f(x)>3 即为 x >3, 2 -1 当 x>0 时,2 -1>0,∴2 +1>3·2 -3,解得 0<x<1; 当 x<0 时,2 -1<0,∴2 +1<3·2 -3,无解. ∴x 的取值范围为(0,1).
? ?2 -1,0≤x≤2, *6.(2016·富阳模拟)已知 g(x)=ax+1, f(x)=? 2 ?-x ,-2≤x<0, ?
x x x x x x x

x

对任意 x1∈[-2,2],

存在 x2∈[-2,2],使 g(x1)=f(x2)成立,则 a 的取值范围是( A.[-1,+∞) C.(0,1] 答案 B B.[-1,1] D.(-∞,1]

)

解析 由题意可得 g(x),x∈[-2,2]的值域为 f(x),x∈[-2,2]的值域的子集. 经分析知 f(x),x∈[-2,2]的值域是[-4,3], 当 a=0 时,g(x)=1,符合题意; 当 a>0 时,g(x),x∈[-2,2]的值域是[-2a+1,2a+1],
?-2a+1≥-4, ? 所以? ? ?2a+1≤3,

则 0<a≤1;

当 a<0 时,g(x),x∈[-2,2]的值域是[2a+1,-2a+1],
? ?2a+1≥-4, 所以? ?-2a+1≤3, ?

则-1≤a<0.

综上可得-1≤a≤1.

? ?e ,x<1, 7.设函数 f(x)=? 1 ? ?x 3 ,x≥1,
答案 (-∞,8] 解析 当 x<1 时,由 e
1
x-1

x-1

则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________.

≤2,得 x≤1+ln 2,∴x<1 时恒成立;

当 x≥1 时,由 x 3 ≤2,得 x≤8,∴1≤x≤8. 综上,符合题意的 x 的取值范围是(-∞,8]. 8.若直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________.
x

12

1 答案 (0, ) 2 解析 (数形结合法) 1 由图象可知 0<2a<1,∴0<a< . 2

1 1 9.(2016·武汉模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数且当 x≥0 时,f(x)=- x+ x,则 4 2 此函数的值域为________. 1 1 答案 [- , ] 4 4 1 x 解析 设 t= x,当 x≥0 时,2 ≥1,∴0<t≤1, 2

f(t)=-t2+t=-(t- )2+ .
1 1 ∴0≤f(t)≤ ,故当 x≥0 时,f(x)∈[0, ]. 4 4 ∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 1 ∴当 x≤0 时,f(x)∈[- ,0]. 4 1 1 故函数的值域为[- , ]. 4 4 10. 当 x∈(-∞, -1]时, 不等式(m -m)·4 -2 <0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 (-1,2)
2

1 2

1 4

x

x

?1?x 2 解析 原不等式变形为 m -m<? ? , ?2? ?1?x 因为函数 y=? ? 在(-∞,-1]上是减函数, ?2? ?1?x ?1?-1 所以? ? ≥? ? =2, ?2? ?2? ?1?x 2 2 当 x∈(-∞,-1]时,m -m<? ? 恒成立等价于 m -m<2,解得-1<m<2. ?2?
2 |x|-a 11.已知函数 f(x)=( ) . 3 (1)求 f(x)的单调区间; 9 (2)若 f(x)的最大值等于 ,求 a 的值. 4

13

2 t 解 (1)令 t=|x|-a,则 f(x)=( ) , 3 不论 a 取何值,t 在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增, 2 t 又 y=( ) 是单调递减的, 3 因此 f(x)的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞). 9 9 2 -2 (2)由于 f(x)的最大值是 ,且 =( ) , 4 4 3 所以 g(x)=|x|-a 应该有最小值-2,即 g(0)=-2, 从而 a=2. 12.已知函数 f(x)= ( )

1 3

ax 2 ? 4 x ? 3

.

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)= ( ) 令 t=-x -4x+3,
2

1 3

? x2 ? 4 x ?3



?1?t 由于 t 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ? 在 R 上单调递减, ?3?
所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的单调递增区间是(-2,+∞), 单调递减区间是(-∞,-2).

?1?g(x) 2 (2)令 g(x)=ax -4x+3,则 f(x)=? ? , ?3?
由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,

a>0, ? ? 因此必有?3a-4 =-1, ? ? a

解得 a=1,

即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. 1 λ *13.已知函数 f(x)= x- x-1+3(-1≤x≤2). 4 2 3 (1)若 λ = ,求函数 f(x)的值域; 2 (2)若函数 f(x)的最小值是 1,求实数 λ 的值.
14

1 λ 解 (1)f(x)= x- x-1+3 4 2 1 2x 1 x =( ) -2λ ·( ) +3(-1≤x≤2). 2 2 1 x 1 2 设 t=( ) ,得 g(t)=t -2λ t+3( ≤t≤2). 2 4 3 2 当 λ = 时,g(t)=t -3t+3 2 3 2 3 1 =(t- ) + ( ≤t≤2). 2 4 4 1 37 3 3 所以 g(t)max=g( )= ,g(t)min=g( )= . 4 16 2 4 37 3 所以 f(x)max= ,f(x)min= , 16 4 3 37 故函数 f(x)的值域为[ , ]. 4 16 (2)由(1)得 g(t)=t -2λ t+3
2 2 1 =(t-λ ) +3-λ ( ≤t≤2). 4 2

1 1 λ 49 ①当 λ ≤ 时,g(t)min=g( )=- + , 4 4 2 16 λ 49 33 1 令- + =1,得 λ = > , 2 16 8 4 不符合,舍去; 1 2 ②当 <λ ≤2 时,g(t)min=g(λ )=-λ +3, 4 1 2 令-λ +3=1,得 λ = 2(λ =- 2< ,不符合,舍去); 4 ③当 λ >2 时,g(t)min=g(2)=-4λ +7, 3 令-4λ +7=1,得 λ = <2,不符合,舍去. 2 综上所述,实数 λ 的值为 2.

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