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河南省2013届高考压轴卷 数学理试题


绝密*启用前

2013 新课标高考压轴卷(一) 理科数学
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.

第I卷
一. 的. (1)已知 i 是虚数单位,复数 z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i 是纯虚数,则实数 x 的值为 A. ?1 B.1 C. ?1
2

选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求

D.2

(2)设集合 U ? ?0,1, 2, 3, 4, 5? , A ? ?1, 2? , B ? ? x ? Z x ? 5 x ? 4<0? , 则 CU ( A ? B ) A.{0,1,2,3,}
? ? ?

B.{5}
? ?

C.{1,2,4}

D.{0,4,5}

(3)已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? A. 2 B. 3
2

C. 4

D. 5

(4)抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 A.
7 8

B.

15 16

C.

3 4 3 5

D.0 ,则 sin 2? ? ( D.
24 25 a x

(5)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? A. ?
24 25



B. ?

12 25

C.

12 25

(6)设 a ? ?? (cos x ? sin x) dx ,则二项式 ( x 2 ? )6 展开式中的 x 3 项的系数为 0 A.-20 B.20 C.-160 D.160



1第

(7)若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是

A.4

B.5

C.6

D.7

(8)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是

正视图

左视图

俯视图

A. 16?
x a
2 2

B. 14?
y b
2 2

C. 12?

D. 8?

(9)已知双曲线

?

? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的斜率为

2 ,且右焦点与抛物线 y ? 4 3 x 的
2

焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A. 2 B. 3 C.2 D.2 3

(10)某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排成一队, 要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那么不同排法种数为 A.360 B.520
x ?x

C.600

D.720

( 11 ) 若 函 数 f ? x ? ? ka ? a


( a ? 0 且 a ? 1 ) 在 ( ??, ?? ) 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 , 则
2第

g ( x ) ? log a ( x ? k ) 的图象是

(12)对于函数 f ( x) ?

1 2

(sin x ? cos x) ?

1 2

| cos x ? sin x | ,下列说法正确的是

A.该函数的值域是 ? ?1,1? B.当且仅当 2k? ? x ? 2k? ? C.当且仅当 x ? 2k? ?
?
2

?
2

( k ? Z ) 时, f ( x) ? 0

( k ? Z ) 时,该函数取最大值 1

D.该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-第 24 题为 选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知实数 x, y 满足 ?
?y ?1 ? y ? 2x ?1 ?x ? y ? 8 ?

,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为

(14)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A ? sin C ? sin B ? 3 sin A sin C ,
2 2 2

则角 B 为 (15)已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ? x ? ? 2 xf ' ?1? ? ln x ,则 f ? x ? 在点 M (1, f ?1?) 处的 切线方程为 (16) 已知 f ( x) 为 R 上的偶函数, 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 且当 x1 , x2 ? ? 0, 3? , x1 ? x2 时,有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? 0 成立,给出四个命题:

① f (3) ? 0

② 直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图像的一条对称轴 ④ 函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?9? 上有四个零点
3第

③ 函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?6? 上为增函数


其中所有正确命题的序号为______________

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且
b2 ? S 2 ? 12 , q ?
S2 b2
1 Sn

. ,求 ?c n ?的前 n 项和 Tn .

(1)求 a n 与 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? (18) (本小题满分 12 分)

某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿者. (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望. (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB. Ⅰ、求证:CE⊥平面 PAD; Ⅱ、若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45° , 求四棱锥 P-ABCD 的体积. Ⅲ、在满足(Ⅱ)的条件下求二面角 B-PC-D 的 余弦值的绝对值.

(20) (本小题满分 12 分) 给定抛物线 C : y ? 4 x , F 是抛物线 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, O 为坐标
2

原点. (Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)设 FA ? 2 BF ,求直线 l 的方程.

(21)(本小题满分 12 分)
页 4第

已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ?1 ? a ? x ?

1 2

x ,a? R
2

(1)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)已知 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号.

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E ,割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点,∠ APE 的平分线和 AE , BE 分别交于 点C ,D . 求证: (1) CE ? DE ; (2)
CA CE ? PE PB .

(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ?
?
3 ( ? ? R ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面

直角坐标系, 曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ,

? y ? 1 ? cos 2? ,

( ? 为参数) 求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. ,

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (I)证明: ? 3 ≤ f (x) ≤3; (II)求不等式 f (x) ≥ x 2 ? 8 x ? 15 的解集.



5第

参考答案
1.【答案】B 【解析】由题意知 x 2 ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,选 B. 2.【答案】D 【 解 析 】 B ? { x ? Z x ? 5 x ? 4< 0? ? { x ? Z 1 ? x ? 4} ? {2, 3} , 所 以 A ? B ? {1, 2, 3} , 所 以
2

? ( A ? B ) ? {0, 4, 5},选 D. U

3.【答案】D
? 【 解 析 】 因 为 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) , 所 以 b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2)? (3,1)? ( 1, 3) , 所 以 ? ? a ? b ? (1, 2) ? (?1, 3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 5 ,选 D. ? ? ? ? ?

4.【答案】B



6第

【解析】抛物线的标准方程为 x 2 ?

1 4

y ,抛物线的焦点坐标为 (0, 1 16

1 16

) ,准线方程为 y ? ? 1 16 ? 15 16

1 16

,因为 M 到

焦点的距离为 1,则 M 到准线的距离为 1,即 yM ? (? 5.【答案】A 【解析】因为 ? 为第二象限角,所以 cos ? ? ? A. 6.【答案】C 【解析】因为 a ? ?? (cos x ? sin x)dx ? (sin x ? cos x) 0
2 x 4 5

) ? 1 ,所以 yM ? 1 ?

,选 B.

,所以 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ?
5 5

3

4

24 25

,选

?
0

? ?2 ,所以二项式为 ( x ?
2

a x

) ? (x ?
6 2

2 x

) ,所
6

k k 以 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C6 ( x 2 ) 6? k (? ) k ? C6 x12? 3k (?2) k , 由 12 ? 3k ? 3 得 k ? 3 , 所 以

T4 ? C6 x ( ?2) ? ?160 x ,所以 x 项的系数为 ?160 .选 C.
3 3 3 3
3

7.【答案】B 【解析】第一次 n ? 3 ? 5 ? 1 ? 16, k ? 1 ;第二次 n ?
n? 4 2 ? 2, k ? 4 ;第五次 n ? 2 2 16 2 ? 1, k ? 5 此时满足条件输出 k ? 5 ,选 B. ? 8, k ? 2 ;第三次 n ? 8 2 ? 4, k ? 3 ;第四次

8.【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体是一挖去 积为
3 4
2

1 2

半球的球.其中两个半圆的面积为 ? ? 22 ? 4? .

3 4

个球的表面

? 4? ? 2 ? 12? ,所以这个几何体的表面积是 12? ? 4? ? 16? ,选 A.

9.【答案】B 【解析】 抛物线的焦点为 ( 3, 0) , c ? 即
3 .双曲线的渐近线方程为 y ?
b a

由 x,

b a

?

即 2, b?

2a ,

所以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? 3a 2 ,即 e 2 ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选 B. 10.【答案】C
1 2 4 2 2 2 【解析】 若甲乙只有一个参加, 则有 C2C5 A4 ? 480 .若甲、 乙同时参加,则有 C5 A2 A3 ? 120 , 所以共有 600

种排法,选 C. 11.【答案】C 【 解 析 】 f ( x) ? ka x ? a ? x ? ka x ?
f ( x) ? a ?
x

1 a
x

是 奇 函 数 , 所 以 f (0) ? 0 , 即 k ? 1 ? 0 , 所 以 k ? 1 , 即
1

1 a
x

,又函数 y ? a x , y ? ?

a

x

在定义域上单调性相同,由函数是增函数可知 a ? 1 ,所以函数

g ( x ) ? log a ( x ? k ) ? log a ( x ? 1) ,选 C.

12.【答案】B
页 7第

【解析】

? sin ?sin x , x<cos x , 2? 由图象知,函数值域为 ? ?1 , ? ,A f ( x) ? ? sin 2 ? ?cos x , x≥ cos x , ?
π 4 (k ? Z) 时,该函数取得最大值

错;当且仅当

x ? 2kπ ?

2 2

, C 错;最小正周期为 2π ,D 错.

13.【答案】 ?2 【解析】由 z ? x ? y 得 y ? x ? z .作出不等式对应的平面区域 BCD,平移直线 y ? x ? z ,由平移可知,当 直线 y ? x ? z 经过点 C 时,直线的截距最大,此时 z 最小.由 ?
z ? x ? y 得最小值为 z ? 3 ? 5 ? ?2 .

? y ? 2x ?1 ?x ? y ? 8

,解得 ?

?x ? 3 ?y ? 5

,即 C (3, 5) ,代入

14.【答案】

?
6

【解析】由正弦定理可得 a ? c ? b ?
2 2 2

3ac ,所以 cos B ?

a ?c ?b
2 2

2

?

3ac 2ac

?

3 2

,所以 B ?

?
6

.

2ac

15.【答案】 x ? y ? 1 ? 0 【KU5U 解析】函数的导数为 f '( x) ? 2 f '(1) ? 即 f ? x ? ? 2 xf ' ?1? ? ln x ? ?2 x ? ln x
y ? ( ?2) ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

1 x

,令 x ? 1 ,所以 f '(1) ? 2 f '(1) ? 1 ,解得 f '(1) ? ?1 ,

M (1, ?2) 处的切线方程为 ,所以 f (1) ? ?2 ? ln1 ? ?2 ,所以在点

16.【答案】①②④ 【 解 析 】 令 x ? ?3 , 得 f (?3 ? 6) ? f (?3) ? f (3) ? f (3) , 即 f (3) ? 0 , 所 以 ① 正 确 . 因 为
f ( x ? 6) ? f ( x ) ? f (3) ,所以 f ( ? x ? 6) ? f ( ? x ) ? f (3) ? f ( x ) ? f (3) ,即 f ( ? x ? 6) ? f ( x ? 6) ,所

以直线 x ? 6 是函数 y ? f ( x) 的图像的一条对称轴, 因为函数为偶函数, 所以 x ? ?6 也是函数 y ? f ( x) 的
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2
8第

图像的一条对称轴所以②正确.由

? 0 可 知 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0, 3] 上 递 增 , 又



f ( x ? 6) ? f ( x ) ? f (3) ? f ( x ) ,所以函数的周期为 6,所以函数在 [6, 9] 上递增,所以在 ? ?9, ?6? 上为减

函数,所以③错误.因为函数的周期为 6,所以 f (?9) ? f (?3) ? f (3) ? f (9) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 在

? ?9, ?9? 上有四个零点,所以④正确,所以正确的命题为①②④
17.【答案】解:(1)设 ?a n ? 的公差为 d .
?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?

解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . , 故 an ? 3 ? 3 ? n ? 1? ? 3n , bn ? 3 n ?1 . (2)由(1)可知, S n ? 所以 cn ?
1 Sn ? 2 n ? 3 ? 3n ?

n ? 3 ? 3n ? 2
?



2?1 1 ? ? ? ?. 3 ? n n ?1 ?

故 Tn ?

2 ?? 1? ?1 1? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 . ? ? ? ?1 ? ?? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? 3 ?? 2? ? 2 3? n ? 1 ? 3 ? n ? 1? ? n n ? 1 ?? 3 ?

18.【答案】解: (I)ξ 得可能取值为 0,1,2;由题意 P(ξ =0)=

C4 C6

3 3

?

1 5

, P(ξ =1)=

C4 C2 C6
3

2

1

?

3 5

, P(ξ

=2)=

C4 C2 C6
3

1

2

?

1 5

…………3 分 ∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ p 0
1 5

1
3 5

2
1 5

Eξ =0×

1 5

+1×

3 5

+2 ×

1 5

=1

…………6 分

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C
2 男生甲被选中的种数为 C5 ? 10 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的

1 种数为 C4 ? 4

∴P(C)=


C4 C5

1 2

?

4 10

?

2 5
9第

…………11 分

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

2 5

……12 分

19.【答案】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD…………….3 分 (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45? ? 1 ,CE=CD ? sin 45? ? 1 . 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以
S ABCD ? S ABCE ? S ?BCD = AB ? AE ?
1 2 CE ? DE = 1? 2 ? 1 2 1 3 ? 1? 1 ? 5 2 1 3 ? 5 2 ?1 ? 5 6

, ……………7 分

又 PA⊥平面 ABCD,PA=1,所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ?

(3)建立以 A 为原点,AB,AD,AP 为 x,y,z 轴的空间坐标系,取平面 PBC 的法向量为 n1=(1,01),取平面 PCD 的法向量为 n2=(1,1,3), 所以二面角的余弦值的绝对值是
2 22 11

………………………………………………….12 分

20. 【答案】 (Ⅰ)解:? y ? 4 x,? F ?1, 0 ? , 又? 直线 l 的斜率为 1,? 直线? l 的方程为: y ? x ? 1 ,代
2

入? y ? 4 x ,得: x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,由根与系数的关系得: ?
2

? x1 ? x2 ? 6 ? x1 ? x2 ? 1

,易得 AB 中点即圆心的坐标为

? 3, 2 ? ,又

AB ? x1 ? x2 ? p ? 8,? r ? 4 ,
2 2

? 所求的圆的方程为: ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 16 .^……………………4 分

? (Ⅱ) FA ? 2 BF ,? FA ? 2 BF , 而 FA ? ? x1 ? 1, y1 ? , BF ? ?1 ? x2 , ? y2 ? ,? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? x1 ? 1 ? 2 ?1 ? x2 ? ? y1 ? ?2 y2

,? 直

线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为:
y ? k ? x ? 1? ,代入? y ? 4 x ,得: k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 ,由根与系数的关系得:
2
2 2 2 2

2 ? ?x ?2 2k ? 4 ? x1 ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,? x1 ? 1 ? 2 ?1 ? x2 ? ,? ? 或? k 1 ,? k ? ?2 2 , ? ? x2 ? 1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 ?

? 直线 l 的方程为: y ? ?2 2 ? x ? 1? .……………………12 分

21.【答案】 f ?? x ? ?

a x

? x ? ?1 ? a ? ?

x ? ?1 ? a ?x ? a
2

?

?x ? 1??x ? a ?
x

x

-----2 分

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, f ?? x ?、f ? x ? 的变化情况如下表:



10 第

x

?0,a ?
+ 单调递增

a

?a,1?
单调递减

1 0 极小值

?1, ? ? ?
+ 单调递增

f ?? x ?

0 极大值

f ?x ?

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ?0, a ?, ?1,?? ? ,单调递减区间是 ?a,1? ………………6 分 (Ⅱ)由于 f ?1? ? ?
1 2 ? a ,显然 a ? 0 时, f ?1? ? 0 ,此时 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 不是恒成立的,

----------------------------------8 分 当 a ? 0 时,易得函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? ? 的极小值、也是最小值即是 f ?1? ? ? ? 即可,解得 a ? ?
1 1 2 ? a ,此时只要 f ?1? ? 0

,? 实数 a 的取值范围是 ? - ?, ? .-----------12 分 2 2
? ?

?

1?

22.【答案】解: (1)? PE切 ⊙ O 于点 E ,? ?A ? ?BEP ------2 分
? PC平分?APE ,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ------4 分 ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ? ?ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

------5 分

(2)? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE ------6 分
? ?BPD ? ?EPC ,? ?PBD ∽ ?PEC ,?

PE PB

?

PC PD

------7 分

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?
? PE PB ? CA DE CA CE ? PE PB

PC PD

?

CA DE

------8 分

------9 分 ------10 分
? 3 ( ? ? R) ,

? DE ? CE , ?

23.【答案】解:因为直线 l 的极坐标方程为 ? = 所以直线 l 的普通方程为 y ? 又因为曲线 C 的参数方程为 ?
3 x ,①

…………………………………(3 分)

? x ? 2 cos ? , ? y ? 1 ? cos 2?
1 2
2

(α 为参数),

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ?
? x ? 0, ?y ? 0

x ( x ? [ ?2, 2]) ,②

………………(6 分)

联立①②解方程组得 ?

或?

? x ? 2 3, ? ? y ? 6. ?



11 第

根据 x 的范围应舍去 ?

? x ? 2 3, ? ? y ? 6, ?

故 P 点的直角坐标为(0,0).

…………………………………(10 分)
x ? 2, 2 ? x ? 5, x ? 5.

? ?3, ? 24.【答案】解: (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, ?3, ?

当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2

………………5 分

当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 6}.

…………10 分



12 第


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福建省2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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浙江省2013届高考压轴卷 数学理试题_图文.doc

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全国大纲版2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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全国大纲版2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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四川省2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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海南省2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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重庆市2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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陕西省2013届高考压轴卷 数学理试题.doc

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