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江西省南昌市第二中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 理


南昌二中 2015—2016 学年度上学期第一次考试 高三数学(理)试卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知函数 y ? lg x 的定义域为集合 A,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B ? ( A. (0, ??) B. [0,1] C. [0,1) ) 3 D.- 4 D. (0,1]

?

?



3 2.已知 α 为第二象限角,且 sin α = ,则 tan(π +α )的值是( 5 4 3 3.下列说法正确的是( A.
2

B.

3 4 )
2

4 C.- 3

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” B.已知 y ? f ( x) 是 R 上的可导函数,则“ f ?( x0 ) ? 0 ” 是“ x0 是函数 y ? f ( x) 的极值点”的必要不充分条件 C.命题“存在 x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“角 ? 的终边在第一象限角,则 ? 是锐角”的逆否命题为真命题 4.已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则 sin α 等于( A.sin 2 B.-sin 2 C.cos 2 )
2 2

D.-cos 2

1 ? 1 5.设 a ? log 2 , b ? e 2 , c ? ln ? ,则( 3

) C. a ? b ? c D. b ? a ? c

A. c ? a ? b

B. a ? c ? b
3

6.设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ? A. [0, ) ? [

? 2

5? ,? ) 6

2 上的任意一点,P 点处切线倾斜角 ? 的取值范围 3 2? ? 2? ? 5? ,? ) B. [ C. [0, ) ? [ , ? ) D. ( , ] 3 2 6 2 3

7.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

2? ? 向右平移 3 个单位,再将所得的函数图象上的各点纵 3?

坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,则函数 y ? g ? x ? 与

x??

?
2

,x?

?
3

, x 轴围成的图形面积为(



-1-

A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D. 1 ?

3 2

?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 8.已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( , ??? ( x ? 1) ? ?x
A. ?3 ≤ a <0 B. ?3 ≤ a ≤ ?2 C. a ≤ ?2 D. a <0



9.已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,且 f ?x ? 1? ? f ?x ? 1? ,当 x ? ?0,1? 时,

f ?x ? ? 2 x ? 1,则函数 g ( x) ? f ( x) ? ln
A.3 B.4

x 的零点个数为( 2
C.5

) D.6 )

10.若 ? , ? 都是锐角,且 cos? ?

10 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? ? ( 10 5
C.

A.

2 2
x

B.

2 10
2

2 2 或? 10 2

D.

2 2 或 2 10
)

1 1-x 11.已知 a≤ +ln x 对任意 x ? [ , 2] 恒成立,则 a 的最大值为(
A.0 B.1 C.2 D.3

x 12.设函数 f ( x) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 t ,使得 f (t ) ? 0 ,

则 a 的取值范围是( A. ? ? ,1? ? 2e ?

) B. ? ? , ? ? 2e 4 ?

?

3

?

?

3 3?

C. ? , ? ? 2e 4 ?

? 3 3?

D. ? ,1 ? ? 2e ?

?3

?

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上. )
2 13.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? 2sin 2? =

. .

2 14.已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ?x? ? 3x ? 2 xf ' ?2? ,则 f ' ? 4? ?

15. 在 ?ABC 中,如果 cos( B ? A) ? 2sin A sin B ? 1 ,那么△ABC 的形状是________. 16. 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x (其中常数 ? ? 0 ) ,若存在 x1 ? ? ? 使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 ? 的取值范围为 .

? 2? ? ? ?? , 0 ? , x2 ? ? 0, ? , ? 4? ? 3 ?

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
-2-

17. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间.

?
2

) 的部分图象如图所示.

18. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x?2m
2

? m?3

(m ? Z ) 是偶函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

(1)求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式; (2) g ( x) ? log2[3 ? 2 x ? f ( x)] ,求 g ( x) 的定义域和值域。

-3-

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 面 积 为 S , 已 知

a cos 2

C A 3 ? c cos 2 ? b . 2 2 2

(Ⅰ)求 a ? c ? 2b 的值; (Ⅱ)若 B ?

?
3

, S ? 4 3 ,求 b .

20.(本小题满分 12 分)

SA ? 平面 ABCD , ?ADC ? 60? , 如图, 已知四棱锥 S ? ABCD , 底面 ABCD 为菱形,
E,F 分别是 SC, BC 的中点.
(Ⅰ)证明: SD ? AF ; (Ⅱ)若 AB ? 2, SA ? 4 ,求二面角 F ? AE ? C 余弦值. S 的

E A B F C

D

-4-

21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? sin x ( a ? R )

1 时,求 f ( x) 在 [0, π ] 上的最值; 2 π π (II)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 在区间 [ ? , ] 上不单调 .求实数 a 的取值范围. ... 2 2
(I)当 a ?

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 1 ( a ? R ) . (I)求 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,求所有实数 a 的值;

-5-

(III)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n( n ? 1) ? ? ??? ? (n ? N , n ? 1) . 3 4 5 n ?1 4

南昌二中 2015—2016 学年度上学期第一次考试 高三数学(理)试卷参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. ) 题号 选项 1 D 2 D 3 B 4 D 5 C 6 C 7 B 8 B 9 B 10 A 11 A 12 D

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. )

-6-

13.

?

4 5

14. 0

15.

等腰三角形

16.

?3 ? ? , ?? ? ?2 ?

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图象上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? ? 5? 5? 4? 5? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又? 0 ? ? ? ,? 即? = . 6 2 6 6 3 6
17.解: (Ⅰ)由题设图象知,周期 T ? 2( 又点 在函数图象上,所以 A sin (0,1)

?

6

? 1, A ? 2 ,

故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)由 ?

?
6

). ????5 分

π π π ? 2kπ ? 2 x ? ? ? 2 kπ (k ? Z ) , 2 6 2 π π (k ? Z ) , 解得 kπ ? ? x ? kπ ? 3 6 π π 所以 f ( x) 的单调递增区间是 [ kπ ? , kπ ? ]???( k ? Z ) .????10 分 3 6

18.解: (1)因为 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,由幂函数的性质得 ?2m2 ? m ? 3 ? 0 , 解得 ?1 ? m ?

3 ,因为 m ? Z ,所以 m ? 0 或 m ? 1 2
3

当 m ? 0 时, f ? x ? ? x 不是偶函数; 当 m ? 1 时, f ? x ? ? x 是偶函数,
2

所以 m ? 1 , f ? x ? ? x ;????6 分
2
2 2 (2)由(1)知 g ? x ? ? log 2 ? x ? 2 x ? 3 ,由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?3 ? x ? 1 ,

?

?

所以 g ( x) 的定义域为 (?3,1) 。????9 分 设 t ? ? x ? 2x ? 3, x ? (?3,1) ,则 t ? ? 0, 4? ,
2

此时 g ? x ? 的值域,就是函数 y ? log2 t , t ? ? 0,4? 的值域.

y ? log2 t 在区间 ? 0, 4? 上是增函数,所以 y ? ? ??,2? ;
所以函数 g ? x ? 的值域为 ? ??, 2? .????12 分

-7-

19.解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin A cos 即 sin A

2

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B 2 2 2

1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? sin C ? sin B 2 2 2

所以 sin A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3sin B 即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B 因为 sin( A ? C ) ? sin B ,所以 sin A ? sin C ? 2sin B 由正弦定理得 a ? c ? 2b ? 0 ;????6 分 (Ⅱ)因为 S ?

1 3 3 ,所以 ac ? 16 , ac sin B ? ac ? 2 4 4

又由余弦定理有 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? c2 ? ac ? (a ? c)2 ? 3ac 由(Ⅰ)得 a ? c ? 2b ,所以 b ? 4b ? 48 ,得 b ? 4 。????12 分
2 2

20.(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ADC ? 60 ,可得 △ ABC 为正三角形.
?

因为 F 为 BC 的中点,所以 AF ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AF ? AD .????2 分 因为 SA ? 平面 ABCD , AF ? 平面 ABCD ,所以 SA ? AF . 而 SA ? 平面 SAD , AD ? 平面 SAD 且 SA ? AD ? A , 所以 AF ? 平面 SAD .又 SD ? 平面 SAD ,????5 分 所以 AF ? SD . ???? 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AF , AD, AS 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系,又 E,F 分别为 SC, BC 的中点,所以 A(0, 0,, 0) B( 3, ?1 ,, 0) C( 31 , ,, 0) D(0, 2, 0) ,

? 3 1 ? S (0, 0, 4), E ? ? 2 , 2 ,2? ? , F ( 3, 0, 0) , ? ? ??? ? ? 3 1 ? ??? ? , , 2 , AF ? ( 3, 0, 0) . 所以 AE ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) , A B D F x C y
-8-

z S

E

??? ? ? 3 1 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? ?m ? AE ? 0 则? ,因此 ? 2 2 ??? ? m ? AF ? 0 ? ? ? ? 3 x1 ? 0
取 z1 ? ?1,则 m ? (0, 4, ?1) ,????9 分 因为 BD ? AC , BD ? SA , SA ? AC ? A , 所以 BD ? 平面 AEC , 故 BD 为平面 AEC 的一法向量,且 BD ? (? 3, 3, 0) ,????10 分

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? m ? BD 4?3 2 51 所以 cos ? m, BD ?? ,????11 分 ? ??? ? ? 17 17 ? 12 m ? BD
由于二面角 E ? AF ? C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

2 51 .????12 分 17

21.解:

1 1 1 时, f ( x ) ? x ? sin x ,∴ f ?( x) ? ? cos x 2 2 2 2π 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 。 3
(I)当 a ?

x
f ?( x )

0

(0,

2π ) 3

2π 3
0

(

?
0 增

2π , π) 3 ?


π

f ( x)

π 3 ? 3 2

π 2

所以 f ( x) max ? f (

2π π 3 , f ( x)min ? f (0) ? 0 ????6 分 )? ? 3 3 2

(II)? f ( x) ? ax ? sin x , f ?( x) ? a ? cos x , ∴ g ( x) ? ax ? sin x ? cos x ? a 则 g ?( x) ? a ? cos x ? sin x ? a ? 2 sin( x ? ∵ x ? [?

?
4

)

π π ? , ] ,∴ 2 sin( x ? ) ? [? 2,1] 2 2 4

-9-

π π π π , ] 上恒成立,即 g ( x) 在区间 [? , ] 上递减,不合题意, 2 2 2 2 π π π π 当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0 在 [ ? , ] 上恒成立,即 g ( x) 在区间 [ ? , ] 上递增,不合题意, 2 2 2 2 π π 故函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 在区间 [ ? , ] 上不单调 ,则 ? 2 ? a ? 1, ... 2 2
当 a ? ? 2 时, g ?( x) ? 0 在 [ ? 综上所述,实数 a 的取值范围为 (? 2,1) .

22.解: (I) f '( x) ?

a a?x ?1 ? (x ? 0) , x x

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 减区间为 (0, ??) 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? a ∴ f ( x) 递增区间为 ? 0, a ? ,递减区间为 ? a, ?? ? . ????4 分

(II)由(1)知:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上为减区间,而 f (1) ? 0 ∴ f ( x) ? 0 在区间 x ? (0, ??) 上不可能恒成立; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? 0, a ? 上递增,在 ? a, ?? ? 上递减, f ( x)max ? f (a) ? a ln a ? a ? 1 ,令

g (a) ? a ln a ?a ?1 , 依题意有 g (a) ? 0 ,而 g ?(a) ? ln a ,且 a ? 0
∴ g (a) 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增,∴ g (a)min ? g (1) ? 0 ,故 a ? 1 .???8 分 (III)由(II)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即 ln x ? x ? 1 在 (0, ??) 上 恒成立,当且仅当 x ? 1 时等号成立。 令 x ? k (k ? N , k ? 1) ,则有 ln k ? k ? 1 ,即 2ln k ? (k ? 1)(k ? 1) ,
2 2 2

整理得

ln k k ? 1 ? 。 k ?1 2

ln 2 1 ln 3 2 ln 4 3 ln n n ? 1 ? , ? , ? ,?, ? , 3 2 4 2 5 2 n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) n(n ? 1) ? ? ??? ? ? 叠加得 , 3 4 5 n ?1 2 4 ln 2 ln 3 ln 4 ln n n( n ? 1) ? ? ??? ? 即 得证。????12 分 3 4 5 n ?1 4
当 k ? 2,3, 4,? n 时,分别有

- 10 -


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