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2019-2020年高三9月月考数学理试卷

2019-2020 年高三 9 月月考数学理试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.设全集是实数集 R, M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 (CR M ) ? N 等于( )

A. {x| x ? ?2}

B. {x|?2 ? x ? 1} C. {x| x ? 1}

2. 计算 4 ? 2i ? (1? i)2 等于( 1? 2i

A. 0

B. 2


C. -4 i

D. 4 i

3.等比数列?an? 中, a3 ? 2 , a8 ? 64 ,那么它的公比 q ? (

D. {x|?2 ? x ? 1}


A. 2

1
B.

C. 5 2

1
D.

2

52

4. 若 f ? x? 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f ?1? ?1, f ?2? ? 2 ,则 f ?3? ? f ?4? ?

A. ?1

B.1

C. ?2

5. 函数 f (x) ? 1 ? x 的图像关于( ) x

A. y 轴对称

B.直线 y ? ?x对称

D.2
C.坐标原点对称

D.直线 y ? x 对称

6. 等差数列{an} 的前 n 项和 Sn ,若 a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4 ,则 S13 等于( )

A.152

B.154

C.156

D.158

7. 函数 y=xlnx 在区间(0,1)上是(



A.单调增函数 C. 单调减函数

B. 在(0, 1 )上是减函数,在( 1 ,1)上是增函数

e

e

D. 在(0, 1 )上是增函数,在( 1 ,1)上是减函数

e

e

8.

设 y1 ? 40.9 , y2

?

80.48 ,

y3

?

? ??

1 2

?1.5
? ??

,则(



A. y3 ? y1 ? y2

B. y2 ? y1 ? y3 C. y1 ? y3 ? y2 D. y1 ? y2 ? y3

9.

已知函数

f

?

x

?

?

?? f (x ???log2

? 4), x
??x?,

?0 x?0

,则

f(2011)=(



A. ?1

B. 2

C. 1

D. 0

10. 函数 f (x) ? a x ? b 的图像过(1,7)点,其反函数图像过(4,0)点,则函数 f (x) 解析

式为
A. 2x +3

B. 4x +3

C. 3x +4

D. 4x +2

11. 定义在 R 上的函数 y ? f (x) ,它具有下述性质:(1)对任何 x ? R ,都有 f (x3) ? f 3(x) ;

(2)对任何 x1, x2 ? R ,x1 ? x2 ,都有 f (x1) ? f (x2 ) .则 f (0) ? f(1) ?(f1)? 的值为( )

A. 0

B. 1

C. ?1

D. 不能确定

12.已知函数 f (x) ? 4 ?1 的定义域是 ?a,b? (a,b ? Z) ,值域是 ?0,1?,那么满足条件的整
| x | ?2 数数对 (a,b) 共有( )

A. 2 个

B. 3 个

C. 5 个

D. 无数个

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

13. 函数 y ? 4 ? 2x2 ?4x?5 的定义域是
14. 使 log2 ??x? ? x ?1成立的 x 的取值范围是
15. 函 数 f (x) 的 定 义 域 是 R , 函 数 g(x) ? f (x) ? 2 ? f (?x) , 已 知 g( 5 )? ? 3, 则

g(? 5 )?



16. 对于定义在 R 上的函数 f (x) ? 2 x ? 2?x ,有下列结论:

① f (x) 的图象关于原点对称;② f (x) 是 R 上的增函数

③ f ?1 (2) ? log 2 3 ;④ f (x) 有最小值 0. 其中正确命题的序号是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)

17. (本题满分 10 分)
? ? ? ? 设 p : x x2 ? 3x ? 2 ? 0 ; q : x ax2 ? (3 ? a2)x ? 3a ? 0 ,若 p 是 q 的充分条件,求实
数 a 的取值范围。

18.(本题满分 12 分) 求函数 f(x)=log 1 (x-1)+ 2-x的定义域与值域。
2

19.(本题满分 12 分)
已知等差数列?an?满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an?的前 n 项和为 Sn

(Ⅰ)求 an 及 Sn ;

(Ⅱ)令 bn

?

1 (n? an2 ?1

N *),求数列?bn ?的前 n

项和 Tn

? ? 20.(本题满分 12 分)已知函数 f ?x? ? 1 x3 ? 1 ?k ? 2?x2 ? k 2 ? 3k ? 5 x ?1.,?k ? R? 32
(I)当函数 y ? f ?x?有极值时,求 k 的范围;

(II)若

x1 ,

x2 是方程

f

' ?x?

?

0

的两实根,求

x12

?

x

2 2

的最大值

21.(本题满分 12 分)
设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f (3 ? x) ? f (5 ? x) ,若 x ??0,4 ? 时, f (x) ? 2x 。
(I)求证: f (x) 是周期函数; (II)求 f (x) 在区间 ??8, ?4? 上的解析式。

22.(本题满分

12

分)已知函数

f

(x)

?

a ? 2x ?1 (a ? R)
2x ?1



R

上的奇函数.

(I)求 a 的值;

(II)求 f(x)的反函数;

(III)对任意的 k

?(0, ??)

,解关于

x

的不等式

f

?1 ( x)

?

log2

1? k

x

9 月月考试卷高三数学(理)参考答案

一、选择题:

题号 1

2

3

4

5

答案 A

D

A

A

C

二、填空题:

13、?1,3? ; 14、 ??1,0? ;

67 CB
15、 7 ;

8 9 10 11 12 C DB AC
16、①②

三、解答题:

17.解:由 x2 ? 3x ? 2 ? 0 得1 ? x ? 2 ;

由 ax2 ? (3 ? a2 )x ? 3a ? 0 得 ?ax ? 3??x ? a? ? 0 。

设 A ? ?x 1 ? x ? 2 ?, B ? ?x ?ax ? 3??x ? a? ? 0?

? p 是 q 的充分条件,? A ? B

①当

a

?

0 时,

B

?

? ?x

?

?

3 a

?

x

?

? a?

,?

?

A

?

B ,?a

?

2

? ②当 a ? 0 时, B ? x x ? 0 ?, A ? B 显然不成立;

? ③当 a ? 0时, B ? x x ? a 或 x ? ? 3 ?,? A ? B ,?? 3 ? 1 ? a ? ?3

a

a

综上可得, a 的取值范围是 ?? ?,?3?? ?2,???

18.

解:要使

f

(

x)

有意义,必须

?x ??2

? ?

1 x

? ?

0 0

,解得1

?

x

?2

? f (x) 的定义域为 ?1, 2?

log 1 e 又 f ?(x) ? 2 ?

?1

? 0在 ?1,2? 恒成立,且 f (x) 在 ?1, 2?上连续,

x ?1 2 2? x

故 f (x) 在 ?1, 2?上为减函数,且 lim f (x) 趋近于 ? ? , f (2) ? 0 x?1?

? f (x) 的值域为 ?0, ? ??

注意:本题定义法判定 f (x) 在 ?1, 2?上为减函数亦可,设 x1, x2 ? ?1, 2?, 且 x1 ? x2 ,则

f (x1 ) ?

f (x2 )

? log 1
2

x1 x2

?1 ? ?1

x2 ? x1 2 ? x1 ? 2 ? x2

?

0?????

x1 x2

?1 ?1

?

1,? log

1 2

x1 x2

?1 ?1

?

0 ????

或者由复合函数的单调性, y1 ? log 1 u 为减函数, u ? x ?1为增函数,从而
2
y1 ? log 1 (x ?1) 在 ?1, 2? 上 为 减 函 数 , 同 理 y2 ? 2 ? x 也 为 ?1, 2? 上 的 减 函 数 , 所 以
2

f (x) ? y1 ?y 2 是 ?1, 2?上的减函数。

19. (Ⅰ)设等差数列 ?an?的首项为 a1 ,公差为 d ,

(Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,

所以 an2 ?1 ? 4n(n ?1)

因此 bn

?

1 4n(n ? 1)

?

1 4

(1 n

?

1) n ?1

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 )

4 223

n n?1

? 1 (1? 1 ) 4 n ?1

?n 4(n ? 1)

所以数列?bn?的前 n

项和 Tn

?

n 4(n ?1)

? ? 20. (1)求导得 f ' ?x? ? x2 ? ?k ? 2?x ? k 2 ? 3k ? 5

依题要使函数 y ? f ?x?有极值,则等价方程 f ' ?x? ? 0 有解

? ? 即: ? ? ?k ? 2?2 ? 4 k 2 ? 3k ? 5 ? 0

解之得: ? 4 ? k ? ? 4 ………………………… 5 分 3

代入验证舍去 ? 4和 ? 4 , 综上所述,所求的范围 为k ? ?? ? 4,? 4 ?? ………… 6 分

3

? 3?

(2)由韦达定理得

? ? ?

x1

x1 ? x2 ? x2 ? k

?
2

k ?

?2 3k ?

5



x12 ? ? x22 = x1 ? ?x2 2 ? 2x1x2 ? ??k ? 5?2 ? 19

当?

4

?

k

?

?

4 3

时,(

x12

?

x

2 2



m

a

x

=18

(此时 k=-4)…………………12 分

21. ( I ) 证 明 : 由 f (3 ? x) ? f (5 ? x) 得 f ?3 ? (x ? 5)? ? f ?5 ? (x ? 5)? , 即 :

f (x ? 8) ? f (?x) 。

又 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (?x) ? ? f (x)

? f (x ? 8) ? ? f (x) , f (x ?16) ? ? f (x ? 8) ? f (x)

所以 f (x) 是周期函数,它的一个周期为16 。

(II)解:由 f (3 ? x) ? f (5 ? x) 函数 f (x) 的对称轴为 x ? 4 ,即 f (4 ? x) ? f (4 ? x)

当 x ??0, 4? 时, 4 ? x ? (0,4),4 ? x ? (4,8) ,

f (4 ? x) ? 24?x ,? f (4 ? x) ? 24?x ? 2?(4?x)?8

即 f (t) ? 2?t?8 , t ? (4,8)

设 x ? (?8,?4),则 ? x ? (4,8) , f (x) ? ? f (?x) ? ?2?(?x)?8 ? ?2 x?8

故 f (x) ? ?2 x?8 , x ? (?8,?4)

另解:设 x ? (?8,?4),则 x ? 8?(0, 4) ,由 f (x ? 8) ? ? f (x) 得 f (x) ? ? f (x ? 8) = ?2x?8

22.

(1)

∵函数

f

(x)

?

a2x ?1(a ? R) 是
2x ?1

R

上的奇函数

∴f(0)=0,即 a=1.

而经检验当

a=1

时,

f

(x) ?

f

(?x)

?

2x 2x

?1 ? ?1

2?x 2?x

?1 ?1

?0

,即

f(x)为

R

上的奇函数.

(2)∵

y

?

2x 2x

?1 ?1

?1?

2 2x ?1

,得 2x

?

1? 1?

y y

(?1 ?

y

? 1)

∴函数(x)的反函数为

f

?1 ( x)

?

log2

1? 1?

x x

(?1 ?

x

? 1)

.

(3)∵

f

?1 ( x)

?

log2

1? k

x



log2

1? 1?

x x

?

log2

1? k

x

解之得

?1? ? ?1?

x x

?

1? k

x

?? ?1 ? x ? 1

? x ?1?k ∴ ???1 ? x ? 1

∵ k ? (0, ??)

∴1-k<1

①当 0 ? k ? 2 时,原不等式的解集{ x |1- k < x <1}.

②当 k ? 2 时,原不等式的解集{x|-1<x<1}.