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高中数学必修3(北师版)第一章1.4 数据的数字特征(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修3(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 统计 1.4 数据的数字特征

一、知识清单
样本数据的数字特征

二、知识讲解
1.样本数据的数字特征 描述: 众数、中位数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数(mode). 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的 数为这组数据的中位数(median);如果数据个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的 中位数. 标准差、方差 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本 数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示. 假设样本数据是 x1 ,x2 ,?,xn , x ? 表示这组数据的平均数.xi 到 x ? 的距离是 |xi ? x ? |( , , , ).于是,样本数据 , , , 到 ? 的“平均距离”是 i=1 2 ? n x1 x2 ? xn x

S=

用如下公式来计算标准差

? | + |x2 ? x ? | + ? + |xn ? x ?| |x1 ? x .由于上式含有绝对值,运算起来不太方便,因此,通常改 n

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 1 s = √ [(x1 ? x ? )2 + (x 2 ? x ? )2 + ? + (x n ? x ? )2 ] . n 1 方差(variance)是标准差的平方 s2 . s2 = ? )2 + (x 2 ? x ? )2 + ? + (x n ? x ? )2 ] . [(x1 ? x n
例题: 如图所示是某班学生在一次数学考试中的成绩的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计其成绩的 (1)众数;(2)中位数;(3)平均数.

解:(1)由频率分布直方图可知,其众数为 (2)设中位数为 x . 由图知

70 + 80 = 75 (分). 2

0.01 × 10 + 0.02 × 10 + (x ? 70) × 0.03 = 0.5,所以 x = 76

2 ≈ 77 (分). 3 (55 × 0.01 + 65 × 0.02 + 75 × 0.03 + 85 × 0.025 + 95 × 0.015) × 10 = 76.5

(3)平均数为 (55 × 0.01 + 65 × 0.02 + 75 × 0.03 + 85 × 0.025 + 95 × 0.015) × 10 = 76.5(分). 从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示 (如下图所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为 x ? 甲 、x ? 乙 ,中位数分别为 m 甲 、m 乙 ,则 ( )

3

A.x ?甲 B.x ?甲 C.x ?甲 D.x ?甲 解:

<x ? 乙 ,m 甲 <x ? 乙 ,m 甲 >x ? 乙 ,m 甲 >x ? 乙 ,m 甲

> m乙 < m乙 > m乙 < m乙

1 345 , × (41 + 43 + 30 + 30 + 38 + 22 + 25 + 27 + 10 + 10 + 14 + 18 + 18 + 5 + 6 + 8) = 16 16 1 457 . ?乙 = × (42 + 43 + 48 + 31 + 32 + 34 + 34 + 38 + 20 + 22 + 23 + 23 + 27 + 10 + 12 + 18) = x 16 16 所以,x ?甲 < x ?乙 . 又因为 m 甲 = 20 ,m 乙 = 29 ,所以 m 甲 < m 乙 . ?甲 = x
甲、乙两名同学上学期的数学考试成绩记录如下: 甲:94 87 75 84 101 105 106 72 78 108; 乙:90 86 71 98 96 84 101 92 101 91. (1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩,并根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩; (2)分别计算两个样本的平均数 x ? 和方差 s2 ,并根据计算结果估计哪位同学的成绩比较稳定. 解:(1)甲乙成绩的茎叶图如下图所示:

由图可知,乙的成绩大致对称,可以看出乙发挥比较稳定,甲波动性大. (2)x ?甲 =

1 × (9.4 + 8.7 + 7.5 + 8.4 + 10.1 + 10.5 + 10.6 + 7.2 + 7.8 + 10.8) = 9.1 , 10 1 = × [(9.4 ? 9.1)2 + (8.7 ? 9.1)2 + ? + (10.8 ? 9.1)2 ] = 1.67. s2 甲 10 1 ? = (9.0 + 8.6 + 7.1 + 9.8 + 9.6 + 8.4 + 10.1 + 9.2 + 10.1 + 9.1) = 9.1, x乙 10 1 = × [(9.0 ? 9.1)2 + (8.6 ? 9.1)2 + ? + (9.1 ? 9.1)2 ] = 0.75 . s2 乙 10 因为 s2 ,说明甲同学成绩的波动大于乙同学成绩的波动,所以我们估计乙同学的成绩比较稳 > s2 甲 乙
定.

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