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江西省2014届新课程高三第二次适应性测试数学(理)试题 扫描版含答案


理科数学试题(二)命题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。

3 1 1 4.解:由平行的充要条件得2×3-(1+sin?) (1-cos?)=0,得 sin?-cos?-sin?cos?+ =0, 2 设 t=sin?-cos?, 则 2sin?cos?=1-t2,代入解得 t=0 或-2,而 t∈ [ ? 2, 2] ,故 t=-2 不合, t=sin?-cos?=0,?=45?.或用代入验证法. 答案:B. 设计思路:主要考查三角函数与平面向量。中档题。 5. 解:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。 又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。 在△ABC 中,由余弦定理得:cosA= 由正弦定理得 sinB= ∴
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60° 。 2bc 2bc 2

b sin A ,∵b2=ac,∠A=60° , a

c ac 1 2 3 ? 2 ? ? . b sin B b sin 60? sin 60? 3

答案:C. 设计思路:主要考查解三角形中的余弦定理,正弦定理。中档题。 6. 解: log 2 x ? 4sin ? ?1 ? 1 ? 2cos 2 ? ?[ ?1,3] ? x ?[ ,8], x ?
2

1 2

1 ? x ? 8 ? 7.5. 2

答案:C. 设计思路:主要考查对数与三角恒等变形,中高档题。 7. 解:设公差为 d,

a4 2 ? a2 ? a8 ? a4 2 ? (a4 ? 2d ) ? (a4 ? 4d ) ? a4 ? 4d , a3 ? a6 ? a9 3a6 3(a4 ? 2d ) 18d ? ? ? ? 2. a4 ? a5 a4 ? a5 2 a4 ? d 9d
答案:A. 设计思路:主要考查等差数列与等比数列的计算,中档题。 8.解析:设数列的首项为 a ,等差数列 ?an ? 的公差为 d ,

?2(a ? 2d ) ? a ? aq 2 ?? (1) ?2a3 ? b1 ? b3 ?? ? 2 2 2 ? a4 ? a1 ? b3 ? (a ? 3d ) ? a ? aq ?? (2)

9 1 (a ? 3d )2 ? a(a ? 4d ) ? a ? ? d , (d ? 0) 代入(1)的 q 2 ? ,故选 C 。 9 2 答案 C .
设计思路:主要考查数列的性质及其运算,中档题。 9. 解:设 ?xOB ? ? ,则 sin ? ? 则 sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin( ? ? 答案:D. 设计思路:主要考查三角函数概念以及求值。中高档题。 10. 解:设直线方程为 x ? ty ? 2n ,代入抛物线方程得 y ? 2 ? 2n ? 1? ty ? 4n ? 2n ? 1? ? 0 ,
2

4 3 , cos ? ? ? , 5 5
)? 4 1 3 3 4?3 3 ? ? (? ) ? ? ,选 D。 5 2 5 2 10

?
3

设 An ? xn1 , yn1 ? , B ? xn 2 , yn 2 ? ,则

???? ???? ? ? OAn ? OBn ? xn1 xn 2 ? yn1 yn 2 ? (t 2 ? 1) yn1 yn 2 ? 2nt ? yn1 ? yn 2 ? ? 4n 2 ,用韦达定理代入 ???? ???? ? ? 2 2 2 2 得 OAn ? OBn ? ?4n(2n ? 1) ? t ? 1? ? 4n(2n ? 1)t ? 4n ? 4n ? 4n ,故 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? OAn ? OB n ? OAn ? OB n ? ? ? ?4n ( n ? 1, n ? N ) ,故数列 ? ? 的前 n 项和 ?2n(n ? 1) 。 n ?1 ? n ?1 ? ? ?
答案:D. 设计思路:主要考查数列及其综合应用,难题。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相 应横线上.
?( x ? 1) 2 ? 1, x ? 2, ? f ( x) ? x 2 ? x ? ? 11.解:由 f (2) ? 0 得 a =2. 由图像可知单调递减 2 ? ?( x ? 1) ? 1, x ? 2, ?
区间为 (1, 2) 。 答案: (1, 2) .(注:写成闭区间不扣分) 设计思路:主要考查函数图像与性质。考查作图,观察等能力。容易题。 12. 解:前 11 行共有 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 11 ?

11?12 ? 66 个数,因此第 12 行的从左至右的 2

第 4 个数是全体正数中的第 66+4=70 个,第 70 个正数是 3×70-2=208. 答案:208. 设计思路:主要考查数阵中的数列及其求和, 考查观察, 计算等综合能力。 中档题。 13.解: ? , ? ? ?

7 ? 4 3? ? 3? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? , sin( ? ? ) ? , ? ? ? ? ( , 2? ) , 25 4 5 2 ? 4 ?

5 ? ? ? ? 则 sin(? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ( ? ? )] = sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? cos(? ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 7 3 24 4 75 3 =? ? (? ) ? ? ? ? ?? . 25 5 25 5 125 5 3 答案: ? . 5
设计思路:主要考查三角函数求值,考查综合应用知识能力。中高档题。 14. 解 : 设 u=sinα+cosβ. 则 u2+( 3 )2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1, - 1≤u≤1.即 D=[-1,1],设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x=

? ? 3? 24 ? 3 ? ? ? ( , ) ,∴ cos(? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? ,
4 2 4 25 4

t2 ?1 . 2

?M ?

2x ? 3 t ? 2 ? 4x ? 7 2t ? 1

1 1 ,由于1 ? t ? 5, 故2t ? 的最小值是3,M ? . 1 t 3 2t ? t

1

1 当且仅当t ? 1时, M m ax ? . ? y ? log 1 M 在M ? 0时是减函数, 3 9 ? ymin ? log 1
9

1 1 ? . 3 2

答案:

1 . 2

设计思路:主要考查函数与三角的综合应用,考查综合应用知识能力,难题。

15. f ( x) ? ? x ? 2 ? [? x ? 1?? x ? 3 ?? ? x ? n ?], 得 f ?( x) ? ? x ? 2 ?? [? x ? 1?? x ? 3?? ? x ? n ?] ? ? x ? 2 ? [? x ? 1?? x ? 3 ?? ? x ? n ?]?, f ?(?2) ? ?1 ? 1 ? 2 ? 3? ? ? n ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ?!, f (0) ? n !, an ? ? 1 1 1 ? ? , n! n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ? ?1? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1. 2 3 2 4 3 n n ?1 n ??

? n ? 2 ?!

设计思路:主要考查导数与数列的综合应用,难题。

三.解答题:
16. 解 : ( Ⅰ )

???? ? 1 ???? ? 1 ? ???? ? 1 ??? ? 1 ? 1 ? ? ? 3? 1? AM ? b ? DC ? b ? a, AN ? a ? BC ? a ? (b ? a) ? a ? b ;……6 分 2 4 2 2 2 4 2 ? ? ???? 1 ??? ? ? ? ? (II) a ? 4 , DC ? AB , < a, b >= 60 ? b ? 2 ,……8 分 2 ???? ???? ? ? 1? ? 3? 1? 3 ? 2 1 ? 2 7 ?? 7 17 AM ? AN ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b ? a?b ? 3 ? 2 ? ? 4 ? 2cos 60? ? 4 4 2 16 2 8 8 2
。…12 分 设计思路:主要考查平面向量基本知识及其运算。容易题。 17.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

2 cos x ? 2 sin( x ? ) , 2 ∴函数 f ( x) 的周期 T ? 2? . ………………3 分
将函数 y ? sin x 的图像依次进行下列变换:把函数 y ? sin x 的图像向左平移

?

? ,得到 2

函数 y ? sin( x ?

?
2

) 的图像;把函数 y ? sin( x ?
2 sin( x ?

?
2

) 的图像上各点纵坐标伸长到原来的 2

倍(横坐标不变) ,得到函数 y ?

?
2

) 即 f ( x) 的图像;………………6 分

(II) m ? n ? (cos x ? sin x ? 2,sin x ? cos x) , | m ? n |= (cos x ? sin x ? 2) ? (sin x ? cos x)
2

?? ?

?? ?

2

= 4 ? 2 2(cos x ? sin x) = 4 ? 4 cos( x ?

?
4

) ∈[ 4 ? 2 2 , 2 2 ] ,

| m - n |的范围是[ 4 ? 2 2 , 2 2 ] 。………………12 分 设计思路:主要考查平面向量与三角函数的性质,图像,考查综合应用知识能力,

?? ?

中档题。
? ? ( cos 18.解: (Ⅰ) f ? x ? ? a ? b ? 1 =(sin2x,2cosx)· 3, x) ? 1
= 3 sin2 x +2cos2 x ? 1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+ 由已知 b ? ac,? cos B ?
2

? ) ,………………2 分 6

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 ? ? 5? ? ? ∴0<B≤ .2 B + ∈( , ] ,∴f(B) =2sin(2B+ )∈[1,2] 3 6 6 6 6

∴ 函数 f(B)的值域为[1,2] .………………6 分 (II)f(

A A ? )=2sin( + )= 3 , 4 2 6

3 A ? + )= .………………………………………………………………………8 分 2 2 6 A ? ? A ? 2? ∴ + = 或 + = , 3 2 6 3 2 6
∴sin(

∴ A=

? 或 A ? ? (舍去)………………………………………………10 分 3 ??? ??? ? ? 由 AB ? CA ? ?1 ,知 bc ? 2 ,三边 a,b,c 依次成等差数列,所以
2b ? a ? c得a 2 ? (2b ? c)2 ? 4b2 ? 4bc ? c 2 ? 4b 2 ? c 2 ? 8 ,
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2, 得 b ?

2 。……………12 分

设计思路:主要考查平面向量与三角函数,数列和解三角形综合应用,考查综合

应用知识能力,中档题。
2 19. 解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ,其极值点为 x ?

kπ π ? (k ? Z ) ,………………2 2 4

分 它在 (0, ??) 内的全部极值点构成以
an ?
π π 为首项, 为公差的等差数列,…………4 分 4 2

π π 2n ? 1 ? (n ? 1) ? ? π(n ? N *) .…………………………………………………………6 分 4 2 4
π (2n ? 1) ? 2n 。……………………………………………8 分 4

(II) bn ? 2n an ?

π ?Tn ? [1 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ] , 4

π 2Tn ? [1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4
π 相减,得 ?Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] 。 4
π ?Tn ? [(2n ? 3) ? 2n ? 3] 。…………………………………………………12 分 2

设计思路:主要考查三角函数,数列求和等知识,中档题。 20. 解 :( Ⅰ ) 函 数

f ( x) ?

1 2

2

x?

的 义 a ?x l n ( ? x 1 )?(a 定 R) 域 是 a

(-1,+∞)……………………1 分 当a=2 时, f ( x) ? x ?2 ?
'

2 x( x ?3) , ? x ?1 x ?1

所以函数 f (x)的极小值为 f (0) ? 0 ;无 f ( x)在(-1,0)上递减,在(0,?)上递增, + 极大值;

a x( x ? a ? 1) ? , 定义域(-1,+∞)…………………………5 分 x ?1 x ?1 x( x ? a ? 1) ' ① 当 -a-1≤-1 即 a≥0 时 , 由 f ( x) ? ? 0 , 得 f(x) 的 增 区 间 为 (0,+∞) ; 由 x ?1 x( x ? a ? 1) <0,得 f(x)的减区间为(-1,0).……………6 分 f ' ( x) ? x ?1 x( x ? a ? 1) ' ②当-1<-a-1≤0 即-1≤a<0 时,由 f ( x) ? ? 0 ,得 f(x)的增区间为(-1, -a-1)和 x ?1
(II) f ( x) ? x ? a ?
'

x( x ? a ? 1) <0,得 f(x)的减区间为(-a-1,0)。.……………7 分 x ?1 x( x ? a ? 1) ③当-a-1>0 即 a<-1 时,由 f ' ( x) ? ? 0 ,得 f(x)的增区间为(-1, 0)和(-a-1,+∞); x ?1 x( x ? a ? 1) 由 f ' ( x) ? <0,得 f(x)的减区间为(0,-a-1). …………………8 分 x ?1
(0,+∞);由 f ' ( x) ? 综上,a≥0 时,f(x)的增区间为(0,+∞),减区间为(-1,0); -1≤a<0 时,f(x)的增区间为(-1, -a-1)和(0,+∞),减区间为(-a-1,0); a<-1 时,f(x)的增区间为(-1, 0)和(-a-1,+∞),减区间为(0,-a-1). …………………9 分 (Ⅲ) a<-1 时,由(II)知 f(x)在[0,+∞)的极小值为 f (?a ? 1) ? ? 为 f(0)=0 ; 由题意,函数 y=f (x)的图象与 y ? a ? a ln(?a) 在[0,+ ∞)上有唯一的公共点,

a2 1 ? ? a ln(?a) ,而极大值 2 2

a2 1 ? ? a ln(?a) ? a ? a ln(?a) 或 y ? a ? a ln(?a) > f(0), a<-1, 所以,f (?a ? 1) ? ? 结合 2 2
解得 a ? ? 2 ? 1 ;或 a<-e.…………………………13 分 设计思路:考查函数与导数的综合运用,考查综合应用知识的能力,属难题。 21(I)证明:

1 1 ? a2 ? ? , 2 5 1 2 1 1 n ? 2时, ? ? (?1) n ?1 ? ? (?1) n ? ?2[ - (?1) n ?1 ] an an ?1 an an ?1 a1 ? ?1 ? 1 ? ? ? (?1) n ? 是首项为 ? (?1) ? -6,公比为 ? 2的等比数列, a2 ? an ? ?1 ? n ? 1时也符合,? ? ? (?1) n ?(n ? N * )是等比数列。 ? an ?
………5 分

1 1 ( ?1) n -1 n n?2 n ?1 (Ⅱ)b1 ? 2 ? 4,由(Ⅰ) ? -(?1) ? -6 ? (-2) ? 3 ? (-2) ? an ? . an a1 3 ? 2n ?1 ? 1 ? bn ? 1 ? 9 ? 4n ?1 -3 ? 2n ? 1( n ? N* ), 2 an

数列 {bn } 的前 n 项和

S n ? 9(1+4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ) ? 3(2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n 1-4n 2(1-2n ) ? 9? ? 3? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 3. 1? 4 1? 2
…………………10 分

(Ⅲ)证明:cn ? ?2 an an ?1
n

(?1) n ?1 (?1) n 2n ? ?2 ? ? ? 3 ? 2n ?1 ? 1 3 ? 2n ? 1 (3 ? 2n ?1 ? 1)(3 ? 2n ? 1)
n

?

2 1 1 ( ? ), n 3 1 ? 3 ? 2 1 ? 3 ? 2n ?1

n ? 2 时,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn =
2 1 1 1 1 1 1 ( [ ? )?( ? ) ??? ( ? ) ] 0 2 n 3 1? 3? 2 1? 3? 2 1? 3? 2 1? 3? 2 1 ? 3 ? 2 1 ? 3 ? 2n ?1 2 1 1 2 1 1 ? ( ? )? ? ? , n 0 n 3 1? 3? 2 1? 3? 2 3 1? 3? 2 3 1 1 因为当 n ? N * 时, <0, ? Tn ? .…………………14 分 n 3 1? 3? 2
设计思路:主要考查数列的综合运用,考查综合应用知识的能力,属难题。


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