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浙江省杭州市第二中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


杭州二中 2015 学年第一学期高一年级期终考试数学试卷
本 试卷分为第Ⅰ卷(选择题和填空题)和第Ⅱ卷(答题卷)两部分,满分 100 分,考试时间 100 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? ?a, b? ,则满足 A ? B ? ?a, b, c? 的集合 B 的个数是( ) A.2 B.3
x?2 3

C.4

D.9 )

?1? 2.函数 f ? x ? ? x ? ? ? ?2?

的零点所在区间为( D. (3, 4)

A. (0,1) B. (1, 2) C. (2,3)

3.已知 O 为坐标原点,向量 OA ? ?1,3 ? , OB ? ? 3, ?1? ,且 AP ? 2 PB ,则点 P 的坐标为(



? ) C. ( ,) D. ? ?2, 4 ? A. ? 2, ?4 ? B. ( ,
4.若当 x ? R 时,函数 f ( x) ? a 始终满足 0 ? f ( x) ?1 ,则函数 y
x

2 3

4 3

7 1 3 3

? log a

1 x

的图象大致为(



5.已知函数 f ? x ? ? logsin1 x 2 ? ax ? 3a 在 ? 2, ?? ? 单调递减,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??, 4? 6. k ? Z 时, B. ? 4, ?? ? C. ? ?4, 4? D. ? ?4, 4?

?

?



sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为( ) sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[(k ? 1)? ? ? ] A.-1 B.1 C.±1 D.与 ? 取值有关 2? ] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1 所得的弦长相等且不为 0 , 7. 曲线 y ? A sin ? x ? a ( A ? 0, ? ? 0) 在区间 [0, ?
则下列对 A, a 的描述正确的是( A. a ? )

1 3 ,A? 2 2

B. a ?

1 3 ,A? 2 2

C. a ? 1, A ? 1

D. a ? 1, A ? 1 )

8.己知函数 f ( x) ? ( x ?1)(log3 a)2 ? 6(log3 a) x ? x ? 1 在 x ? [0,1] 内恒为正值,则 a 的取值范围是( A. ?1 ? a ?

1 3

B. a ?

1 3

C. a ? 3 3

D.

9.已知函数 y ? f ? x ? 的图像是由 y ? sin 2 x 向右平移

?
12

1 ?a? 33 3


得到,则下列结论正确的是(

1

A. f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? 4 ? C. f ? 0 ? ? f ? 4 ? ? f ? 2 ?

B. f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 4 ? D. f ? 4 ? ? f ? 2 ? ? f ? 0 ?
3

1 ?? ? ? ?? ? 10. 若 ? ? ? 0, ? ? , ? ? ? ? , ? , ? ? R ,且 ? ? ? ? ? cos ? ? 2? ? 0 , 4 ? 3 ? sin 2 ? ? ? ? 0 , 2 2? ? 4 4? ?
则 cos ?

?? ? ? ? ? 的值为 ( ?2 ?



A. 0 B.

2 3 1 C. D. 2 2 2
?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.已知幂函数 f ? x ? ? k ? x 的图象过点 ( , 2) ,则 k ? ? ? _______. 12.已知弧长为 ? cm 的弧所对的圆心角为
2

1 2

13.已知 0 ? x ?

?
2

, sin x ? cos x ?

?
4

? 2 ,则这条弧所在的扇形面积为_______ cm . 4
a 1 可表示成 的形式( a, b, c 为正整数) ,则 b ?? c tan x

.若 tan x ?

a ? b ? c ? _____________.
x ?? 14 . 下 列 命 题 : (1) y ? cos ? ? 2 x ? ? 最 小 正 周 期 为 π ; (2) 函 数 y ? ta n2 的 图 象 的 对 称 中 心 是 6? ?
(k? ,0), k ? Z ;(3) f ? x ? ? tan x ? sin x 在( - ,
误 的是_____________. . 15.在锐角 ?ABC 中, AC ? BC ? 2 , CO ? xCA ? yCB (其中 x ? y ? 1 ) ,函数 f (? ) ?| CA ? ? CB | 的 最小值为 3 ,则 | CO | 的最小值为___________.

π π )上有 3 个零点; (4)若 a //b, b// c ,则 a // c .其中错 . 2 2

? 1 ? 1? ? x ? 2 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 16.已知函数 f ? x ? ? ? ,若存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围 ?3x 2 , x ? ? 1 ,1? ? ? ?2 ? ? ?
为____________.

2

杭州二中2015学年第一学期高一年级期终考试数学答题卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要 求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11._____ ______12.___________

13.___________

14.___________

15.___________

16.___________

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? x | 3 ? 3x ? 27 , B ? {x | log 2 x ? 1} . (1)分别求 A ? B , A ? B ; (2)已知集合 C ? ? x |1 ? x ? a? ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

3

18. (本题满分 12 分) 已知点 A x1 , f ? x1 ? , B x2 , f ? x2 ? 是函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ?

?

?

?

?

?
2

? ? ? 0) 图象上的任意两

点,且角 ? 的终边经过点 P 1, ? 3 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, x1 ? x2 的最小值为 (1)求函数 f ? x ? 的解析式;

?

?

? . 3

? 4? 2 (2) 若方程 3? f ( x)? ? f ( x) ? m ? 0 在 x ? ( , ) 内有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 9 9

4

19. (本题满分 10 分) 设 G 为 ?ABC 的重心, 过 G 作直线 l 分别交线段 AB, AC (不与端点重合)于 P, Q . 若

A P ?A ? BA Q,
(1) 求

A C ??
1



1

?

?

?

的值;(2) 求 ? ? ? 的取值范围.

5

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? a .
2

(1) 若函数 y ? f ? x ? 为偶函数,求 a 的值; (2)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间; 2

(3)当 a ? 0 时,若对任意的 x ? [0, ??) ,不等式 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

6

杭州二中2015学年第一学期高一年级期末考试数学答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 D 9 A 10 C

二、填空题:本大题 共6小题,每小题4分,共24分. 11. 012. 2? 1 3. 50 15. 3 16. ?

14. (1)(3)(4)

? 3 1? ,? ?16 2 ?

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)解: (1)

3 ? 3x ? 27 即 31 ? 3x ? 33 ,?1 ? x ? 3 ,? A ? ?x 1 ? x ?3 ? ,

B ? ?x 0 ? x ? 2
(2)由(1)知

? ,? A ? B ? ?x |1 ? x ? 2 ? , A ? B ? ?x | 0 ? x ? 3}

A ? ?x 1 ? x ?3

? ,当 C ? A

当 C 为空集时, a ? 1 当 C 为非空集合时,可得 综上所述 a ? 3

1? a ? 3

18. (本题满分 12 分) 解: (1) 角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,tan ? ? ? 3 ,

?

?
2

? ? ? 0 ?? ? ?


?
3.



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4

2? 2? 2? T? ? ? 3 ,即 ? 3 ,?? ? 3 . 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 ,得 3

f ( x) ? 2sin(3 x ? ) 3 ∴
? 4? ? ? x?( , ) 3x ? ? (0, ? ) 0 ? sin(3x ? ) ≤ 1 9 9 ∴ 3 3 (2) ,∴ .设 f ( x) ? t ,
问题等价于方程 3t 2 ? t ? m ? 0 在(0,2)仅有一根或有两个相等的根. 2 2 ∵?m = 3t ?t,t ?(0, 2). 作出曲线 C:y = 3t ?t,t ?(0, 2)与直线 l:y = ? m 的图象.
1 1 ? ∵t = 6 时,y = 12 ;t = 0 时,y = 0;t = 2 时,y = 10.

?

7

∴当 ?m = ?

1 或 0≤?m<10 时,直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点. 12 1 12

∴m 的取值范围是: ?10 ? m ≤ 0 或 m ?

19. (本题满分 10 分)解:(Ⅰ)连结 AG 并延长交 BC 于 M,则 M 是 BC 的中点,设 AB ? b, AC ? c ,则

AM ?

1 1 2 1 ( AB ? AC ) ? (b ? c) , AG ? AM ? (b ? c) 2 2 3 3




又 AP ? ? AB ? ?b, AQ ? ? ? AC ? ? ? c ,

? PQ ? AQ ? AP ? uc ? ? b , PG ? AG ? AP ? 1 (b ? c) ? ? b ? ( 1 ? ? )b ? 1 c 3 3 3
? P, G, Q 三点共线,故存在实数 t ,使 PG ? t PQ ,? ( 1 ? ? )b ? 1 c ? t ? c ? t ? b 3 3

?1 ? ? ? ?t ? ? ?3 ?? ?1 ? t? ? ? ?3 ,消 t 得: 1 ? 3? ? ? ,即

1

?

?

?

1

?

?3

b?
或者另一种解法由②式得

1

?

AP,

c?

1

?

AQ ,



AG ?
将③代入①得

1 1 AP ? AQ 3? 3? .? P, G, Q 三点共线, 1

1 1 ? ?1 故 3? 3? ,即
(Ⅱ)

?

?

1

?

?3


? , ? ? ? 0,1? ? ? ?

? 1 ?1 ? ? ? 0,1? ? ? ? ? ,1? , 即 ? ?1, 2 ? , ? 3? ? 1 ?2 ?

?? ?

?2 1 1 ? ? 3? ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ?( 1 ? 3 ) 2 ? 9 ? ? 2 4 ?2

1
其中 ?

?

3 9 1 1 3 1 3 ? 2 ? ? 1或2 ? 2 ? 2 时, ? ? 有最大值 4 , ? ? 有最小值 2, 时, ?
?4 1 ? . , ? ? ?9 2 ?

于是 ? ? ? 的取值范围是

20. (本题满分 14 分)解:(1)任取 x ? R ,则有 f ( ? x ) ? f ( x ) 恒成立,

8

即 (? x) ? 2 | ? x ? a |? x ? 2 | x ? a | 恒成立
2 2

?| x ? a |?| x ? a | 恒成立,? 平方得: 2ax ? ?2ax 恒成立? a ? 0

a?
(2)当

1 ? 2 1 x ? 2 x ? 1( x ? ) ? 2 2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 | x ? 1 |? ? ? 1 2 ? 2 x ? 2 x ? 1( x ? ) ? ? 2

由函数的图像可知,函数的单调递增区间为 ? ?1, ? ,[1, ??) 。 2

? ?

1? ?

(3)不等式 即:

f ? x ? 1? ? 2 ? x ?

化为

? x ? 1?

2

? 2 x ?1 ? a ? 2x2 ? 4 x ? a
(*)

4 x ? a ? 2 x ? ?1 ? a ? ? x 2 ? 2 x ? 1

对任意的

x ? ? 0, ?? ?

恒成立

因为 a ? 0 ,所以分如下情况讨论: ① 0 ? x ? a 时,不等式(*)化为 ?4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x ? 2 x ? 1 恒成立
2
2 即 x ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0对?x ? [0, a]恒成立

g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0在[0, a] 上单调递增 g ( x)min ? g (0) ? 1 ? 2a ? 0
?0 ? a ? 1 2
2

只需

②当 a ? x ? a ? 1 时,不等式(*)化为 4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x ? 2 x ?1 恒成立
2 即 x ? 4 x ? 1 ? 6a ? 0对?x ? (a, a ? 1]恒成立

0?a?
由①知

1 2 ,? h( x) ? x 2 ? 4 x ? 1 ? 6a在(a, a ? 1]上单调递减

?只需h( x)min ? h(1 ? a) ? a2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2
6 ?2? 1 1 ? 6 ?2? a ? 2 2
2

③当 x ? a ? 1 时,不等式(*)化为 4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x ? 2 x ?1 恒成立
2 即 x ? 2a ? 3 ? 0对?x ? (a ? 1, ??)恒成立

9

? ( x) ? x 2 ? 2a ? 3 ? 0在(a ? 1, ??)上单调递增
? 只需? ( x) min ? ? (a ? 1) ? a 2 ? 4a ? 2 ? 0
综上所述, a 的取值范围是: 6 ? 2 ? a ?

? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2 由②得:
1 2

6 ?2? a ?

1 2

10


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