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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 44 双曲线考点规范练 文 北师大版


考点规范练 44

双曲线
考点规范练 B 册第 32 页 )

基础巩固组 1.(2015 安徽,文 6)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是(
2 2

A.x -=1 B.-y =1 2 2 C.x -=1 D.-y =1 答案:A 2 2 2 解析:双曲线 x -=1 的渐近线方程为 y=±2x,双曲线-y =1 的渐近线方程为 y=±x,双曲线 x -=1 的渐 2 近线方程为 y=±x,双曲线-y =1 的渐近线方程为 y=±x,因此 A 正确. 2.已知 0<θ <,则双曲线 C1:=1 与 C2:=1 的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 答案:D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析:由双曲线 C1 知:a =sin θ ,b =cos θ ? c =1,由双曲线 C2 知:a =cos θ ,b =sin θ ? c =1. 3.(2015 天津,文 5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2 2 2) +y =3 相切,则双曲线的方程为( ) A.=1 B.=1 2 2 C.-y =1 D.x -=1 答案:D 解析:由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x. 2 2 2 2 因为该双曲线的渐近线与圆(x-2) +y =3 相切,所以,解得 b =3a . 2 2 2 2 2 又因为 c =a +b =4,所以 a =1,b =3. 2 故所求双曲线的方程为 x -=1. 2 4.(2015 课标全国Ⅰ,理 5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:-y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若<0,则 y0 的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:由条件知 F1(-,0),F2(,0), ∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0), ∴-3<0.① 又∵=1,∴=2+2.代入①得,

∴-<y0<.
5.设 F1,F2 分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|) =b -3ab, 则该双曲线的离心率为( ) A. B. C.4 D.?导学号 32470815? 答案:D 2 2 2 2 解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|) =4a ,所以 4a =b -3ab,即-3?=4,解得=4(-1 舍去). 因为双曲线的离心率 e=, 所以 e=.故选 D. 6.过双曲线 C:=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案:A 解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为 y=x,因此可设点 A 的坐标为 (a,b). 2 2 2 2 2 2 2 2 设右焦点为 F(c,0),由已知可知 c=4,且|AF|=4,即(c-a) +b =16,所以有(c-a) +b =c ,又 c =a +b , 2 2 2 2 2 则 c=2a,即 a==2,所以 b =c -a =4 -2 =12.故双曲线的方程为=1,故选 A. 1
2 2

7.已知双曲线=1 的一个焦点是(0,2),椭圆=1 的焦距等于 4,则 n= . 答案:5 2 2 解析:因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在 y 轴上,所以双曲线的方程为=1,即 a =-3m,b =-m,所以 2 2 2 c =-3m-m=-4m=4,解得 m=-1.所以椭圆方程为+x =1,且 n>0,椭圆的焦距为 4,所以 c =n-1=4 或 1-n=4, 解得 n=5 或-3(舍去). 8.(2015 江西宜春奉新一中模拟)我们把离心率 e=的双曲线=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.给出以下 几个说法: 2 (1)双曲线 x -=1 是黄金双曲线; 2 (2)若 b =ac,则该双曲线是黄金双曲线; (3)若 MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线; (4)若 F1,F2 为左、右焦点,A1,A2 为左、右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄 金双曲线. 其中正确命题的序号为 .?导学号 32470816? 答案:(1)(2)(3)(4) 2 解析:(1)双曲线 x -=1 中,e=, ∴双曲线 x2-=1 是黄金双曲线,故(1)正确; 2 对于(2),∵b =ac,则 e=, ∴e2-e-1=0, 解得 e=或 e=(舍), ∴该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确; 对于(3),如图,MN 经过右焦点 F2,且 MN⊥F1F2,∠MON=90°, ∴NF2=OF2,∴=c,∴b2=ac. 由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确; 对于(4),如图,F1,F2 为左、右焦点,A1,A2 为左、右顶点, B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°, ∴B1+B1=A2,即 b2+2c2=(a+c)2, 2 整理,得 b =ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确.

9.直线 l:y=(x-2)和双曲线 C:=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点,且|AB|=,又 l 关于直线 l1:y=x 对称的直 线 l2 与 x 轴平行. (1)求双曲线 C 的离心率 e; (2)求双曲线 C 的方程. 解:(1)设双曲线 C:=1 过第一、三象限的渐近线 l1:=0 的倾斜角为 α . 因为 l 和 l2 关于 l1 对称,记它们的交点为 P,l 与 x 轴的交点为 M. 而 l2 与 x 轴平行,记 l2 与 y 轴的交点为 Q. 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α . 又 l:y=(x-2)的倾斜角为 60°,则 2α =60°, 所以 tan 30°=. 2 于是 e ==1+=1+, 所以 e=. (2)由于,于是设双曲线方程为=1(k≠0), 2 2 2 即 x -3y =3k . 2 2 2 将 y=(x-2)代入 x -3y =3k 中, 2 2 2 得 x -3?3(x-2) =3k . 2 2 化简得到 8x -36x+36+3k =0. 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=|x1-x2|=2 =2?, 2 解得 k =1. 2 故所求双曲线 C 的方程为-y =1. 10.已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2,记动点 P 的轨迹为 W. (1)求 W 的方程; (2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求的最小值. 解:(1)由|PM|-|PN|=2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长 a=. 又焦距 2c=4,所以虚半轴长 b=. 所以 W 的方程为=1(x≥). (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 当 AB⊥x 轴时,x1=x2,y1=-y2, 从而=x1x2+y1y2==2. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m(k≠±1),与 W 的方程联立,消去 y 得(1k2)x2-2kmx-m2-2=0, 则 x1+x2=,x1x2=, 所以=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=+m2 ==2+.
又因为 x1x2>0,所以 k -1>0. 所以>2. 综上所述,当 AB⊥x 轴时,取得最小值 2. 能力提升组 2 2 11.(2015 河北保定二模)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线都与圆(x-c) +y =ac(其中 c=)相切, 则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.?导学号 32470817? 答案:D 解析:取双曲线的渐近线 y=x,即 bx-ay=0. ∵双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac 相切, ∴圆心(c,0)到渐近线的距离 d=r, ∴,化为 b2=ac, 2 2 2 即 ac=c -a ,化为 e -e-1=0.∵e>1,∴e=. 2 12.(2015 四川,文 7)过双曲线 x -=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( ) A. B.2 C.6 D.4 答案:D 2 解析:双曲线 x -=1 的两条渐近线方程为 y=±x,右焦点为 F(2,0)如图所示.
2

根据题意,由得 A(2,2). 同理可得 B(2,-2). 所以|AB|=4,故选 D. 3

13.已知圆 M 经过双曲线 S:=1 的一个顶点和一个焦点,圆心 M 在双曲线 S 上,则圆心 M 到双曲线 S 的中心的距离为 .?导学号 32470818? 答案: 解析:设圆心 M 的坐标为(x0,y0),若圆 M 经过双曲线中心同一侧的焦点和顶点,以右焦点 F 和右顶点 A 为例,由|MA|=|MF|知,x0==4,代入=1 可得 y0=±,故 M 到双曲线 S 的中心的距离|MO|=,若圆 M 经过 双曲线中心异侧的焦点和顶点,此时圆心 M 不在双曲线上,故不满足题意,所以答案为. 14.

如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2:=1(a2>b2>0)均过点 P,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且||=||?证明你的结论. 解:(1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而 a1=1,c2=1. 2 因为点 P 在双曲线 x -=1 上, 所以=1.故=3. 由椭圆的定义知 2a2

= =2.
于是 a2==2. 2 故 C1,C2 的方程分别为 x -=1,=1. (2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x=或 x=-. 当 x=时,易知 A(),B(,-), 所以||=2,||=2. 此时,||≠||. 当 x=-时, 同理可知,||≠||. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m. 由 2 2 2 得(3-k )x -2kmx-m -3=0. 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 从而 x1+x2=,x1x2=. 2 2 于是 y1y2=k x1x2+km(x1+x2)+m =. 2 2 2 由得(2k +3)x +4kmx+2m -6=0. 2 2 2 2 因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ =16k m -8(2k +3)(m -3)=0. 2 2 化简,得 2k =m -3, 因此=x1x2+y1y2=≠0, 于是+2-2, 2 2 即|| ≠|| , 故||≠||. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.?导学号 32470819? 15.

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已知双曲线 E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由. 解:(方法一)(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, 所以=2,所以=2,故 c=a, 从而双曲线 E 的离心率 e=.

(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为=1. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a, 又因为△OAB 的面积为 8, 所以|OC|?|AB|=8, 因此 a?4a=8,解得 a=2, 此时双曲线 E 的方程为=1. 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为=1. 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E:=1 也满足条件. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C. 记 A(x1,y1),B(x2,y2). 由得 y1=, 同理得 y2=, 由 S△OAB=|OC|?|y1-y2|得, =8, 2 2 2 即 m =4|4-k |=4(k -4). 2 2 2 由得,(4-k )x -2kmx-m -16=0. 2 因为 4-k <0, 2 2 2 2 2 2 Δ =4k m +4(4-k )(m +16)=-16(4k -m -16), 2 2 又 m =4(k -4), 所以 Δ =0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为=1. (方法二)(1)同方法一. (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为=1. 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得-<m<. 由得 y1=, 同理得 y2=. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 5

由 S△OAB=|OC|?|y1-y2|=8, 得|t|?=8, 2 2 2 所以 t =4|1-4m |=4(1-4m ). 由得, 2 2 2 2 (4m -1)y +8mty+4(t -a )=0. 2 2 2 2 2 2 因为 4m -1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ =64m t -16(4m -1)(t -a )=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 即 4m a +t -a =0,即 4m a +4(1-4m )-a =0, 2 2 2 即(1-4m )(a -4)=0,所以 a =4, 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为=1. (方法三)(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得 k>2 或 k<-2. 2 2 2 由得,(4-k )x -2kmx-m =0, 2 因为 4-k <0,Δ >0,所以 x1x2=, 又因为△OAB 的面积为 8, 所以|OA|?|OB|?sin∠AOB=8, 由已知 sin∠AOB=, 所以=8,化简得 x1x2=4. 2 2 所以=4,即 m =4(k -4). 2 2 2 2 由(1)得双曲线 E 的方程为=1,由得,(4-k )x -2kmx-m -4a =0, 2 2 2 2 2 2 因为 4-k <0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ =4k m +4(4-k )?(m +4a )=0, 2 2 2 即(k -4)(a -4)=0,所以 a =4, 所以双曲线 E 的方程为=1. 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E:=1 有且只有一个公 共点. 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为=1.?导学号 32470820?

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