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江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第三次考试数学(文)试题


1

南昌二中 2014—2015 学年度上学期第三次考试

高三数学(文)试卷
【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致,全卷重点考查中学数学主干知识和 方法,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查,侧重于知识交汇点的考查.在函 数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体 内容,尤其在解答题,涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具 有一定的综合性,很多题由多个知识点构成,在适当的规划和难度控制下,效果明显,通过 知识交汇的考查,对考生数学能力提出了较高的要求,提高了区分度,完全符合课改的要求 和学生学习的实际情况. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题只有一个正确答案,每题 5 分,共 50 分)
【题文】1. 设集合 A ? { x | ?1 ≤x≤2},B= {x | x
2

? 4 x ? 0, x ? R} ,则 A ? (CR B) =
C. [1,4] D.[0,4]

A.[1,2] B.[0,2] 【知识点】交、并、补集的混合运算.A1

【答案解析】B 解析:∵ 集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x2﹣4x>0,x∈R}={x>4,或 x<0},

A ? (CR B) ={x|0≤x≤2}.故选 B. ∴ CR B ={x|0≤x≤4},∴
【思路点拨】利用不等式的性质,结合题设条件先求出 CR B ,再求 A ? (CR B) 的值. 【题文】2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1? i B. ?1? i 【知识点】复数代数形式的混合运算.L4

2 2 ?z = z C. 1 ? i

D. 1 ? i

【答案解析】C 解析:∵ z ? 1 ? i ,∴ ? z 2 = =1+i﹣2i=1﹣i,故选:C. 【思路点拨】根据复数的四则运算进行化简即可得到结论.

2 z

=

【题文】3.以 q 为公比的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ q ? 1 ”的 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案解析】A 解析:在等比数列中,若 a1<a3,则 a1<a1q2, ∵ a1>0,∴ q2>1,即 q>1 或 q<﹣1. 若 q>1,则 a1q2>a1,即 a1<a3 成立, ∴ “a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选:A. 【思路点拨】根据等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 【题文】4.若点 M( x, y )为平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值 ?x ? 0 ?


1

2

A. ? 1

B. ?

1 2

C. 0

D. 1

【知识点】简单线性规划.E5

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 【答案解析】D 解析:由约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 作出可行域如图, ?x ? 0 ?

令 z=x+2y,化为直线方程的斜截式得: 由图可知,当直线



过可行域内的点 A(0, )时,直线在 y 轴上的截距最大,

z 最大,最大值为 z=0+2× =1.故选:D. 【思路点拨】由约束条件作出可行域,令 z=x+2y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最 优解,求出最优解的坐标,代入 z=x+2y 得答案. 【题文】5.若 如下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条 件是

A. k ? 7 B. k ? 6 【知识点】程序框图.L1

C. k ? 6

D. k ? 6

【答案解析】D 解析:当 k=10 时,S=1+10=11,k=9, 当 k=9 时,S=11+9=20,k=8, 当 k=8 时,S=20+8=28,k=7, 当 k=7 时,S=28+7=35,k=6, 此时不满足条件输出, ∴ 判断框中应填入的关于 k 的条件是 k>6, 故选:D. 【思路点拨】根据程序,依次进行运行得到当 S=35 时,满足的条件,即可得到结论.

2

3

【题文】6.已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是 1 1 A. 2 > 2 B.ln(x2+1)>ln(y2+1) C.sin x>sin y D.x3>y3 x +1 y +1 【知识点】指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质.B6 【答案解析】D 解析:∵ 实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),∴ x>y, A.若 > ,则等价为 x2+1<y2+1,即 x2<y2,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但

x2<y2 不成立. B.若 ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为 x2>y2 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x2>y2 不成立. C.当 x=π,y= 时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.

D.当 x>y 时,x3>y3,恒成立, 故选:D. 【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解 决本题的关 键. 【题文】7.函数 f ( x) ? ?

?1 x为有理数 ?? x为无理数

,下列结论不正确 的 ... B.此函数是周期函数. D.方程 f [ f ( x)] ? 1 的解为 x ? 1 .

A.此函数为偶函数. C.此函数既有最大值也有最小值. 【知识点】分段函数的应用.B10

【答案解析】D 解析:A.若 x 为有理数,则﹣x 也为有理数,∴ f(﹣x)=f(x)=1, 若 x 为无理数,则﹣x 也无有理数,∴ f(﹣x)=f(x)=π,∴ 恒有 f(﹣x)=f(x),∴ 函数 f (x)为偶函数.∴ A 正确. B.设 T 为一个正数.当 T 为无理数时,有 f(0)=1,f(0+T)=f(T)=π,∴ f(0)=f(0+T) 不成立,∴ T 不可能是 f(x)的周期; 当 T 为有理数时,若 x 为有理数,易知 x+kT(k 为整数)还是有理数,有 f(x+T)=f(x), 若 x 为无理数,易知 x+kT(k 为整数)还是无理数,仍有 f(x+T)=f(x).综上可知,任 意非 0 有理数都是 f(x)的周期.此命题也是对的. C.由分段 函数的表达式可知,当 x 为有理数时,f(x)=1,当 x 为无理数时,f(x)=π, ∴ 函数的最大值为 π,最小值为 1,∴ C 正确. D.当 x 为有理数时,f(x)=1,则 f[f(x)]=f(1)=1,此时方程成立. 当 x 为无理数时,f(x)=π,则 f[f(x)]=f(π)=π,∴ D 错误. 故选:D. 【思路点拨】根据分段函数的表达式,分别利用函数奇偶性,周期性和函数的单调性的性质 进行判断即可. 【题文】8.不等式 x 2 ? 2 x ? A. (?2,0)

a 16b 对任意 a, b ? (0, ??) 恒成立,则实数 x 的取值范围是 ? b a B. ( ??, ?2) (0, ??) C. (?4, 2) D. ( ??, ?4) (2, ??)
[来源:学科网]

【知识点】一元二次不等式的解法.E3

3

4

【答案解析】C 解析:对任意 a,b∈(0,+∞), 所以只需 x2+2x<8,即(x﹣2)(x+4)<0,解得 x∈(﹣4,2),故选 C 【思路点拨】由已知,只需 x2+2x 小于 值.



a 16b + 的最小值即可,可利用基本不等式求出最小 b a

? 【 题 文 】 9 . 设 函 数 f ( x) ? A sin??x ? ? ? ( A ? 0,? ? 0,

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线

2? 对称,它的周期是 ? ,则 3 1 A. f ( x) 的图象过点 (0, ) 2 5? , 0) C. f ( x) 的一个对称中心是 ( 12 x?

B. f ( x ) 在 [

, ] 上是减函数 12 3

? 2?

D. f ( x) 的最大值是 A

【知识点】正弦函数的对称性;三角函数的周期性及其求法.C3 【答案解析】C 解析:函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的周期 π,所以 ω= 于直线 φ= , ),f(x)的图象过点 不正确;f(x)在 时,函数 对称,所以 ,因为 =2;函数图象 关 ,所以

函数的解析式为 f(x)=Asin(2x+

上是减函数,不正确,f(x)的最大值是|A|,所以 D 不正确;x= f(x)=0,所以 f(x)的一个对称中心是 故选 C ,正确;

【思路点拨】通过函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的周期,求出 ω,利用函数图象的对称轴,求 出 φ,得到函数的解析式,然后判断选项的正误即可. 【题文】10.设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k ,则函 数 k ? g ? t ? 的图像为

?

?

A

B

C

D

【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】B 解析:∵ f(x)=x sinx+cosx ∴ f'(x)=(x sinx)'+(cosx)'=x(sinx)'+(x)'sinx+(cosx)'=x cosx+sinx﹣sinx=x cosx

4

5

∴ k=g(t)=tcost,根据 y=cosx 的图象可知 g(t)应该为奇函数且当 x>0 时 g(t)>0 故选 B. 【思路点拨】先对函数 f(x)进行求导运算,根据在点(t,f(t) )处切线的斜率为在点(t, f(t) )处的导数值,可得答案. 二、填空题(5 小题,每题 5 分, 共 25 分) 【题文】11.平面向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b =________ . 【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】 2 3 ∴ | ﹣2 |= . =| |?| |?cos120°的值, 再根据| ﹣2 |= , 解析:由题意可得 = =| |?| |?cos120°=2×1×(﹣ )=﹣1, = =2 ,

?

?

?

?

?

?

故答案为:

【思路点拨】 由题意可得 计算求得结果.
【题文】12.已知等差数列

m ? _____.

?an ? 的公差 d ? 0 ,若 a1 ? a2 ?

? a2015 ? 2015am (m ? N? ) ,

【知识点】等差数列的性质.D2 【答案解析】1008 解析:∵ 等差数列{an}中,∴ a1+a2+…+a2015=2015a1008, ∵ a1+a2+…+a2015=2015am,∴ m=1008.故答案为:1008. 【思路点拨】直接利用等差数列性质,即可得出结论.
【题文】13.已知矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1 ,在矩形 ABCD 内随机取一 点 M ,则

BM ? BC 的概率为__________ .来源: 【知识点】几何概型.K3
【答案解析】

? 解析:四边形 ABCD 的面积为 2. 8


BM<BC 表示以 B 为圆心,1 为半径的圆在矩形 ABCD 内部的部分,面积为

∴ BM<BC 的概率为 故答案为: .

=



【思路点拨】本题为几何概型,由题意通过圆和矩形的知识确定满足条件的图形,分别找出 满足条件的点集对应的图形面积,及图形的总面积,作比值即可.
【题文】14.已知

=2



=3



=4

,…,若

=6

(a,t 均

为正实数).类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 t+a= _________ .2014 考 2201420 【知识点】类比推理.M1 【答案解析】41 解析:观察下列等式

5

6

=2



=3



=4

,…

照此规律,第 5 个等式中:a=6,t=a2﹣1=35,a+t=41. 故答案为:41. 【思路点拨】观察所给的等式,等号右边是 ,左边的式子 , ,…第 n 个应该是 ,写出结果.

【题文】15.下列命题: ① 两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低; ? ? 3 ? 2x ?, ② 已知线性回归方程为 y 当变量 x 增加 1 个单位,其预报值平均增加 2 个单位; ③ 某项测试成绩满分为 10 分,现随机抽取 30 名学生参加测试,得分如右图所示,假设得 分值的中位数为 me,平均值为 ,众数为 mo, 则 me=mo< ; ④ 设 a、b∈ R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3; ⑤ 不等式 x + x - 1 <

a 的解集为 ? ,则
(把所有正确命题的序号都写上).

a ? 1.
其中正确命题的序号是 【知识点】频率分布直方图. I2


【答案解析】②④ 解析:对于① ,相关系数 r 的绝对值越趋近于 1,相关性越强;越趋近于 0,相关性越弱,∴ ① 错误; 对于② ,线性回归方程 =3+2 中,当变量 x 增加 1 个单位时,其预报值平均增加 2 个单位, 是正确的; 对于③ ,根据频率分布直方图得,众数 mo 最小,平均值 最大,∴ ③ 错误; 对于④ ,它的逆否命题是:设 a、b∈R,若 a=3 且 b=3,则 a+b=6,是真命题, ∴ 原命 题也是真命题,④ 正确; 对于⑤ ,由绝对值的意义知|x|+|x﹣1|的最小值为 1, ∴ |x|+|x﹣1|<a 的解集为空集时,a≤1,∴ ⑤ 错误. 综上, 正确的命题是② ④ . 故答案为:② ④ . 【思路点拨】① 根据相关系数 r 的意义判断即可; ② 根据线性回归方程中相关系数的意义判断即可; ③ 根据频率分布直方图以及众数、中位数和平均数的意义进行判断即可; ④ 根据原命题与逆否命题的真假性相同,进行判断即可; ⑤ 根据绝对值的意义以及不等式|x﹣3|+|x﹣4|<a 的关系,即可得出 a 的取值范围. 三、解答题:(6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 可见部分 如图.

6

7

(Ⅰ )求参加测试的总人数及分数在[80,90)之间的人数; (Ⅱ )若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷 中,恰有一份分数在[90,100)之间的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.K2 I2 【答案解析】(Ⅰ )4;(Ⅱ )

8 。 15
, 解得 n=25. 成绩在[80, 90) 之间的人数为 25﹣ (2+7+10+2)

解析:(Ⅰ)成绩在[50,60)内的频数为 2,由频率分布直方图可以看出,成绩在[90,100] 内同样有 2 人.由

=4 人,∴ 参加测试人数 n=25,分数在[80,90)的人数为 4 人。 (Ⅱ)设“在[80,100]内的学生中任选两人,恰有一人分数在[90,100]内”为事件 M, 将[80,90)内的 4 人编号为 a,b,c,d;[90,100]内的 2 人编号为 A,B 在[80,100]内的任取两人的基本事件为:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA, cB,dA,dB,AB 共 15 个.其中,恰有一人成绩在[90,100]内的基本事件有 aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB 共 8 个.∴所求的概率得 P?M ? ?

8 。 15

【思路点拨】(Ⅰ )根据条件所给的茎叶图看出分数在[50,60)之间的频数,由频率分布直 方图看出分数在[50,60)之间的频率和[90,100)之间的频率一样,继而得到参加测试的 总人数及分数在[80,90)之间的人数; (Ⅱ )由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数,看出 满足条件的事件数,根据古典概型公式得到结果. 【题文】17.(本小题满分 12 分)
[来源:学 ,科 ,网 Z,X,X,K]

已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2, S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?bn ? an ? 是首项为-6,公差为 2 的等差数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 【知识点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.D4 D5
n- 1 n ?1 骣 1 ?1? (Ⅱ ) n 2 - 7n + 3 - 琪 琪 3 桫 ? 3? 2 解析: (Ⅰ)由已知得 4S2 ? S1 ? 3S3 ,则 4 ? a1 ? a1q ? ? a1 ? 3a1 ?1 ? q ? q ? .

【答案解析】 (Ⅰ ) an ? 2 ? ?

1 ?1? 代入 a1 ? 2 ,得 3q ? q ? 0 ,解得 q ? 0 (舍去)或 q ? .所以 an ? 2 ? ? 3 ? 3?
2

n ?1

.

(Ⅱ)由题意得 bn ? an ? 2n ? 8 ,所以 bn ? an ? 2n ? 8 ? 2 ? ?

?1? ? 3?

n ?1

? 2n ? 8 .

7

8

? ? 1 ?n ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? n ? ?6 ? 2n ? 8? 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? ? 1 2 1? 3 n ?1 ?1? 2 ? n ? 7n ? 3 ? ? ? . ? 3?
【思路点拨】 (Ⅰ )利用 S1,2S2,3S3 成等差数列,确定数列的公比,即可求得数列的通项; (Ⅱ )确定数列{bn}的通项,利用分组求和,可求数列{bn}的前 n 项和. 【题文】18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos (Ⅰ )设 x ? ? ?

x? x x? ? 3 cos ? sin ? . 2? 2 2?

? ? ?? , ,求 f ?x ? 的值域; ? 2 2? ? (Ⅱ )在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 c=1, f (C) ? 3 ? 1 ,
且△ ABC 的面积为

3 ,求边 a 和 b 的长. 2
? ? a ? 3, ? a ? 2, ? 或? ? ?b ? 2. ?b ? 3 ?

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.C7 C8

- 1 + 3, 2 + 3 (Ⅱ 【答案解析】 (Ⅰ )轾 )? 犏 臌

π? ? 解析: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3 cos 2 x ? 2sin x cos x = 3(1 ? cos x) ? sin x = 2cos ? x ? ? ? 3 . 6? ? 2 2 2
? ? ?? - 1 + 3, 2 + 3 . x ? ?? , ? 时,值域为 轾 犏 臌 ? 2 2? π (Ⅱ)因为 C ? (0,π) ,由(1)知 C ? . 6 3 3 1 π 因为△ABC 的面积为 ,所以 ? ab sin ,于是 ab ? 2 3 . 2 2 2 6
在△ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a,b.
2 2 由余弦定理得 1 ? a ? b ? 2ab cos



π ? a 2 ? b 2 ? 6 ,所以 a 2 ? b 2 ? 7 . 6



由①②可得 ?

? ? a ? 3, ? a ? 2, ? 或? ? ?b ? 2. ?b ? 3 ?
.x∈[﹣ , ],即可求出 f

【思路点拨】(Ⅰ)化简可得 f(x)=

(x)的值域; (Ⅱ)先求出 C,再由三角形面积公式有 ,由正弦定理得 a2+b2=7.联 立方程即可解得. 【题文】19.(本小题满分 12 分) 已 知 在 正 项 数 列 {an} 中 , Sn 表 示 前 n 项 和 且 2 Sn = an + 1 , 数 列

?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,

8

9

(I) 求 an , S n ; (II)是否存在最大的整数 t,使得对任意的正整数 n 均有 Tn ? 在,请说明理由, 【知识点】数列与不等式的综合.D5 【答案解析】 (Ⅰ )an=2n-1, Sn = n2 ; (Ⅱ )存在 t ? 11 符合题意。 解析: (Ⅰ)由 2 Sn=an+1,得 Sn=

t 总成立?若存在,求出 t;若不存 36

?an+1?2, 当 n=1 时,a =S =?a1+1?2,得 a =1; 1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? an+1?2 ?an-1+1?2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=? ? 2 ? -? 2 ? ,整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵数列{an}各项为正,∴an+an-1>0.∴an-an-1-2=0. ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.∴an=a1+(n-1)×2=2n-1.

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2 1 1? 1 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? ? ? ? 2 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? Sn ?
于是 Tn ?

1 ?? n ? 1 ?? ? ?? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 1 1 t 易知数列 ? ,即 t ? 12 ,因此存在 t ? 11 符 Tn ?是递增数列,故 T1= 是最小值,只需 ? 3 3 36
合题意。 【思路点拨】(Ⅰ)由 2 =an+1,得 Sn=( )2,从而数列{an}是首项为 1,公差为 = ,

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 3 ? ? 3 5 ?

2 的等差数列,由此能求出 an,Sn. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=

=

,由此能求出 t=11 符合

题意. 【题文】20.(本小题满分 13 分) 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1 小时收费 6 元,超过1 小时的部分每小时收费 8 元(不足1 小时的部分按1 小时计算) .现有甲、乙二 人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (I) 若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 , 3 12

求甲停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ )若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元 的概率. 【知识点】古典概型及其概率计算公式;互斥事件与对立事件.K2 K4 K5
[来源:学+科+网]

【答案解析】 (Ⅰ )

1 1 (Ⅱ ) 4 4 1 5 1 )? . 3 12 4

解析: (Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A ,则 P ( A) ? 1 ? ( ?

1 ? 甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . 4
9

10

(Ⅱ)设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用共有 16 种等可能的结果: (6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),

(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), (22,30), (30, 6), (30,14),(30, 22),(30,30) .其中, (6,30), (14, 22), (22,14), (30, 6)4 种情形符合题意. ? 4 1 ? . “甲、乙二人停车付费之和 为 36 元”的概率为 P ? 16 4
【思路点拨】(Ⅰ )根据题意,由全部基本事件的概率之和为 1 求解即可. (Ⅱ )先列出甲、乙二人停车付费之和为 36 元的所有情况,再利用古典概型及其概率计算公 式求概率即可。 【题文】21. (本小题满分 14 分)
2 ? ? x ? a (ln x ? 1)(0 ? x ? e) 若 f ( x) ? ? 2 ,其中 a ? R . ? ? x ? a (ln x ? 1)( x ? e) 2 (I)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [e, e ] 上的最大值; 3 (Ⅱ )当 a ? 0 时,若 x ? ?1,??? , f ( x ) ? a 恒成立,求 a 的取值范围. 2

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用.B12
4 【答案解析】 (Ⅰ )e - 2; (Ⅱ ) ?0,2?

解析: (Ⅰ)当 a ? ?2 , x ?[e, e2 ] 时, f ( x) ? x2 ? 2ln x ? 2 ,

[来源:Z+xx+k.Com]

2 ,∴当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x) ? 0 , x 2 2 ∴函数 f ( x) ? x ? 2ln x ? 2 在 [e, e ] 上单调递增, 4 故 f ( x)max ? f (e2 ) ? (e2 )2 ? 2ln e2 ?2 ? e ? 2
∵ f ?( x) ? 2 x ? (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

? a ? 0 , f ?( x) ? 0 ,∴f(x)在 [e,??) 上增函数,
故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e 2 ;
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a , x

a 2 a a (7 分) ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在区间 [1, e) 上为增函数, 2 2 当 x ? 1 时, f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e ;
(i)当 (ii)当 1 ?

? ? a ? a a? ? e ,即 2 ? a ? 2e2 时, f ( x) 在区间 ? 1, ? 上为减函数,在区间 ? ? ? 2 , e? 2? 2 ? ? ?

上为增函数,

a 3a a a a a )? ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) ? e 2 ; 时, f ( x) min ? f ( 2 2 2 2 2 2 a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ( x) ? x2 ? a ln x ? a 在区间[1,e]上为减函数, (iii)当 2 2 故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e .
故当 x ?

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11

综上所述,函数 y ? f ( x) 的在 ?1,??? 上的最小值为 f ( x) min

?1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ) ?2 2 2 2 2 ? ?e , a ? 2e

?2 ? a ? 2e 2 , ? a ? 2e 2 , ?0 ? a ? 2, ? ? ? 由? 3 得 0 ? a ? 2 ;由 ? 3a a a 3a 得无解;由 ? 2 3a 得无解; 1 ? a ? a, , , ? ? ln ? ? ?e ? 2 ? 2 ?2 2 2 2 ? 故所求 a 的取值范围是 ?0,2? .
【思路点拨】 (Ⅰ )当 a=﹣2,x∈[ e,e2]时,f(x)=x2﹣2lnx+2,求其导数可判函数在[e,e2] 上单调递增,进而可得其最大 值; (Ⅱ )分类讨论可得函数 y=f(x)在[1,+∞)上的最小值



,分段令其

,解之可得 a 的取值范围.

[来源:Z。xx。k.Com]

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