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数学理卷·2014届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(2014.01)扫描版


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南充市高 2014 届第一次高考适应性考试
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数学试题参考答案及评分意见(理科)
一、选择题 1-5 ABAAD 二、填空题 11. -80 三、解题答 16. 解:(Ⅰ) 由 Sn=n-5an-85 可得: 同时 ②-①可得: 从而 为等比数列,首项 ,公比为 . 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 , . ??????????6 ② . ??????4 分 ① .

6-10 BDCAC 13.4 2 +2

12.7

14. [-

1 ,0) 15. ①③ 2

????????? ?8 分 故 12 分 . ??????

17. 解: (1)∵ 函数的最大值为 2,∴ A=2 又∵ 函数的周期 T=4( ∴ ω= ∵ f( ﹣ )=π, ????????2 分

=2,得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ) )=2 为函数的最大值,∴ 2× ,取 k=0 得 φ= +φ= +2kπ(k∈Z) ????????4

结合|φ|<

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分 ∴ 函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ 分 (2)由(1)得 f(A)=2sin(2A+ ∵ A∈(0,π) ,∴ 2A+
2



????????6

)=2, ???????8 分
2

=
2

,得 A=
2

根据余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc(1+cos 即 1=2 ﹣2bc(1+cos 分 因此,△ ABC 的面积 S= bcsinA= 3(2﹣ )×sin =
2

) , ???????10

) ,解之得 bc=

=3(2﹣



??????12

分 18. 解:方法一 (1)证明:∵EA⊥平面 ABC,BM?平面 ABC,∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC,EA∩AC=A, ∴BM⊥平面 ACFE. 而 EM?平面 ACFE. ∴BM⊥EM. ∵AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC=90° . 又∵∠BAC=30° ,AC=4, ∴AB=2 3,BC=2,AM=3,CM=1. ∵EA⊥平面 ABC,FC∥EA,∴FC⊥平面 ABC. 又 FC=CM=1,AM=EA=3, ∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形. ∴∠EMA=∠FMC=45° . ∴∠EMF=90° ,即 EM⊥MF. ∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面 MBF. 而 BF?平面 MBF,∴EM⊥BF.

???? 6 分 (2)解:延长 EF 交 AC 的延长线于 G,连接 BG,过点 C 作 CH⊥BG,连接 FH. 由(1)知 FC⊥平面 ABC,BG?平面 ABC, ∴FC⊥BG. 而 FC∩CH=C,∴BG⊥平面 FCH. ∵FH?平面 FCH,∴FH⊥BG. ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角. 在 Rt△ABC 中,∵∠BAC=30° ,AC=4, ∴BM=AB· sin30° = 3. FC GC 1 由 = = ,得 GC=2. EA GA 3 ∵BG= BM2+MG2= ? 3?2+32=2 3, 又∵△GCH∽△GBM, GC CH GC· BM 2× 3 ∴ = ,则 CM= = =1. BG BM BG 2 3 ∴△FCH 是等腰直角三角形,∠FHC=45° .

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∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为

???? 12 分 方法二 (1)证明:因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90° ,又∠BAC=30° ,AC= 4,所以 AB=2 3,而 BM⊥AC,易得 AM=3,BM= 3.如图,以 A 为坐标原点,垂 直于 AC 的直线,AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件 得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1), ∴=(0,-3,3),=(- 3,1,1). 由· =(0,-3,3)· (- 3,1,1)=0, 得⊥,∴EM⊥BF. ???? 6 分 (2)解:由(1)知=(- 3,-3,3),=(- 3,1,1). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),由 n· =0,n· =0,

2 . 2

?- 3x-3y+3z=0, 得? ?- 3x+y+z=0.
令 x= 3得 y=1,z=2,∴n=( 3,1,2). 由已知 EA⊥平面 ABC,所以平面 ABC 的一个法向量为=(0,0,3). 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 θ, | 3×0+1×0+2×3| 2 则 cosθ=|cos〈n, 〉|= = . 2 3×2 2 ???? 12 分 19. (Ⅰ)解:依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 , 所以,从甲组抽取的学生人数为

2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 . 3 3

设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P( A) ?
1 C1 15 3 ? C5 , ? 2 C8 28

故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为

15 . 28

??????5 分

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,1, 2,3 .

P( X ? 0) ? P( X ? 1) ?

2 C5 ? C1 5 2 , ? 2 1 C8 ? C4 28

1 1 2 C1 C5 ? C1 25 3 ? C5 ? C2 2 ? ? , 2 1 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 56

2 1 1 C3 ? C1 C1 9 2 3 ? C5 ? C2 P( X ? 2) ? 2 1 ? ? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 28

P( X ? 3) ?

2 C3 ? C1 3 2 ? . ?????9 分 2 1 C8 ? C4 56

所以,随机变量 X 的分布列为:

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X
P

0

1

2

3

5 28

25 56

9 28

3 56

EX ? 0 ?
??12 分

5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 28 56 28 56 4

????

20. (Ⅰ) 解: 依题意, 当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时, 其倾斜角为 60 . ????? 1分 设 F (?c, 0) , 则

?

b ? tan 60? ? 3 . c
将 b ? 3c 代入 a ? b ? c ,
2 2 2

??????2 分



得 ??????3 分 以 椭 圆 的 离 心 率 为

a ? 2c .


e?

c 1 ? . a 2

??????4 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,椭圆的方程可设为 5分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

x2 y2 ? ?1. 4c 2 3c 2

??????

依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将其代 入

3x2 ? 4 y2 ? 12c2









(4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .
则 x1 ? x2 ?

??????7 分

6ck ?8ck 2 ?4ck 2 3ck y ? y ? k ( x ? x ? 2 c ) ? G ( , 2 ). , , 1 2 1 2 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3

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???? ??8 分 因为 GD ? AB ,





3ck 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 ?4ck 2 ? xD 4k 2 ? 3
??????9 分



?ck 2 xD ? 2 . 4k ? 3
因为 △ GFD ∽△ OED , 所


2

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 S1 | GD | 4k ? 3 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck 2 S2 | OD | ( 2 ) 4k ? 3 (
?
??12 分 所以

??????11 分

(3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9. 2 2 2 4 (ck ) ck k

????

S1 的取值范围是 (9, ??) . S2
2

?????13 分

21.解: (1)解:设

=x,可得(1﹣b)x +cx+a=0, (b≠1) .

由于函数 两个根,

有且仅有两个不动点 0,2,故 0,2 是方程(1﹣b)x +cx+a=0 的

2



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1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 中, 令n ? 1,2,3, ?,2013,并将各式相加,得 n ?1 n n 1 1 1 1 2 3 4 2014 1 1 1 ? ? ??? ? 1? ? ??? <ln ? ln ? ln ? ? ? ? ln 2 3 4 2014 1 2 3 2013 2 3 2013

?

??13 分 ∴ T2014-1<ln2014<T2013 ?14 分

?????

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