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【步步高】(江苏专用)高考数学二轮专题突破 专题六 第3讲 算法与复数 文

第 3 讲 算法与复数
【高考考情解读】 1.高考题中对算法的流程图的考查主要以填空题的形式为主,试题难度 中等偏易, 试题主要以考查循环结构的流程图为主, 且常常与其它数学知识融汇在一起考查, 如算法与函数、 算法和数列、 算法和统计以及应用算法解决实际问题.2.复数的概念和运算主 要考查复数的分类、共轭复数、复平面和复数的四则运算为主,试题侧重对基本运算的考查, 试题难度较低易于得满分,主要分布在试卷的前 3 题位置.

1. 算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:如图(1)所示.

(2)选择结构:如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构:如图(4)和图(5)所示. 2. 复数 (1)复数的相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?a=c,b=d. (2)共轭复数: 当两个复数实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数. (3)运算:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i、(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+

ad)i、(a+bi)÷(c+di)=

ac+bd bc-da + i(c+di≠0). c2+d2 c2+d2
2 2

(4)复数的模:|z|=|a+bi|=r= a +b (r≥0,r∈R).

考点一 流程图 例1 (1)(2013·安徽改编)如图所示,算法流程图的输出结果是________.

(2)(2013·江苏)

右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是________. 11 答案 (1) (2)3 12 解析 (1)赋值 S=0,n=2 进入循环体:检验 n=2<8,

S=0+ = , n=2+2=4;
检验 n<8,

1 1 2 2

S= + = , n=4+2=6;
检验 n<8,

1 2

1 3 4 4

S= + = , n=6+2=8,
检验 n=8,脱离循环体, 11 输出 S= . 12 (2)赋值 n=1,a=2

3 4

1 11 6 12

进入循环体, 检验 a=2<20,

a=3×2+2=8, n=2,
检验 a=8<20,

a=3×8+2=26, n=3,
检验 a=26≥20, 脱离循环体, 输出 n=3. (1)高考中对于流程图的考查主要有“输出结果型”“完善流程图型”“确定 循环变量取值型”“实际应用型”,具体问题中要能够根据题意准确求解. (2)关于流程图的考查主要以循环结构的流程图为主, 求解流程图问题关键是能够应用算 法思想列出每一次循环的结果, 注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系. (1) 执行如图所示的流程图,如果输出的 a = 341 ,那么判断框中的 n = ________.

(2)(2013·潍坊模拟)执行如图所示的流程图,输出的结果 S 的值为________.

答案 (1)6 (2)-1 解析 (1)执行程序后,a1=4a+1=1,k1=k+1=2;a2=4a1+1=5,k2=k1+1=3;a3

=4a2+1=21,k3=k2+1=4,a4=4a3+1=85,k4=k3+1=5;a5=4a4+1=341,k5=k4

+1=6.要使输出的 a=341,判断框中应为“k<6”,即 n=6. (2)第一次运行:S=0,n=2; 第二次运行:S=-1,n=3; 第三次运行:S=-1,n=4; 第四次运行:S=0,n=5. …… 可推出其循环周期为 4,从而可知,第 2 011 次运行时,S=-1,n=2 012,此时 2 012<2 012 不成立,则输出 S=-1. 考点二 复数的基本概念 例2 (1)(2013·安徽改编)设 i 是虚数单位, 若复数 a- ________. (2)(2013·四川改编)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 10 (a∈R)是纯虚数, 则 a 的值为 3-i

z
的共轭复数的点是________. 答案 (1)3 (2)B 10 10 解析 (1)a- =a-(3+i)=(a-3)-i,由 a∈R,且 a- 为纯虚数知 a=3. 3-i 3-i (2)表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称,∴B 点表示 z . 复数的基本概念问题涉及复数的分类、共轭复数、复数相等条件、复平面等基 本知识,解决复数基本概念问题关键是能够充分地掌握各个概念,其实质上就是对复数

z=a+bi(a,b∈R)中实部和虚部的限制条件的应用或运算.
1+i (1)复数 (i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为________. 1-ai 2 (2)(2012·课标全国改编)下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1.
其中真命题的个数为________. 答案 (1)1 (2)2 1+i 解析 (1) = 1-ai ∴1-a=0,a=1. 2 (2)∵z= =-1-i, -1+i +i 1+a
2

+a



- a + +a 2 1+a



∴|z|=



2

+ -

2

= 2,

∴p1 是假命题; ∵z =(-1-i) =2i, ∴p2 是真命题; ∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题共有 2 个:p2,p4. 考点三 复数的运算 例3 (1)(2013·山东改编)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位), 则 z 的共轭复数 z =________. 11-7i (2)(2012·江苏)设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数单位),则 a+b 的值为________. 1-2i 答案 (1)5-i (2)8 5 解析 (1)由(z-3)(2-i)=5 得,z-3= =2+i,∴z=5+i,∴ z =5-i. 2- i 11-7i (2)∵ = 1-2i - - + + 1 = (25+15i)=5+3i, 5
2 2

∴a=5,b=3.∴a+b=5+3=8. (1)与复数 z 有关的复杂式子为纯虚数,可设为 mi(m≠0),利用复数相等去运 算较简便. (2)在有关复数 z 的等式中,可设出 z=a+bi(a,b∈R),用待定系数法求解. (3)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度: 1+i 1-i 2 (1±i) =±2i, =i, =-i, 1-i 1+i 1 3 设 ω =- + i, 2 2 则 ω =1,|ω |=1,ω = ω ,1+ω +ω =0. (1)已知复数 z= 3+i - 3
2 3 2 2

, z 是 z 的共轭复数,则 z· z =________.

(2)(2013·安徽改编)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数.若 z· z i+2=2z, 则 z=________. 1 答案 (1) (2)1+i 4

解析 (1)∵z= 3+ - + 3

3+i - 3 - 3 - 3
2

3+i = = -2-2 3i -

3+i + 3



2 3-2i 3 1 = =- + i, -8 4 4

故 z =-

3 1 - i, 4 4

∴z· z =?-

? ?

3 1 ?? 3 1 ? 3 1 1 + i??- - i?= + = . 4 4 ?? 4 4 ? 16 16 4

(2)设 z=a+bi,a,b∈R, 代入 z· z i+2=2z,整理得:(a +b )i+2=2a+2bi
?2a=2 ? 则? 2 2 ?a +b =2b, ?
2 2

解得?

?a=1 ? ?b=1, ?

因此 z=1+i.

1. 算法 (1)解答有关流程图问题,首先要读懂流程图,要熟练掌握流程图的三个基本结构. (2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中, 如累加求和, 累乘求积, 多次输入等. 利 用循环结构表示算法,第一要选择准确地表示累计的变量,第二要注意在哪一步结束循 环.解答循环结构的流程图题,最好的方法是执行完整每一次循环,防止执行不彻底, 造成错误. 2. 复数 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题, 一般是先变形, 把复数的非代数形 式化为代数形式,然后再根据条件,列方程(组)求解. (2)与复数 z 的模|z|和共轭复数 z 有关的问题,一般都要先设出复数 z 的代数形式 z=

a+bi(a,b∈R),代入条件,用待定系数法解决.
(3)复数运算中常用的结论 ①(1±i) =±2i; ② ③ 1+i =i; 1-i 1-i =-i; 1+i
2

④-b+ai=i(a+bi); ⑤i =1,i
4n 4n+1

=i,i

4n+2

=-1,i

4n+3

=-i,其中 n∈N.

1. 已知 m∈R, 复数 1- 在复平面内对应的点在直线 x-y=0 上, 则实数 m 的值是________. i 答案 1 解析 1- =1+mi,该复数对应的点为(1,m),即 1-m=0,m=1. i 2. 执行如图所示的流程图,输出的 M 的值为________.

m

m

答案 161 解析 由流程图可得:M=1,k=0;

k=1,M=3×1+2=5;k=2,M=3×5+2=17; k=3,M=3×17+2=53; k=4,M=3×53+2=161;
不满足循环条件,跳出循环,输出 M=161.

z+2 3.已知 z 是纯虚数, 是实数,那么 z=________. 1-i
答案 -2i 解析 由题意设 z=ai(a∈R 且 a≠0), ∴

z+2

= 1-i

+a -

+ +



2-a+ a+ 2



则 a+2=0,∴a=-2,即 z=-2i.

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1. (2013·北京改编)在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于第________象限. 答案 四 解析 (2-i) =4-4i+i =3-4i, ∴对应点坐标为(3,-4),位于第四象限. 2. (2012·陕西改编)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的 i ________条件. 答案 必要不充分 解析 直接法. ∵a+ =a-bi 为纯虚数,∴必有 a=0,b≠0, i 而 ab=0 时有 a=0 或 b=0, ∴由 a=0,b≠0? ab=0,反之不成立. ∴“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的必要不充分条件. i 3. 设复数 z 满足 z(1+2i)=4-2i(i 为虚数单位),则|z|等于________. 答案 2 4-2i 解析 由题知 z= , 1+2i ∴|z|=?
2 2

2

b

b

b

?4-2i?=|4-2i|= 20=2. ? ?1+2i? |1+2i| 5

4. (2013·课标全国Ⅰ改编)执行右面的流程图,如果输入的 t∈ [-1,3],则输出的 s 的范围为________. 答案 [-3,4] 解析 由流程图知:

s=?

?3t ? ? ?4t-t
2

t t



①当-1≤t<1 时,-3≤s<3; ②当 1≤t≤3 时,s=-(t-2) +4∈[3,4], 由①②知,s∈[-3,4]. 5. 如图所示的流程图中,若输入值分别为 a=2 ,b=(-0.9) ,c=log0.91.3,则输出的 数为________.
0.9 2 2

答案 a 解析 由此流程图可知输出的数是 a,b,c 三者当中最大的, ∵a=2 >1,b=(-0.9) ∈(0,1),c=log0.91.3<0, ∴a 最大.∴输出的数是 a. -1+2i 2 6. 已知 i 是虚数单位,复数 z= + ,则|z|=________. 2+i 1-i 答案 5 1+ 2 =1+2i? |z|= 5.
0.9 2

5i 解析 z= + 5

7. (2013·陕西改编)设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假 命题是________.(填序号) . ①若|z1-z2|=0,则 z1 = z2 ; ②若 z1= z2 ,则 z1 =z2; ③若|z1|=|z2|,则 z1· z1 =z2· z2 ; ④若|z1|=|z2|,则 z1=z2. 答案 ④ 解析 由|z1-z2|=0,则 z1-z2=0,∴z1=z2,所以 z1 = z2 ,故①为真命题;由于 z1 = z2 ,则 z1 = z2 =z2,故②为真命题;由|z1|=|z2|,得|z1| =|z2| ,则有 z1· z1 =
2 2 2 2

z2· z2 ,故③为真命题,④为假命题,如 z1=1,z2=i.
8. 执行如图的流程图,输出的 A 为________.

答案 2 047 解析 该流程图的功能是求数列{an}的第 11 项,而数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+1. ∵an+1=2an-1+2=2(an-1+1), ∴{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴an=2 -1,∴a11=2 -1=2 047. 9. 根据如图所示的伪代码,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 值为________.
n
11

答案 3 解析 ∵a=2,b=3,∴a<b,应把 b 值赋给 m, ∴m 的值为 3. 10. (2013·重庆改编)执行如图所示的流程图,如果输出 s=3,那么判断框内的 n 应为 _______.

答案 7 解析 当 k = 2 时, s = log23 ,当 k = 3 时, s = log23·log34 ,当 k = 4 时, s =

lg 3 lg 4 lg 5 log23·log34·log45.由 s=3,得 × × ×…× lg 2 lg 3 lg 4

k+ lg k

=3,即 lg(k+1)

=3lg 2, 所以 k=7.再循环时, k=7+1=8, 此时输出 s, 因此判断框内应填入“k≤7”. 11.已知集合 A={x|x +y =4},集合 B={x||x+i|<2,i 为虚数单位,x∈R},则集合 A 与
2 2

B 的关系是________.
答案 B

A
2 2

解析 |x+i|= x +1<2,即 x +1<4, 解得- 3<x< 3, ∴B=(- 3, 3),而 A=[-2,2],∴B A. 12.如图所示的流程图,当 x1=3,x2=5,x3=-1 时,输出的 p 值为________.

答案 4 解析 依题意得,当 x1=3,x2=5,x3=-1 时,|x1-x2|<|x2-x3|,p= 输出的 p 值是 4. 13. (2013·湖南)执行如图所示的流程图, 如果输入 a=1, b=2, 则输出的 a 的值为________.

x1+x2
2

=4,因此

答案 9 解析 输入 a=1,b=2,执行第一次循环 a=3;第二次循环 a=5;第三次循环 a=7; 第四次循环 a=9.循环终止,输出 a=9. 14.(2013·广东)执行如图所示的流程图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为________.

答案 7 解析 i=1,s=1→i=2,s=1→i=3,s=2→i=4,s=4→i=5,s=7 结束. 15.(2013·湖北)阅读如图所示的流程图,若输入 m 的值为 2,则输出的结果 i=________.

答案 4 解析 第一次循环:i=1,A=2,B=1;第二次循环:i=2,A=4,B=2;第三次循环:

i=3,A=8,B=6;第四次循环:i=4,A=16,B=24,终止循环,输出 i=4.