广东省广州市2010年普通高中毕业班综合测试(二)理科数学考试试卷(word版)

试卷类型:A

年广州市普通高中毕业班综合测试( 2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(理科) 理科)

20l0.4 选择题: 小题. 在每小题给出的四个选项中. 一,选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的 l.已知 i 为虚数单位,若复数 ( a 1) + ( a + 1) i 为实数,则实数 a 的值为 A. 1 B.0 C. 1 D.不确定

2.已知全集 U = A ∪ B 中有 m 个元素, 痧A ∪ U

(

) (

U

A) 中有 n 个元索,若 A ∩ B 非空,则
D. n m

A ∩ B 的元素个数为 A. mn

B. m + n

3.已知向量 a = ( sin x, cos x ) ,向量 b = 1, 3 ,则 a + b 的最大值为 A.1 B. 3 C.3 D.9

(

)

C. m n

4.若 m , n 是互不相同的空间直线, α 是平面,则下列命题中正确的是 A.若 m // n , n α ,则 m // α B.若 m // n , n // α ,则 m // α D.若 m ⊥ n , n ⊥ α ,则 m ⊥ α C.若 m // n , n ⊥ α ,则 m ⊥ α 5.在如图 1 所示的算法流程图中,若 f ( x ) = 2 x ,

g ( x ) = x 3 ,则 h ( 2 ) 的值为
(注: 框图中的赋值符号 "=" 也可以写成 ← " "=" " 或 ) A.9 B.8 C.6 D.4

x y + 1 ≥ 0, 6.已知点 p ( x, y ) 的坐标满足 x + y 3 ≥ 0, x ≤ 2
O 为坐标原点,则 PO 的最小值为

A.

2 2

B.

3 2 2

C. 5

D. 13

7.已知函数 f ( x ) = sin x ,若 x1 , x2 ∈ [ 是 A. x1 > x2 B. x1 < x2

π π

, ] 且 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则下列不等式中正确的 2 2
C. x1 + x2 < 0 D. x1 < x2
2 2

8. 一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯由红 变绿,汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同),汽车在时刻 t 的速度为

v ( t ) = t 米/秒.那么.此人
A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米 填空题: 小题, 小题, 二,填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一) 必做题 (9~13 题) 9.若函数 f ( x ) = cos(ω x ) cos( ω x ) (ω >0) 的最小正周期为 π ,则 m 的值为

π

2

.

10. 已知椭圆 C 的离心率 e = 的方程为 .

3 , 且它的焦点与双曲线 x 2 2 y 2 = 4 的焦点重台, 则椭圆 C 2

11.甲,乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 ξ , η ,其分布列分别为:

ξ
P

0 0.4

1 0.3

2 0.2

3 0.1

η
P

0 0.3

1 0.5

2 0.2 .

若甲,乙两人的日产量相等,则甲,乙两人中技术较好的是 12.图 2 是一个有 n 层 ( n ≥ 2) 的六边形点阵.它的中心是一个点,算作 第一层.第 2 层每边有 2 个点.第 3 层每边有 3 个点,…,第 n 层 个. 每边有 n 个点,则这个点阵的点数共有

2 13. 已知 x + 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56: 3, x
则该展开式中 x 的系数为
2

n

.

(二) 选做题 (14~15 题.考生只能从中选做一题 二 考生只能从中选做一题 一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的参数方程为

x = 1+ t y = 4 2t

(参数 t ∈ R ),圆 C 的参数方程为

x = 2 cos θ + 2 (参数 θ ∈ [0, 2π ] )则直线 l 被 y = 2 sin θ

圆 C 所截得的弦长为 . 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,半径为 5 的圆 O 的两条弦 AD 和 BC 相 交 于 点 P , OD ⊥ BC , P 为 AD 的 中 点 , BC = 6 ,则弦 AD 的长度为 .

小题, 解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 已知 tan

1 π + α = 2 , tan β = . 2 4

(1) 求 tan α 值; (2) 求

sin(α + β ) 2sin α cos β 的值. 2sin α sin β + cos(α + β )

17.(本小题满分 12 分) 如图 4,在直角梯形 ABCD 中, ∠ABC = ∠DAB = 90 °. ∠CAB = 30 °, BC = 1 , AD = CD ,把 DAC 沿对角线 AC 折起后如图 5 所示 (点 D 记为点 P ).点 P 在平面 ABC 上的正投影 E 落在线段 AB 上,连接 PB . (1) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小; (2) 求二面角 P AC B 的大小的余弦值.

18.(本小题满分 14 分) 一射击运动员进行飞碟射击训练,每一次射击命中飞碟的概率 p 与运动员离飞碟的距 离 s (米)成反比.每一个飞碟飞出后离运动员的距离 s (米)与飞行时间 t (秒)满足

s = 15(t + 1) (0 ≤ t ≤ 4) ,每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中,则不
再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出 0.5 秒时进行第一次射击.命中的概 率为

4 ,当第一次射击没有命中飞碟,则在第一次射击后 0.5 秒进行第二次射击,子弹 5

的飞行时间忽略不计. (1) 在第一个飞碟的射击训练时,若该运动员第一次射击没有命中,求他第二次射击命 中飞碟的概率; (2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率; (3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命 中两个飞碟的概率

19.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x = 2 py ( p > 0) 的焦点为 F , A , B 是抛物线 C 上异于坐标原点
2

O 的不同两点,抛物线 C 在点 A , B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ⊥ l2 , l1 与 l2 相交于
点D. (1) 求点 D 的纵坐标; (2) 证明: A , B , F 三点共线; (3) 假设点 D 的坐标为

3 , 1 ,问是否存在经过 A , B 两点且与 l1 , l2 都相切的圆, 2

若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x x + ax + b( a, b ∈ R ) 的一个极值点为 x = 1 .方程 ax + x + b = 0
3 2
2

的两个实根为 α , β (α < β ) ,函数 f ( x ) 在区间 [α , β ] 上是单调的 (1) 求 a 的值和 b 的取值范围; (2) 若 x1 , x2 ∈ [α , β ] 证明: f ( x1 ) f ( x2 ) ≤ 1 .

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 = b1 , 且对任意 n ∈ N * 都有 an + bn = 1 , (1) 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 证明:

an + 1 b = n2. an 1 an

a a a2 a3 a4 a a a + + + ... + n +1 < 1n (1 + n) < 1 + 2 + 3 + ... + n . b2 b3 b4 bn +1 b1 b2 b3 bn