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广东省东莞市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题(A)


1

2

3

4

东莞市 2013—2014 学年度第一学期期末教学质量检查 高一数学(A 卷)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 D 10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. (1,??) 12. 1 13.

5000? 3

14. ?

3 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 15.(本小题满分 12 分) 解: (1)由题知 2
x ?1

? 16 ,即 2x?1 ? 24 ,
x

因为 2 ? 1,指数函数 y ? 2 在 R 上单调递增,所以 x ? 1 ? 4 , x ? 5 , 所以 B ? {x | x ? 5} , …………2 分 …………4 分 …………6 分 ………8 分

CR B ? {x | x ? 5}, A ? (CR B) ? {x | x ? ?1}
(2)由(1)知, A ? (CR B) ? {x | 5 ? x ? 8} , 要使 A ? (CR B) ? C ,必须有 ? 解得 m ? 7 .

?? m ? 5 , ?1 ? m ? 8

………10 分 …………11 分 ……12

又 m ? 0 ,所以使得 A ? (C R B) ? C 的实数 m 的取值范围是 [7, ??) . 分

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,直线 l1 的斜率为 k1 ? 直线 l 2 的斜率为 k2 ? ?m . 因为 l1 ? l 2 ,所以 k1 ? k2 ? ?1 ,

1 , 2

…………1 分 …………2 分 …………3 分

5

1 ? (?m) ? ?1 ,解得 m ? 2 . 2 1 (2)由题意,直线 l3 的斜率为 k3 ? . 2
所以 因为 l2 // l3 ,所以 k2 ? k3 , 所以 ? m ?

…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分

1 1 ,解得 m ? ? ,满足 l2 // l3 . 2 2

(3)因为 l1 ? l 2 ,所以 m ? 2 , 由? 分 ①当直线 l 的斜率不存在时,过点 (1,3) 的直线 l : x ? 1 ,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?x ? 1 ,解得 ? ,即 l1 与 l 2 的交点坐标为 (1,3) . ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?y ? 3

…………8

1,满足条件.
… … 9分 ②当直线 l 的斜率存在时, 设 直 线 l : y ? 3 ? k ( x ? 1) , 则 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 d ?

3?k k 2 ?1

? 1 ,解得

k?

4 . ……10 分 3
所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . …………11 分 …………12 分

综上,满足条件的直线 l 的方程为: x ? 1 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 .

17.(本小题满分 14 分)
P

解: (1)因为 M、N 分别为 PB、PD 的中点,所以 MN 是

?PBD 的中位线,即 MN // BD .

………2 分
N M

又 MN ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , …3 分 所以 MN // 平面 ABCD . …………4 分

(2)因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD . 又 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , …………6 分 …………7 分
B A H C D

6

且 AC ? PA ? A ,所以 BD ? 平面 PAC . (3)由题意 VC ? BDN ? VN ?CBD . …………9 分

…………8 分

取 AD 中点 H , 连接 NH , 显然 NH 为 ?PAD 中位线, 所以 NH // PA , 而 PA ? 平面 ABCD ,所以 NH ? 平面 ABCD ,即 NH 为三棱锥 N ? CBD 的高(没有证 明 NH ? 平面 ABCD 扣 2 分) , 且 NH ? 又 …………11 分 …………12 分

1 PA ? 6 . 2

ABCD 是 边 长 为 2 3 的 菱 形 , ?BAD ? 120? , 所 以

S ?CBD ?

1 ?3? 3 ? 2 ? 3 3 , 2
所以三棱锥 C ? BDN 的体积

1 1 VC ? BDN ? VN ?CBD ? ? S ?CBD ? NH ? ? 3 3 ? 6 ? 3 2 . …14 分 3 3
18.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意, f (20) ? 27 , f (40) ? 32 , …………1 分

所以 ?

? 20a ? b ? 27 , ? 40a ? b ? 32

…………2 分

解得: a ?

1 , b ? 22 . 4

…………4 分

?1 0 ? t ? 40, t ? Z, ? t ? 22 , (2)由(1)知 f (t ) ? ? 4 ? ?32 , 40 ? t ? 100,t ? Z .
因为销售额 y ? f (t ) g (t ) ,所以

………5 分

1 ? 1 ( t ? 22)(? t ? 56), 0 ? t ? 40, t ? Z , ? ? 4 2 y?? ?32(? 1 t ? 56), 40 ? t ? 100, t ? Z . ? ? 2
①当 0 ? t ? 40, t ? Z 时,

…………7 分

1 1 1 y ? ( t ? 22)( ? t ? 56) ? ? (t ? 12) 2 ? 1250 , 4 2 8

…………9 分

7

所以,当 t ? 12 时, ymax ? 1250 . ②当 40 ? t ? 100, t ? Z 时, y ? 32(? t ? 56) 为减函数, 所以, y ? 32(?

…………10 分

1 2

1 ? 40 ? 56) ? 1152 ? 1250 . 2

…………13 分

综上, 0 ? t ? 100, t ? Z ,当 t ? 12 时, ymax ? 1250 .即这种商品在这 100 天内的 第 12 天的销售额最高,最高为 1250 元. ………14 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)设 x1 ? x2 , x1 ? R, x2 ? R . 由 f ( x) ? …………1 分

2x ? a2 1 a ? ? x ,得 a ? 2x a 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a a ? x1 x2 2 2

…………2 分

a (2 x1 ? 2 x2 ) ? 2 x1 ? x2
x x

…………3 分
x x

因为 x1 ? x2 , x1 ? R, x2 ? R ,所以 2 1 ? 2 2 ,即 2 1 ? 2 2 ? 0 , 又 a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以 f ( x) 在 (??, ??) 上为单调递增函数. …………6 分 ……5 分

2x ? a2 ? 2x . (2) h( x) ? f ( x) ? 2 ? x a?2
x

令 h( x) ? 0 ,得

2x ? a2 ? 2 x ,即 a(2 x )2 ? 2 x ? a 2 ? 0 (a ? 0) . x a?2
x 2 x 2

因 为 h( x ) 只 有 一 个 零 点 , 即 方 程 a(2 ) ? 2 ? a ? 0 (a ? 0) 只 有 一 解, …………7 分 设 t ? 2 ,则 t ? 0 .令 g (t ) ? at ? t ? a (a ? 0) ,
x
2 2

…………8 分 …………9 分

问题转化为函数 g (t ) 只有一个正的零点, ①当 a ? 0 时, 因为 t ?

1 2 所以对称轴在 g (t ) 轴的右侧, 又 g (0) ? a ? 0 , ?0, 2a
8

所 以 仅 当 ? ? 0 时 , 函 数 g (t ) 只 有 一 个 正 的 零 点 , 故 1 ? 4a3 ? 0, 解 得

a?

3

2 . 2
3

…………10 分

此时, t ?

1 1 1 x ,由 2 ? 3 ,得 h( x ) 的零点为 ? . 2 2 3

…………11 分

②当 a ? 0 时, 因为 t ? 为减函数,

1 ? 0 ,所以对称轴在 g (t ) 轴的左侧,g (t ) 在 (0, ??) 上 2a

又 g (0) ? a ? 0 ,g ( ?a ) ? a
2

?

?a

? ??
2

所以 g (t ) 在 ?a ? a 2 ? ? ? a ? 0 ,

?

(0, ?a ) 上仅有一个零点,因而 g (t ) 在 (0, ??) 上仅有一个零点,此时,

1 ? 1 ? 4a 3 t? . …………12分 2a
由2 ?
x

1 ? 1 ? 4a 3 知,零点为 2a
…………13分

1 ? 1 ? 4a 3 x ? log 2 ( ). 2a
综上,所求 a 的取值范围为 a ?
3

3 2 2 1 或 a ? 0 ,且当 a ? 时,零点为 ? ;当 2 2 3

1 ? 1 ? 4a 3 ). a ? 0 时,零点为 x ? log 2 ( 2a


…………14

20.(本小题满分14分) 解:(1)因为函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) 对 x ? R 恒成立,即

? x ? x ? a ? ? x x ? a 对 x ? R 恒成
立. 当 x ? 0 时,显然成立; 当 x ? 0 时,则 x ? a ? x ? a ,即 ax ? 0 ,解得 a ? 0 . 综上,所求实数 a ? 0 . ………2分 ………1分

9

(2)当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 |? ?
2

? x( x ? 4), x ? 4, ? x(4 ? x), x ? 4.
2

当 x ? 4 时 , f ( x) ? x ? 4 x ? ( x ? 2) ? 4 , 所 以 f ( x) 在 区 间 (4,??) 单 调 递 增; …3 分 当 x ? 4 时, f ( x) ? ? x ? 4 x ? ?( x ? 2) ? 4 , 所以 f ( x) 在区间 (??,2] 单调递增,
2 2

在区间 (2,4] 单调递减(开区间不扣分) 所以当 x ? ?1, 4? , f ( x) max ? f (2) ? 4; f ( x) min ? f (4) ? 0 . 当 x ? (4, ) , f ( x) ? f ( ) ?

…………4 分 …………5 分

9 2

9 2

9 ? 4. 4

…………6 分

综上, f ( x) 在区间 (1, ) 上的最大值为 4 ,最小值为 0 . (3)由题意, f ( x ) ? ?

9 2

…………7 分

? x( x ? a ), x ? a, ? x(a ? x), x ? a.
a 2 a2 , 4

…………8 分

①当 a ? 0 时,图象如右图所示, f ( ) ?

? a2 ?y ? (1 ? 2)a 4 由? 得x ? . 2 ? y ? x( x ? a) ?
因为 f ( x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,

…………9 分

所以 0 ? m ?

1? 2 a a. ,a ? n ? 2 2

…………11 分

②当 a ? 0 时,图象如右图所示, f ( ) ? ?

a 2

a2 . 4

? a2 (1 ? 2)a ?y ? ? 由? 得x? . 4 2 ? y ? x(a ? x) ?
因为 f ( x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,

…………12 分

所以

1? 2 a a ? m ? a, ? n ? 0. 2 2

…………13 分

10

综上:当 a ? 0 时, 0 ? m ?

1? 2 a a; ,a ? n ? 2 2
…………14 分

当 a ? 0 时,

1? 2 a a ? m ? a, ? n ? 0. 2 2

11


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