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2017年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟(二)试题word版含解析

2017 年浙江省镇海市镇海中学高中竞赛模拟(二) 数学试题 1. 若集合 A. C. 【答案】D 【解析】依题意, 由 所以, 故选 D; 2. 若函数 ( A. C. 【答案】A 【解析】当 当 时, ,且 ∴ 故选 A; 3. 如图,在四面体 表面上与点 距离为 A. C. 【答案】B B. D. 中,已知 两两互相垂直,且 ) .则在该四面体 时 时,函数 ,即 恒成立. . 时, 的值域为 , ) B. D. ( ,且 )的值域为 ,则实数 的取值范围为 ,知 或 ; ,知 ,即 或 , . . . B. D. , , ,则集合 ( ) , 的取值范围为 的点形成的曲线段的总长度为( 1 【解析】 如图,设 由 知 ∴在面 , 内与点 距离为 ( 在 , , 上, 在 上, 在 , . 上). 的点形成的曲线段(图中弧 的点形成的曲线段长为 的点形成的曲线段长为 的点形成的曲线段长为 ) 长为 . . . . . 同理,在面 同理,在面 同理,在面 内与点 距离为 内与点 距离为 内与点 距离为 所以,该四面体表面上与点 距离为 故选 B. 的点形成的曲线段的总长度为 点睛:想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧,找到相应的圆弧的圆心角,和半径,弧长就求出来了; 4. 中,“ ”是“ B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ”的( ) A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】C 【解析】试题分析:由正弦定理可得,在 则 ,由倍角公式可得 中,“ ”则 ,可得 中,“ ”是 , ,反之也成立,所以在 “ 考点:正弦定理与倍角公式. 5. 已知函数 的解集为( ) ”的充分必要条件,故选 C. ,则关于 的不等式 2 A. C. 【答案】D 【解析】令 不等式转化为 故选 D. 6. 记 为 D. B. ,则函数 为奇函数且在实数上为增函教, 三个数中的最小数,若二次函数 的最大值为( ) 有零点,则 A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】可以不妨设 所以 所以 故选 B. ,因为 , (当且仅当 ,所以 ,故 , 时取等号) 二、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 7. 数学竞赛后,小明、小乐和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌,老师 猜测:“小明得金牌,小乐不得金牌,小强得的不是铜牌.”结果老师只猜对了一个,由此推断:得金 牌、银牌、铜牌的依次是__________. 【答案】小乐,小强,小明. 【解析】其一,若小明得金牌,则小乐一定不得金牌,不合题意; 其二,小明得银牌时,再以小乐得奖情况分析,若小乐得金牌,小强得铜牌,不合提议,若小乐得铜牌 小强得金牌,也不合题意; 其三,若小明得铜牌,仍以小乐得奖情况分类,若小乐得金牌,小强得银牌,则老师才对一个合题意, 若小乐得银牌,小强得金牌,则老师对了俩;不合题意,综上,小明得铜牌,小乐得金牌,小强得银牌. 8. 省中医院 5 月 1 号至 5 月 3 号拟安排 6 位医生值班,要求每人值班 1 天,每天安排 2 人.若 6 位医生 中的甲不能值 2 号,乙不能值 3 号,则不同的安排值班的方法共有__________种. 3 【答案】42; 【解析】分两类 (1) 甲、乙同一天值班,则只能排在 1 号,有 (2) 甲、乙不在同一天值班,有 故结果为 42. 9. 已知函数 成立,则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】函数 问题等价于对于 由于 ,所以 , ,所以 . 视作为 的函数,求出最值;再看成 x 的函数求最值. ,则 ; 及 ,所 . 是偶函数, 时, (符号 表示不超过 的最大整数),若关于 的方程 的取值范围为__________. . ; 视作为 的函数 , , 若对于任意的 , 存在 , 使得 种排法; 种排法,故共有 42 种方法. 所以问题等价于 即 故结果为 点睛:双变元问题,先看成函数 10. 已知 【答案】 【解析】由 有 故结果为 11. 已知 恰有三个不相等的实根,则实数 的取值范围为__________.学#科#网...学#科# 网...学#科#网...学#科#网...学#科#网... 【答案】 ; 与 的草图(如图所示). 【解析】作出函数 4 易知直线 从图像可知, 当 ∴ 的取值范围为 恒过点 , 是方程 的一个根. ,即 . 时,两个函数的图像恰有三个不同的交点. 点睛:方程的根转化为函数的零点,图像的交点问题,且发现直线 根据图像得到结果. 12. 已知点 为椭圆 点(点 在 轴的上方),且 【答案】 ; , 过定点; 的右焦点, 椭圆的离心率为 , 过点 的直线交椭圆于 ,则直线的斜率为__________. 两 【解析】极点在右焦点的极坐标方程为 所以 从而 所以直线的斜率为 13. 方程 况). 【答案】 【解析】 ∴ 由 ∴ 若 将 ,知 , ,则 , , , . ,∴ ,因此, ; . , ,可得 . , , , 的正整数解 为______________ (写出所有可能的情 , . . 代入题中方程,得 . 5 若 若 ,则 ,则 符合 , .以, .由 知, 不存在. ,又 ,因此, . 经验证只有 将 . . 或 . 代入题中方程,得 ∴符合条件的正整数解有 14. 一个有限项的数列满足:任何 3 个连续项之和都是负数,且任何 4 个连续项之和都是正数,则此数 列项数的最大值为__________. 【答案】5; 【解析】一方面可以构造 5 项的数列: 另一方面,证明满足条件的数列不超过 5 项. 否则取出前 6 项,作出如下排列: 符合题设; 由每行的和为负数,知这 12 个数之和为负数; 由每列的和为正数,知这 12 个数之和为正数. 矛盾. 故结果为