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高考数学一轮复习总教案:7.5 不等式的综合应用

7.5 不等式的综合应用 典例精析 题型一 含参数的不等式问题 【例 1】若不等 式组 ? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 2 ?2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0 的解集中所含整数解只有-2,求 k 的取值范 围. 【解析 】由 x2-x-2>0 有 x<-1 或 x>2, 由 2x2+(5+2k)x+5k<0 有(2x+5)(x+k)<0. 因为-2 是原不等式组的解,所以 k<2. 5 由(2x+5)(x+k)<0 有- <x<-k. 2 因为原不等式组的整数解只有-2,所以-2<-k≤3,即-3≤k<2, 故 k 的取值范围是[-3,2). 【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时,借助数轴分析,往往直观、简洁. (-1)n+1 【变式训练 1】不等式(-1)na<2+ 对任意 n∈N*恒成立,求实数 a 的取值范围. n 1 1 【解析】当 n 为奇数时,-a<2+ ,即 a>-(2 + ). n n 1 而-(2+ )<-2,则 a≥-2; n 1 1 1 3 3 当 n 为偶数时,a<2- ,而 2- ≥2- = ,所以 a< . n n 2 2 2 3 综上可得-2≤a< . 2 【点拨】不等式中出 现了(-1)n 的时候,常常分 n 为 奇数和偶数进行分类讨论. 题型二 不等式在函数中的应用 2x-a 【例 2】已知函数 f(x)= 在区间[-1,1]上是增函数. x2+2 (1)求实数 a 的值组成的集合 A; 1 (2)设 x1,x2 是关于 x 的方程 f(x)= 的两个相异实根,若对任意 a∈A 及 t∈[-1,1],不等式 x m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)f′(x)= 4+2ax-2x2 , (x2+2)2 因为 f(x)在[-1,1]上是增函数,所以当 x∈[-1,1]时,f′(x)≥0 恒成立, 令 φ(x)=x2-ax-2,即 x2-ax-2≤0 恒成立. [来源:www.shulihua.net] 所以 A={a|-1≤a≤1 }. 1 (2)由 f(x)= 得 x2-ax-2=0. x 设 x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个根,所以 x1+x2=a,x1x2=-2. [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 从而|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= a2+8, 因为 a∈[ -1,1],所以 a2+8≤3,即|x1-x2|max=3. 不等式对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]不等式恒成立,即 m2+tm-2≥0 恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+m2-2,则 解得 m≥2 或 m≤-2. 故 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题,通常可以转化为给定 区间上的函数最大 值(最小值)大于零(或小于零),亦可分离变量或者利用数形结合的方法,分离变量和数形结 合更加简单明了. [来源:www.shulihua.net] a b 【变式训练 2】设 a,b>0,且 ab=1,不等式 + ≤λ 恒成立,则 λ 的取值范围 a2+1 b2+1 是 . [来源:www.shulihua.net] a b 2 2 【解析】[1,+∞).因为 ab=1,所以 + = ≤ =1,所以 λ≥1. a2+1 b2+1 a+b 2 ab 题型三 不等式在实际问题中的应用 【例 3】某森林出现火灾,火势正以 100 m2/分钟的速度顺风蔓延,消防站接到报警立即派 消防队员前去,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人灭火 50 m2/分钟,所消耗的灭火材料,劳务津贴等费用为人均 125 元/分钟,另附加每次救火所 耗损的车辆,器械和装备等费用人均 100 元,而烧毁森林的损失费 60 元/m2,问应该派多 少消防队员前去救火才能使总损失最少? 【解析】设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟 将火扑灭,总损失为 y,则 5× 100 10 t= = , 50x-100 x-2 y=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费 =125xt+100x+60(500+100t) 10 60 000 = 125x× +100x+30 000+ x-2 x-2 62 500 =100(x-2)+ +31 450 x-2 ≥2 62 500 100(x-2)· +31 450=36 45 0, x-2 62 500 当且仅当 100(x-2)= ,即 x=27 时,y 有最小值 36 450,故应派 27 人前去救火才能 x-2 使总损失最少,最少损失 36 450 元. 【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题,建立不等式模型 ,利用基本不等式求最值, 基本不等式是历年高考考查的重要内容. 【变式训练 3】某学校拟建一块周长为 400 m 的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中 间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可 [来源:学§科§网] 能大,试问如何设计矩形的长和宽? 【解析】设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m,中间的矩形区域面积为 S, πy 则半圆的周长为 , 2 πy 因为操场周长为 400,所以 2x+2× =400, 2 即 2x+πy=400(0<x<200,0<y< 400 ), π 2x+πy? 20 000 1 1 所以 S=xy= ·(2x)·(πy)≤ ·? 2= , 2π 2π ? 2 ? π 由 ?2 x ? πy, ? ?2 x ? πy ? 400, ? x ? 100, ? ? 200 y? ? π 解得 ? [来源:学§科§网] ? x ? 100, ? ? 200 y? ? π 时等号成立, ? 所以当且仅当 200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和