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2016年浙江省高考数学试卷(文科)


2016 年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 8 小题) 1. (2016?浙江)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则 (?UP)∪Q=( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】先求出?UP,再得出(?UP)∪Q. 【解答】解:?UP={2,4,6}, (?UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}. 故选 C. 【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题. 2. (2016?浙江)已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【考点】直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】由已知条件推导出 l?β,再由 n⊥β,推导出 n⊥l. 【解答】解:∵互相垂直的平面 α,β 交于直线 l,直线 m,n 满足 m∥α, ∴m∥β 或 m?β 或 m⊥β,l?β, ∵n⊥β, ∴n⊥l. 故选:C. 【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的 培养. 3. (2016?浙江)函数 y=sinx 的图象是(
2



A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象.
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【专题】对应思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可. 【解答】解:∵sin(﹣x) =sinx , 2 ∴函数 y=sinx 是偶函数,即函数的图象关于 y 轴对称,排除 A,C; 2 由 y=sinx =0, 2 则 x =kπ,k≥0, 则 x=± ,k≥0, 故函数有无穷多个零点,排除 B, 故选:D 【点评】 本题主要考查函数图象的识别和判断, 根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本 题的关键.比较基础.
2 2

4. (2016?浙江)若平面区域

,夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两

条平行直线间的距离的最小值是( A. B. C. D.



【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离. 【解答】解:作出平面区域如图所示:

∴当直线 y=x+b 分别经过 A,B 时,平行线间的距离相等. 联立方程组 ,解得 A(2,1) ,

联立方程组

,解得 B(1,2) .

两条平行线分别为 y=x﹣1,y=x+1,即 x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.
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∴平行线间的距离为 d=

=



故选:B. 【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题. 5. (2016?浙江)已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( ) A. (a﹣1) (b﹣1)<0 B. (a﹣1) (a﹣b)>0 C. (b﹣1) (b﹣a)<0 1) (b﹣a)>0 【考点】不等关系与不等式. 【专题】分类讨论;转化法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】根据对数的运算性质,结合 a>1 或 0<a<1 进行判断即可.

D. (b﹣

【解答】解:若 a>1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b>a>1,此时 b﹣a>0,b>1, 即(b﹣1) (b﹣a)>0, 若 0<a<1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b<a<1,此时 b﹣a<0,b<1,即(b﹣1) (b﹣a)>0, 综上(b﹣1) (b﹣a)>0, 故选:D. 【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解 决本题的关键.比较基础. 6. (2016?浙江)已知函数 f(x)=x +bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小 值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】求出 f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x) )的最小值与 f(x) 的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断. 【解答】解:f(x)的对称轴为 x=﹣ ,fmin(x)=﹣ (1)若 b<0,则﹣ >﹣ . ,
2

,∴当 f(x)=﹣ 时,f(f(x) )取得最小值 f(﹣ )=﹣

即 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等. ∴“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分条件. (2)若 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等, 则 fmin(x)≤﹣ ,即﹣ ≤﹣ ,解得 b≤0 或 b≥2.

∴“b<0”不是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的必要条件. 故选 A. 【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题. 7. (2016?浙江)已知函数 f(x)满足:f(x)≥|x|且 f(x)≥2 ,x∈R. ( b A.若 f(a)≤|b|,则 a≤b B.若 f(a)≤2 ,则 a≤b b C.若 f(a)≥|b|,则 a≥b D.若 f(a)≥2 ,则 a≥b
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x



【考点】函数恒成立问题. 【专题】转化思想;转化法;不等式的解法及应用. 【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可. 【解答】解:A.若 f(a)≤|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|, 即|a|≤|b|,则 a≤b 不一定成立,故 A 错误, b B.若 f(a)≤2 , x 则由条件知 f(x)≥2 , a a b 即 f(a)≥2 ,则 2 ≤f(a)≤2 , 则 a≤b,故 B 正确, C.若 f(a)≥|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故 C 错误, b x a a b D.若 f(a)≥2 ,则由条件 f(x)≥2 ,得 f(a)≥2 ,则 2 ≥2 ,不一定成立,即 a≥b 不一 定成立,故 D 错误, 故选:B 【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关 键.综合性较强,有一定的难度. 8. (2016?浙江)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|, * * An≠An+1, n∈N , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, Bn≠Bn+1, n∈N , (P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合) 若 dn=|AnBn|, Sn 为△ AnBnBn+1 的面积,则( )

A.{Sn}是等差数列 B.{Sn }是等差数列 2 C.{dn}是等差数列 D.{dn }是等差数列 【考点】数列与函数的综合. 【专题】转化思想;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】设锐角的顶点为 O,再设|OA1|=a,|OB1|=b,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b, |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于 a,b 不确定,判断 C,D 不正确,设△ AnBnBn+1 的底边 BnBn+1 上的高为 hn,运用三角形相似知识,hn+hn+2=2hn+1,由 Sn= d?hn,可得 Sn+Sn+2=2Sn+1,进 而得到数列{Sn}为等差数列. 【解答】解:设锐角的顶点为 O,|OA1|=a,|OB1|=b, |AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d, 由于 a,b 不确定,则{dn}不一定是等差数列, 2 {dn }不一定是等差数列, 设△ AnBnBn+1 的底边 BnBn+1 上的高为 hn, 由三角形的相似可得 = = ,

2

=

=


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两式相加可得, 即有 hn+hn+2=2hn+1,

=

=2,

由 Sn= d?hn,可得 Sn+Sn+2=2Sn+1, 即为 Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn, 则数列{Sn}为等差数列. 故选:A.

【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整 理的推理能力,属于中档题. 二.填空题(共 7 小题) 9. (2016?浙江) 某几何体的三视图如图所示 (单位: cm) , 则该几何体的表面积是 3 体积是 40 cm .

80 cm ,

2

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;分割补形法;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合 图中数据求出它的表面积和体积即可. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是下部为长方体,其长和宽都为 4,高为 2, 2 2 2 3 表面积为 2×4×4+2×4 =64cm ,体积为 2×4 =32cm ; 上部为正方体,其棱长为 2, 2 2 3 3 表面积是 6×2 =24 cm ,体积为 2 =8cm ; 2 2 所以几何体的表面积为 64+24﹣2×2 =80cm , 3 体积为 32+8=40cm . 故答案为:80;40. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题, 也考查了空间想象和计 算能力,是基础题.
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10. (2016?浙江)已知 a∈R,方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 (﹣ 2,﹣4) ,半径是 5 . 【考点】圆的一般方程. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;直线与圆. 2 【分析】由已知可得 a =a+2≠0,解得 a=﹣1 或 a=2,把 a=﹣1 代入原方程,配方求得圆心坐 2 2 标和半径,把 a=2 代入原方程,由 D +E ﹣4F<0 说明方程不表示圆,则答案可求. 2 2 2 【解答】解:∵方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆, 2 ∴a =a+2≠0,解得 a=﹣1 或 a=2. 2 2 当 a=﹣1 时,方程化为 x +y +4x+8y﹣5=0, 2 2 配方得(x+2) +(y+4) =25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4) ,半径为 5; 当 a=2 时,方程化为 此时 , ,方程不表示圆,

2 2

2

故答案为: (﹣2,﹣4) ,5. 【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题. 11. (2016?浙江)已知 2cos x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0) ,则 A= ,b= 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】综合题;函数思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案. 【解答】解:∵2cos x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ = ( cos2x+ sin2x)+1
2 2

1 .

sin(2x+

)+1,

∴A= ,b=1, 故答案为: ;1. 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的 关键. 12. (2016?浙江)设函数 f(x)=x +3x +1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) 2 ,x∈R,则实数 a= ﹣2 ,b= 1 . 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】方程思想;综合法;函数的性质及应用. 2 【分析】根据函数解析式化简 f(x)﹣f(a) ,再化简(x﹣b) (x﹣a) ,根据等式两边对 应项的系数相等列出方程组,求出 a、b 的值. 3 2 【解答】解:∵f(x)=x +3x +1, 3 2 3 2 ∴f(x)﹣f(a)=x +3x +1﹣(a +3a +1) 3 2 3 2 =x +3x ﹣(a +3a ) 2 2 2 3 2 2 2 ∵(x﹣b) (x﹣a) =(x﹣b) (x ﹣2ax+a )=x ﹣(2a+b)x +(a +2ab)x﹣a b, 2 且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) ,
3 2

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,解得



(舍去) ,

故答案为:﹣2;1. 【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.

13. (2016?浙江)设双曲线 x ﹣

2

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若点 P 在双曲线上,且

△ F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】综合题;对应思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意画出图形,以 P 在双曲线右支为例,求出∠PF2F1 和∠F1PF2 为直角时 |PF1|+|PF2|的值,可得△ F1PF2 为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围. 【解答】解:如图, 由双曲线 x ﹣ ∴
2

=1,得 a =1,b =3, .

2

2

不妨以 P 在双曲线右支为例,当 PF2⊥x 轴时, 把 x=2 代入 x ﹣
2

=1,得 y=±3,即|PF2|=3,

此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8; 由 PF1⊥PF2,得 又|PF1|﹣|PF2|=2,① 两边平方得: ∴|PF1||PF2|=6,② 联立①②解得: 此时|PF1|+|PF2|= . ) . , , ,

∴使△ F1PF2 为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是( 故答案为: ( ) .

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【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是 中档题. 14. (2016?浙江)如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= ,∠ADC=90°, .

沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD′,直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】数形结合;转化思想;空间角. 【分析】 如图所示, 取 AC 的中点 O, AB=BC=3, 可得 BO⊥AC, 在 Rt△ ACD′中, AC= D′E⊥AC,垂足为 E,D′E= .CO= ,CE= = ,EO=CO﹣CE=

. 作

.过点 B 作

BF∥BO,作 FE∥BO 交 BF 于点 F,则 EF⊥AC.连接 D′F.∠FBD′为直线 AC 与 BD′所成 的角.则四边形 BOEF 为矩形,BF=EO= .EF=BO=
2

.则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣

B 的平面角,设为 θ.利用余弦定理求出 D′F 的最小值即可得出. 【解答】解:如图所示,取 AC 的中点 O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC, 在 Rt△ ACD′中, 作 D′E⊥AC,垂足为 E,D′E= = = . .

CO=

,CE=

=

=



∴EO=CO﹣CE=



过点 B 作 BF∥BO,作 FE∥BO 交 BF 于点 F,则 EF⊥AC.连接 D′F.∠FBD′为直线 AC 与 BD′所成的角. 则四边形 BOEF 为矩形,∴BF=EO= .
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EF=BO=

=



则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角,设为 θ. 则 D′F = ∴D′B 的最小值=
2

+

﹣2× =2.

cosθ=

﹣5cosθ≥

,cosθ=1 时取等号.

∴直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值= 故答案为: .

=

=



【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力, 属于难题.

15. (2016?浙江)已知平面向量 , ,| |=1,| |=2, | |+| |的最大值是 .

=1,若 为平面单位向量,则

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】 由题意可知, | 由此可知,当 与 【解答】解:| |+| |+| 共线时,| |= |为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和, |+| |取得最大值,即 , .

其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和, 当 与 ∴ 共线时,取得最大值. = .

故答案为: . 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生 正确理解问题的能力,是中档题.
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三.解答题(共 5 小题) 16. (2016?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 【考点】正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;三角函数的求值;解三角形. 【分析】 (1) 由 b+c=2acosB, 利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而 sinC=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B) ,由 A,B∈(0,π) ,可得 0<A﹣ B<π,即可证明. (II)cosB= ,可得 sinB= .cosA=cos2B=2cos B﹣1,sinA=
2

.利

用 cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB 即可得出. 【解答】 (1)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ,由 A,B∈(0,π) , ∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或 B=π﹣(A﹣B) ,化为 A=2B,或 A=π(舍去) . ∴A=2B. (II)解:cosB= ,∴sinB= cosA=cos2B=2cos B﹣1=
2

= ,sinA=

. = . + × = .

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=

【点评】本题考查了正弦定理、 和差公式、 倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17. (2016?浙江)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . (Ⅰ)求通项公式 an; (Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和. 【考点】数列递推式. 【专题】分类讨论;转化思想;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{an}是 公比 q=3 的等比数列,即可求通项公式 an; (Ⅱ) 讨论 n 的取值, 利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|} 的前 n 项和. * 【解答】解: (Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . ∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1, 解得 a1=1,a2=3, 当 n≥2 时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1, 两式相减得 an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an, 即 an+1=3an,当 n=1 时,a1=1,a2=3,
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*

满足 an+1=3an, ∴ =3,则数列{an}是公比 q=3 的等比数列,
n﹣1

则通项公式 an=3 . n﹣1 (Ⅱ)an﹣n﹣2=3 ﹣n﹣2, n﹣1 设 bn=|an﹣n﹣2|=|3 ﹣n﹣2|, 0 则 b1=|3 ﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1, n﹣1 当 n≥3 时,3 ﹣n﹣2>0, n﹣1 则 bn=|an﹣n﹣2|=3 ﹣n﹣2, 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和 Tn=3+ ﹣

=



则 Tn=

=



【点评】 本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算, 根据条件建立方程组以及利用 方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键. 求出过程中使用了转化法和分组法进行 数列求和. 18. (2016?浙江)如图,在三棱台 ABC﹣DEF 中,平面 BCFE⊥平面 ABC,∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题;证明题;数形结合;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长 AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为 K,并且可以由平面 BCFE⊥平面 ABC 及∠ACB=90°可以得出 AC⊥平面 BCK,进而得出 BF⊥AC.而根据条件可以判断出点 E,F 分别为边 BK,CK 的中点,从而得出△ BCK 为等 边三角形,进而得出 BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出 BF⊥平面 ACFD;

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(Ⅱ)由 BF⊥平面 ACFD 便可得出∠BDF 为直线 BD 和平面 ACFD 所成的角,根据条件可 以求出 BF= ,DF= ,从而在 Rt△ BDF 中可以求出 BD 的值,从而得出 cos∠BDF 的值,

即得出直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示: ∵平面 BCFE⊥平面 ABC,且 AC⊥BC; ∴AC⊥平面 BCK,BF?平面 BCK; ∴BF⊥AC; 又 EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2; ∴△BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点; ∴BF⊥CK,且 AC∩CK=C; ∴BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)∵BF⊥平面 ACFD; ∴∠BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角; ∵F 为 CK 中点,且 DF∥AC; ∴DF 为△ ACK 的中位线,且 AC=3; ∴ 又 ; ;

∴在 Rt△ BFD 中,

,cos



即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为



【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以 及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义. 19. (2016?浙江)如图,设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的 距离等于|AF|﹣1, (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交 于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围.
2

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【考点】直线与椭圆的位置关系;抛物线的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得 p 值; (Ⅱ)设出直线 AF 的方程,与抛物线联立,求出 B 的坐标,求出直线 AB,FN 的斜率, 从而求出直线 BN 的方程,根据 A、M、N 三点共线,可求出 M 的横坐标的表达式,从而 求出 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x=﹣1 的距 离, 由抛物线定义得, ,即 p=2;
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为 y =4x,F(1,0) ,可设(t ,2t) ,t≠0,t≠±1, ∵AF 不垂直 y 轴, ∴设直线 AF:x=sy+1(s≠0) , 联立 y1y2=﹣4, ∴B( ) , ,得 y ﹣4sy﹣4=0.
2

又直线 AB 的斜率为

,故直线 FN 的斜率为



从而得 FN:

,直线 BN:y=﹣ ,

则 N(

) ,

设 M(m,0) ,由 A、M、N 三点共线,得



于是 m=

=

,得 m<0 或 m>2.

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经检验,m<0 或 m>2 满足题意. ∴点 M 的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞) . 【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化 思想方法,属中档题.
3

20. (2016?浙江)设函数 f(x)=x + (Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x
2

,x∈[0,1],证明:

(Ⅱ) <f(x)≤ . 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】转化思想;综合法;配方法;函数的性质及应用;不等式. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,1﹣x+x ﹣x = 证明结论成立; (Ⅱ)利用 0≤x≤1 时 x ≤x,证明 f(x)≤ ,再利用配方法证明 f(x)≥ ,结合函数的最小 值得出 f(x)> ,即证结论成立. 【解答】解: (Ⅰ)证明:因为 f(x)=x +
3 3 2 3

,利用放缩法得



,即可

,x∈[0,1],

且 1﹣x+x ﹣x =

2

3

=



所以


2


3

所以 1﹣x+x ﹣x ≤
2



即 f(x)≥1﹣x+x ; 3 (Ⅱ)证明:因为 0≤x≤1,所以 x ≤x, 所以 f(x)=x +
3

≤x+

=x+
2

﹣ + = + ≥ ,

+ ≤ ;

由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x = 且 f( )= + = > ,

所以 f(x)> ; 综上, <f(x)≤ .

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【点评】 本题主要考查了函数的单调性与最值, 分段函数等基础知识, 也考查了推理与论证, 分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.

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