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3.1.3概率的基本性质.PPT_图文

3.1.3 概率的基本性质
事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质

在掷骰子实验中,可以定义许多事件, 如 C 1 ? {出现1点};C 2 ? {出现2点};C 3 ? {出现3点}

C 4 ? {出现4点};C 5 ? {出现5点};C 6 ? {出现6点} D 1 ? {出现的点数不大于1};D 2 ? { 出现的点数大于3};
D 3 ? {出现的点数小于3}; E ? {出现的点数小于7};F ? {出现的点数大于6};; G ? {出现的点数为偶数};H ? {出现的点数为奇数};

类比集合与集合的关系、运算,你能 发现事件之间的关系与运算吗?

一:事件的关系与运算 例.事件C1 ={出现1点 }发生,则事件 H ={出现的 点数为奇数}也一定会发生,所以 H ? C1

1.包含关系
若事件A 发生则必有事件B 发生,则称事件B包含事件A (或称事件A包含于事件B), 记为A ? B (或B A B

? A)。

注: 1)不可能事件记作?

2)任何事件都包含不可能事件

例.事件C1={出现1点}发生,则事件D1={出现的点数 不大于1}就一定会发生,反过来也一样,所以C1=D1。

2.相等关系
若事件A发生必有事件B 发生;反之事件B 发生必有
事件A 发生, 即,若A

? B,且

B

?A,那么称

事件A 与事件B相 等, 记为 A = B

A

B

例.若事件J={出现1点或5点} 发生,则事件C1 = {出现1点}与事件C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会 发生,则 J ? C1 ? C5 .

3 .事件的并(或称事件的和)
若事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生(即 事件 A ,B 中至少有一个发生),则称此事件为A与 B的并事件 (或和事件).记为 A ∪ B (或 A + B )。

A

B

例.若事件 C4={出现4点}发生,则事件D2 ={出现的 点数大于3点}与事件D3 ={出现的点数小于5}同时发 ∩D 生,则 C4=D1 5

4.事件的交
记为A∩ B 或 AB

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生(即 “ A与 B 都发生” ),则此事件为A 与B 的交事件(或积事件)

A∩B

C=

例:某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0
以上。记事件 A = “左眼视力在1.0以上” 事件 B =“右眼视力在1.0以上” 事件 C =“视力合格” 说出事件A、B、C的关系。

显然,C = A ∩B

例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}不可能 同时发生,故这两个事件互斥。

5.事件的互斥 若A∩B为不可能事件( A∩B=
即,A 与 B 互斥

),那么称事件A 与B互斥,其含义是: 事件A 与 B 在任何一次试验中不会同 时发生。 A∩ B=

A

B

例:抽查一批产品, 事件A =“没有不合格品”, 事件B =“有一件不合格品”, 问这两个事件能否在一次抽取中同时发生。

显然,事件A ,事件 B 是互斥的,也就是互不 相容的。

即 A∩ B =

例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点 数为奇数} 即为互为 对立事件 。

6.对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B必然事件,那么称事件A 与事件B互为对立事件。其含义是:事件A与事件B在任何 一次试验中有且只有一个发生。

A

B(A )

[破疑点] ①对立事件的特征:一次试验中,不会同时 发生,且必有一个事件发生; ②对立事件是特殊的互斥事件,即对立事件是互斥事 件,但互斥事件不一定是对立事件. ③从集合角度看,事件A的对立事件,是全集中由事件A 所含结果组成的集合的补集.

1.给定下列命题,判断对错。 1 )互斥事件一定对立; 2 )对立事件一定互斥; 3 )互斥事件不一定对立;

想一想?

2.一个射手进行一次射击,试判定下列事件 哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 1)事件A:命中环数大于7; 2)事件B:命中环数为10环; 3)事件C:命中环数小于6; 4)事件D:命中环数为6、7、8、9、10。;

3、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查,观察其 中的次品数,记: A ={次品数少于5件} ; B ={次品数恰有2件} C ={次品数多于3件} ; D ={次品数至少有1件} 试写出下列事件的基本事件组成: A∪ B , A ∩C, B∩ C ; A∪B = A A∩C= {有4件次品} B∩C =

?

二:概率的基本性质
1.概率P(A)的取值范围:

1) 必然事件B一定发生, 则 P(B)=1
2) 不可能事件C一定不发生, 则p(C)=0

3) 随机事件A发生的概率为 0<P(A) <1
4) 若A ?B, 则 p(A) <P(B)

(2) 概率的加法公式 ( 互斥事件时同时发生的概率)
C ?{ 出现的点数小于3};
A B

在掷骰子实验中,事件,A ? { 出现1 点 };B ? { 出现2点 };

C=A∪B

当事件A与事件B互斥时,A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B) 由此得到概率的加法公式: 如果事件A与事件B互斥, 则 P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3 当事件A与B互斥时, A∪B发生的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)

注:如果事件A1,A2,?,An中任何两个 都互斥,事件(A1+A2+…+An)表示 事件A1,A2,…,An中有一个发生;
则P(A1+A2+?+An)= P(A1)+P(A2) + ? +P(An).

(3) 对立事件有一个发生的概率
如在掷骰子实验中,事件.
P(G) = 1- 1/2 = 1/2
A B

G ?{ 出现的点数为偶数}; H ?{ 出现的点数为奇数};

若事件 A 与事件 B 互为对立事件,那么 A ∪B 为必然事

P(B) 件,则有 P ( A ∪B ) = P(A) +

=1.

当事件A与B对立时, A发生的概率为P(A)=1- P(B)

[破疑点]

①公式使用的前提必须是对立事件,否则不

能使用此公式. ②当一事件的概率不易直接求,但其对立事件的概率易 求时,可运用此公式,即使用间接法求概率.

例1、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取 一张,那么取到红心(事件A)的概率是1/4,取到方 片(事件B)的概率是1/4。问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

解:因为C=A ∪B,且A与B不会同时发生,
所以A与B是互斥事件。根据概率加法公式, 得
P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.5,

(2)C与D也是互斥事件,又由于C ∪ D为必 然事件,所以C与D互为对立事件,所以

P(D)= 1- P(C)= 0.5.

例2、抛掷色子,事件A= “朝上一面的数是奇数”, 事件B = “朝上一面的数不超过 3”, 求P(A∪B)
解法一: 因为P(A)=3/6=1/2,P(B)=3/6=1/2 所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 解法二: A∪B这一事件包括4种结果,即出现1,2,3和5 所以P(A∪B)= 4/6=2/3

请判断那种正确?

1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中: (1)射中10环或9环的概率,0.52 (2)至少射中7环的概率; 0.87 (3)射中环数不足8环的概率0.29 .

想一想?

1 甲、乙两人下棋,和棋的概率为 , 2 1 乙胜的概率为 3
求1 )甲胜的概率;2)甲不输的概率。

2.

包含关系

小结
事件的关系与运算

相等关系
并(和)事件 交(积)事件 互斥事件

概率的基本性质

对立事件

0≤P(A) ≤1

必然事件的概率为1
概率的基本性质 不可能事件的概率为0 概率的加法公式 对立事件计算公式

10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示:
年降水量 /mm 概率 [100, 150) 0.21 [150, 200) 0.16 [200, 250) 0.13 [250, 300] 0.12

则年降水量在[200,300](mm)范围内

的概率是______________. 0.25

题型三 利用概率知识解决实际生活中的问题
【例3】为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先 从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼做 上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间, 让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数 量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾, 试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.
审题指导 这实际上是概率问题, 即 2 000 尾鱼在水库中占所 有鱼的百分比,捕出的 500 尾鱼中带记号的鱼有 40 尾,就 40 说明水库所有的鱼中,带记号的鱼的概率约为 ,问题可 500 解.

[规范解答 ] 设水库中鱼的尾数是 n,现在要估计 n 的值,假 定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任捕一尾鱼,设 2 000 事件 A={带记号的鱼 },则 P(A)= . n (6 分 )

第二次从水库中捕出 500 尾鱼,其中带记号的有 40 尾,即 40 事件 A 发生的频数为 40,由概率的统计定义知 P(A)≈ , 500 即 2 000 40 ≈ ,解得: n≈ 25 000. n 500 (12 分 )

所以估计水库中的鱼有 25 000 尾.


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