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2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第5篇2-3


要 点 自 主 归 纳 思 想 方 法 点 拨 课 堂 典 例 讲 练 课 堂 巩 固 训 练 课 后 强 化 作 业

第五篇

第2章

第三讲 线面、面面垂直的判定及性质

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第2章

重点难点 重点:线面、面面垂直的定义、判定定理、性质定理

难点:线面、面面垂直的判定、性质定理的灵活应用

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第2章

知识归纳 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都 垂直,则这条直线和这个平面垂直.

(2)判定方法
①用定义.

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第2章

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第2章

(3)性质

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第2章

2.两个平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理

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第2章

(3)性质 ①性质定理 ②重要结论

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第2章

3.线面角和二面角 (1)线面角:平面的斜线和它在平面上的射影所成的 锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角θ的范围是[0°,90°].

θ=0°时,直线在平面内或与平面平行.
θ=90°时,直线与平面垂直.

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第2章

(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角,在二面角的棱上任取一点O,在两个半 平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB,则∠AOB叫做二 面角的平面角.二面角的取值范围是[0°,180°),θ=

0°时两个半平面共面;0°<θ<90°时为锐二面角;θ=
90°时为直二面角;90°<θ<180°时为钝二面角.

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第2章

误区警示

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第2章

2.不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂 直”;“经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”; “经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行,这无数 条直线在同一个平面内,即经过平面外一点有且仅有一个

平面与已知平面平行”;“经过直线外一点有且仅有一条
直线l与已知直线平行,有无数个平面与已知直线平行, 这无数个平面的交线为l”弄混错用.

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第2章

3.“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂 直于同一平面的两个平面互相平行”都是错误命题. 4.a⊥b,a⊥c,b?α,c?α?a⊥α是错误的,b与c相 交的条件不能少.

5.两平面垂直时,从一个平面内一点向另一个平面
作垂线,则垂足必落在交线上.

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第2章

一、同一法 [例1] 已知:β⊥α,γ⊥α,β∩γ=l.求证:l⊥α.

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第2章

分析:给出的条件为面面垂直,故证明本题应充分利 用二面垂直的性质:如果两个平面互相垂直 (一)在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面;

(二)在一个面内取一点,过该点向另一个平面作垂线,
则垂线必在前一个平面内; (三)一个平面内不在交线上的点在另一个平面内的射 影必落在交线上.

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第2章

证明:证法1:设α、β、γ三个平面相交于点A,过A 作l′⊥α

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第2章

证法2:在l上任取一点P,过P作PA⊥α,垂足为A, ∵l?γ,∴P∈γ,∵γ⊥α,∴垂足A落在γ与α的交线上, 同理垂足A落在β与α的交线上, ∴垂足A是β与γ的公共点,即A∈l,∴PA与l重合.

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第2章

二、特殊点在平面上的射影 1.△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O, (1)若PA=PB=PC,则O为△ABC外心 (2)若P到△ABC三边距离相等,则O为△ABC内心或

旁心
(3)若PA、PB、PC两两垂直,则O为△ABC的垂心 2.∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O (1)若∠PCA=∠PCB,则O在∠BCA的平分线上 (2)若P到∠BCA两边距离相等,则O在∠BCA的平分

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线上
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第2章

[例1]

对于直线m、l和平面α、β,α⊥β的一个充分

条件是
A.m⊥l,m∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=m,l?α C.m∥l,m⊥α,l⊥β D.m∥l,l⊥β,m?α

(

)

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第2章

解析:本题考查空间线面位置关系的判定.A:与两 相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定;B:平面 内的一条直线与另一个平面的交线垂直,这两个平面的位 置关系也不能确定;C:这两个平面也有可能重合;D是

成立的,故选D.

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第2章

(09·浙江)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线, 以下命题正确的是 A.若l⊥α,α⊥β,则l?β ( )

B.若l∥α,α∥β,则l?β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β 解析:若两平面平行,一直线垂直于其中一个平面, 则它垂直于另一个平面,故选C.

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答案:C
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第2章

[例2]

如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,SA⊥

平面ABC,点A在SB、SC的射影分别为P、Q.

求证:PQ⊥SC.

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第2章

分析:欲证SC⊥PQ,∵SC⊥AQ,故只须证SC⊥平 面APQ.即证SC⊥AP; 欲证AP⊥SC,∵AP⊥SB, 故只须证AP⊥平面SBC,故须证AP⊥BC;

欲证BC⊥AP,∵BC⊥AB,故只须证BC⊥平面SAB,
须证BC⊥SA,由已知SA⊥BC易得.

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第2章

证明:∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC, 又∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SAB,又AP?平面SAB, ∴BC⊥AP,而AP⊥SB,

∴AP⊥平面SBC,∴PQ为AQ在平面SBC内的射影,
又AQ⊥SC,∴PQ⊥SC.

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第2章

(文)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD, 底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.求证: (1)DF⊥AP.

(2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC?若
存在,说明G点的位置,并证明你的结论;若不存在,说 明理由.

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第2章

解析:(1)取AB的中点E,则PA∥EF.设PD=DC=a, 易求得

由于DE2=EF2+DF2,故DF⊥EF,
又EF∥PA,∴DF⊥PA.

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第2章

(2)在线段AD上存在点G,使GF⊥平面PBC,且G点
是AD的中点. 取AD的中点G,连结PG、BG,则PG=BG.又F为AB 的中点,故GF⊥PB. ∵F为PB中点,
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∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O,
∴GO为GF在平面ABCD上的射影, ∵GO⊥BC,∴GF⊥BC,

∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线,
∴GF⊥平面PBC.

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第2章

(理)已知长方体AC1 中,棱AB=BC=1,棱BB1 =2, 连结B1C,过B点作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F.

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(1)求证A1C⊥平面EBD;

(2)求点A到平面A1B1C的距离.
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第2章

解析:(1)连结AC,则AC⊥BD, ∵AC是A1C在平面ABCD内的射影,∴A1C⊥BD; 又A1B1⊥面B1C1CB,且A1C在平面B1C1CB内的射影 B1C⊥BE,

∴A1C⊥BE.
又∵BD∩BE=B,∴A1C⊥面EBD.

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第2章

(2)易证:AB∥平面A1B1C,所以点B到平面A1B1C的 距离等于点A到平面A1B1C的距离,又BF⊥平面A1B1C. ∴所求距离即为BF=

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第2章

[例3]

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,

AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=

DC=

AB=1,M是PB的中点.

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(1)证明平面PAD⊥平面PCD; (2)求直线AC与PB所成的角; (3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小.

A

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第2章

解析:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得CD⊥PD. 因而,CD与平面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直, ∴CD⊥平面PAD.

又CD?平面PCD.∴平面PAD⊥平面PCD.

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第2章

(2)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA, 则∠PBE是AC与PB所成的角. 连结AE,可知AC=CB=BE=AE= . 又AB=2,所以四边形ACBE为正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,

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第2章

(3)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN. 在Rt△PAB中,AM=MB. 又AC=CB,∴△AMC≌△BMC.∴BN⊥CM. 故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC.
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中,

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第2章

如 图 1 , 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AD∥BC , AB = AD , ∠ABC=60°,E是BC的中点.将△ABE沿AE折起后如图

2,使二面角B-AE-C成直二面角,设F是CD的中点,P
是棱BC的中点.

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第2章

(1)求证:AE⊥BD; (2)求证:平面PEF⊥平面AECD; (3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由.

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第2章

解析:(1)证明:设AE中点为M, ∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC =60°,E是BC的中点, ∴ △ ABE 与 △ADE 都是等 边 三角形 . ∴BM⊥AE,

DM⊥AE.
∵BM∩DM=M,BM、DM?平面BDM, ∴AE⊥平面BDM. ∵BD?平面BDM,∴AE⊥BD.

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第2章

(2)证明:连结CM交EF于点N,∵ME綊FC, ∴四边形MECF是平行四边形. ∴N是线段CM的中点. ∵P是BC的中点,∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.
又∵PN?平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.

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第2章

(3)解:DE与平面ABC不垂直. 证明:假设DE⊥平面ABC,则DE⊥AB, ∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE. ∵AB∩BM=B,AB、BM?平面ABE,

∴DE⊥平面ABE.
∴DE⊥AE,这与∠AED=60°矛盾. ∴DE与平面ABC不垂直.

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第2章

[例4]

如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直

角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.

(1)求证:BD⊥平面ADC;
(2)若H是△ABC的垂心,求证:H是D在平面ABC内 的射影 .

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第2章

证明:(1)∵∠ADB=∠ADC,DA=DB=DC, ∴AB=AC, 又∵∠BAC=60°,∴△ABC为正三角形, ∴AB=BC=AC,

∴△ABD≌△BDC,
∴∠ADB=∠BDC=90°, ∴BD⊥DC,BD⊥AD, ∴BD⊥面ADC.

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第2章

(2)∵H为△ABC的垂心, ∴AH⊥BC,设垂足为M,连结DM, ∵AD⊥DB,AD⊥DC, ∴AD⊥平面BDC,

∴AD⊥BC,∴BC⊥平面ADM,
∴BC⊥DH,同理DH⊥AB. ∴DH⊥平面ABC. ∴H为D在平面ABC内的射影.

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第2章

在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、 CA的中点,下面四个结论中不成立的是 ( )

A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC

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第2章

解析:∵D、F分别为AB、CA中点,∴DF∥BC.

∴BC∥面PDF,故A正确.
又∵P-ABC为正四面体, ∴P在底面ABC内的射影O在AE上. ∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF. 又∵E为BC中点,∴AE⊥BC,∴AE⊥DF.

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又∵PO∩AE=O,∴DF⊥面PAE,故B正确.
又∵PO?面PAE,PO⊥面ABC, ∴面PAE⊥面ABC,故D正确.

∴四个结论中不成立的是C.
答案:C
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第2章

[例5]

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1∩A1B=E,F为

B1C1的中点,其直观图和三视图如图:

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第2章

(1)求证:EF⊥平面A1BC; (2)求A1C与面A1B1BA所成角的余弦值. 解析:(1)证明:由三视图知:侧棱CC1⊥平面ABC, AC=CC1=BC=a,AC⊥BC,

∴BC⊥平面ACC1A1,∴BC⊥AC1.
又EF∥AC1,∴EF⊥BC. ∵ACC1A1为正方形,∴A1C⊥AC1. 又EF∥AC1,∴EF⊥A1C. 又A1C∩BC=C,∴EF⊥平面A1BC.

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第2章

(2)取AB的中点M,连结CM,A1M, 由题意知CA=CB,∴CM⊥AB. 由三视图知:侧棱AA1⊥平面ABC, ∴平面ABC⊥平面AA1BB1.

∴CM⊥平面AA1BB1.
∴∠CA1M 就 是 A1C 与 面 A1B1BA 所 成 二 面 角 的 平 面 角. ∵AC=BC=a,AC⊥BC,∴CM= 又正方形AA1C1C中,A1C=

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第2章

∴在Rt△A1MC中,sin∠CA1M= ∴∠CA1M=30°.∴cos∠CA1M= 综上知A1C与面A1B1BA所成角的余弦值为

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第2章

(09·天津)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=

CD=1,DB=2

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第2章

(1)证明PA∥平面BDE; (2)证明AC⊥平面PBD; (3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.

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第五篇

第2章

解析:(1)证明:设AC∩BD=H,连结EH.在△ADC中, 因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点.又 由题设,E为PC的中点,故EH∥PA.又EH?平面BDE且 PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE.

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第2章

(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所 以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB=D,故AC⊥ 平面PBD. (3)由AC⊥平面PBD可知,BD为AC在平面PBD内的射

影,所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.

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第2章

一、选择题 1.定点A和B都在平面α内,定点P?α,PB⊥α,C是α 内异于A和B的动点,且PC⊥AC.那么,动点C在平面α内

的轨迹是
A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.一个椭圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点

(

)

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[答案] B [解析] 连接BC,∵PB⊥α,∴AC⊥PB. 又∵PC⊥AC,∴AC⊥BC. ∴C在以AB为直径的圆上.故选B.

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第2章

2.若平面α,β,满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,
则下列命题中的假命题为 ( ) A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B.过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
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D.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
[答案] D [解析] 根据面面垂直的性质定理 ,选项B、C正

A

确.对于A,由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内
垂直于交线的直线,因此平行于平面β.因此A正确.

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第2章

3.(文)(广东东莞)若l为一条直线,α、β、γ为三个互 不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β; ②α⊥γ,β∥γ?α⊥β; ③l∥α,l⊥β?α⊥β.其中正确的命题有

(
A.0个 [答案] C [解析] 故选C. B.1个 C.2个

)

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D.3个

A

对于①,α与β可能平行,故错.②③正确,

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第2章

(理)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平 面,则下列命题不正确的是 A.若m⊥n,m⊥α,n?α,则n∥α B.若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m?α ( )

C.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β [答案] C

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[解析] 如图,设面ABB1A1为α,面A1B1C1D1为β.

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有DC1∥α,但DC1 垂直于β.故选C.
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第2章

二、解答题 4.(山东临沂)如图,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形, PA=AB=1,AD= 移动. ,点F是PB的中点,点E在边BC上

(1)求三棱锥E-PAD的体积;
(2)当点E为BC的中点时, 试判断EF与平面PAC的位置关系, 并说明理由; (3)证明无论点E在边BC的何处,

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都有PE⊥AF.
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第2章

[解析] (1)∵PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,

(2)当E为BC中点时,EF与平面PAC平行.

∵F为PB的中点,∴EF∥PC.
∵EF?平面PAC,PC?平面PAC, ∴EF∥平面PAC.

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第2章

(3)证明:∵PA=AB,F为PB的中点, ∴AF⊥PB. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC. 又BC⊥AB,BC⊥平面PAB,

又AF?平面PAB,∴BC⊥AF.
又PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC. ∵无论点E在边BC的何处,都有PE?平面PBC, ∴AF⊥PE.

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