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高中数学高考高三理科一轮复习资料第6章 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_图文

高中数学 6.3 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题 考纲点击 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示 二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐 标 系 中 表 示 直 线 Ax + By + C = 0 某 一 侧 所 有 点 组 成 的 ① __________. 我们把直线画成虚线以表示区域② __________ 边 界直线.当我们在坐标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的 平面区域时,此区域应③______边界直线,则把边界直线画成 ④______. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把 它的坐标 (x , y) 代入 Ax + By + C ,所得到实数的符号都⑤ ______,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的⑥______即可判断 Ax+By+C>0 表示直线 Ax +By+C=0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的⑦__________ 由 x, y 的⑧______不等式(或方程)组成的 线性约束条件 不等式组 目标函数 欲求⑨______或⑩______的函数 线性目标函数 关于 x,y 的?______解析式 可行解 满足?____________的解 所有?__________组成的集合 使目标函数取得?______或?______的 最优解 可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的? 线性规划问题 ______或?______问题 可行域 答案:①平面区域 ②不包括 ③包括 ④实线 ⑤相同 ⑥符号 ⑦一次不等式 ⑧一次 ⑨最大值 ⑩最小值 ? 一次 ? 线性约束条件 ? 可行解 ? 最大值 ? 最小值 ?最大值 ?最小值 考点自测 1.不等式 x+3y-1<0 表示的平面区域在直线 x+3y-1= 0 的( ) A.右上方 B.右下方 C.左下方 D.左上方 答案:C ?x≥0 ? 2 .不等式组 ?x+3y≥4 所表示的平面区域的面积等于 ?3x+y≤4 ? ( ) 3 2 4 3 A.2 B.3 C.3 D.4 解析:不等式组所表示的平面区域是一个三角形,三个 4 顶点的坐标分别是(0, ),(0,4),(1,1),所以三角形的面积 S 3 1 4 4 =2×(4-3)×1=3. 答案:C ? ?x≥0, ?y≥0, 3. 直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 平面区域的公共点有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 表示的 解析:直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域的 位置关系如图所示,故直线与此区域的公共点有 1 个,选 B. 答案:B ?x+y≤1, ? 4.设变量 x,y 满足?x-y≤1, ?x≥0, ? 小值分别为( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1 则 x+2y 的最大值和最 解析:画出可行域如图,分析图可知当直线 u=x+2y 经 过点 A、C 时分别对应 u 的最大值和最小值. 答案:B 5.如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那 么 2x-y 的最小值为________. 解析:设目标函数为 z=2x-y,借助平移,显然点 (1,1) 满足题意,则 2x-y 的最小值为 1. 答案:1 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时, 经常采用“直线 定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界, 即若不等式不含等号, 则应把直线画成虚线; 若不等式含有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个 特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则 表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一侧.特 别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选 点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 2.线性规划是数形结合的体现 (1)线性规划实质上是 “数形结合 ”数学思想方法在一个 方面的体现,将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来,是 一种较快地求最值的方法. (2)在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范 围,不可将范围盲目扩大. 题型探究 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1 如图,△ABC 中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写 出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组. 解析:方法一:由两点式得 AB、BC、CA 直线方程并化简 为: AB:x+2y-1=0,BC:x-y+2=0; CA:2x+y-5=0. ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程 ?x+2y-1≥0, ? 左端,结合式子的符号可得不等式组为?x-y+2≥0, ?2x+y-5≤0. ? 方法二:由 AB 的方程及三角形区域在 AB 上方, 根据“同号在上”原则,得不等式 x+2y-1≥0. 由 BC 的方程及三角形区域在 BC 下方, 根据“异号在下”原则, 得不等式 x-y+2≥0. ?x+2y-1≥0, ? 同理得 2x+y-5≤0,从而得不等式组?x-y+2≥0, ?2x+y-5≤0. ? 点评:判断二元一次不等式表示的平面区域可直接利用上 述“同号在上,异号在下”的结论直接判断. 变式探究 1 平面区域的面积. ? ??x+y??x-y+5?≥0, 求不等式组 ? ? ?-3≤x≤3 表示的 ?