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北京市房山区2015-2016学年第二学期期末考试八年级数学介绍

房山区 2015-2016 学年第二学期期末考试八年级数学试卷
一、 选择题(每小题 3?分,共 30 分) :下面各题均有四个选项,其中只有一个符合题意。 1. 在 平 面 直 角 坐 标 中 , 点 P ( 3 , -5 ) 在 ( A. 第一象限
面 下

) D. 第四象限

B. 第二象限

C. 第三象限 )

2.下列环保标志中,是中心对称图形的是(

A.

B.

C. )

D.

3 .一个多边形的内角和是 720°,这个多边形是( A. 六边形 B.五边形

C.四边形

D.三角形

4. 如图,在□ABCD 中,∠D=120°,则∠A 的度数等于( A.120° C.40° B.60° D.30° )

)
A

D

C

B

5. 如果 4 x ? 5 y ( y ? 0) ,那么下列比例式成立的是( A.

x y ? 4 5

B.

x 5 ? 4 y
的斜边

C.

x 4 ? y 5

D.

x y ? 5 4

6.如图,M 是 点 M 作直线截 有( ) A. 条 B. 条

上一点(M 不与 B、C 重合),过 相似,这样的直线共

,所得的三角形与

C. 条

D. 无数条

7. 甲和乙一起练习射击,第一轮 10 枪打完后两 人的成绩如图所示.设他们这 10 次射击成绩的
2 2 方差为 S甲 、 S乙 ,下列关系正确的是(



2 2 A. S甲 < S乙
2 2 C. S甲 = S乙

2 2 B. S甲 > S乙

D.无法确定

8.菱形 ABCD 的对角线 AC=6,BD=8,那么边 AB 的长度 是(
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A. 10

B. 5

C. 2 7

D.

7

9. 右图是用杠杆撬石头的示意图,C 是支点,当用力压杠杆 的 A 端时,杠杆绕 C 点转动,另一端 B 向上翘起,石头就被 撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的 B 端必须向上翘 起 ,已知杠杆上 AC 与 BC 的长度比之比为 5:1,要使

A C

B

这块石头滚动,至少要将杠杆的 A 端向下压 A. B. C. D.

10. 如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F 分别是边 BC、AD 的中点, AB=2,BC=4,一动点 P 从点 B 出发,沿着 B—A—D—C 的方向在矩形的边上运动,运动到 点 C 停止.点 M 为图 1 中的某个定点,设点 P 运动的路程为 x,△BPM 的面积为 y,表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示.那么,点 M 的位置可能是图 1 中的(
A D 2 P B 图1 O E C O 2 图2 6 8 x y



F

A.点 C

B. 点 E

C. 点 F

D. 点 O

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
11. 函数 y ?

1 的自变量 x 的取值范围是 x ?3


D G

12. “今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里 A 有木,问:出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》 , 意思是说:如图,矩形城池 ABCD,城墙 CD 长 里,城墙
F E

BC 长 里,东门所在的点 E,南门所在的点 F 分别是 CD, B

H

C

的中点,EG⊥CD,EG=15 里,FH⊥BC, 点 C 在 HG 上,问 FH 等于多少里?答案 是 FH 里.

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13. 四边形 ABCD 中,已知∠A=∠B = ∠C = 90°,再添加一个条件,使得四边形 ABCD 为正方形,可添加的条件是 (答案不唯一,只添加一个即可). 14. 五子棋的比赛规则是一人执黑子,一人执白子, 两人轮流出棋,每次放一个棋子在棋盘的格点 处,只要有同色的五个棋子先连成一条线(横、 竖、斜均可)就获得胜利.如图是两人正在玩的 一盘棋,若白棋 A 所在点的坐标是(-2,2) , 黑棋 B 所在点的坐标是(0,4) ,现在轮到黑棋走,黑棋放到点 C 的位置就获得胜利, 点 C 的坐标是 .

B A

C

15. 已知一次函数 y ? kx ? b 的图象经过第一、三、四象限,请你赋予 k 和 b 具体的数值, 写出一个符合条件的表达式 16.阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:过直线外一点作已知直线的平行线. 已知:直线 l 及其外一点 A. 求作:l 的平行线,使它经过点 A. .

A l

小云的作法如下: (1)在直线 l 上任取两点 B,C; (2)以 A 为圆心,以 BC 长为半径作弧; 以 C 为圆心,以 A B 长为半径作弧, 两弧相交于点 D; (3)作直线 AD. 直线 AD 即为所求.

A

D

B

C

l

老师说: “小云的作法正确. ”请回答:小云的作图依据是 _______________

______ __ _________________ .

三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第
29 题 8 分)

17. 证明:如果

a c a?b c?d ? ,那么 ? . b d a c

A D

第 3 页(共 16 页)

E B C

18. 如图,△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且满足 AB ? AD ? AE ? AC ,连接
DE 求证:∠ ABC = ∠AED.

19. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y ? kx ? b 的图象与 轴交点为 交点为 ,且与正比例函数 y ?

,与 轴

4 x 的图象的交于点 3



(1) 求 m 的值及一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)若点 P 是 y 轴上一点,且△BPC 的面积为 6,

请直接写出点 P 的坐标.

20. 如图,E,F 是□ABCD 的对角线 AC 上两点,且 AE=CF,请你写出图中的一对全等 三角形并对其进行证明.
A E F C D

21. 如图, 已知直线 AB 的函数表达式为 y ? 2 x ? 10 , 与 x 轴交点为 A, 与 y 轴交点为 B. (1) 求 A , B 两点的坐标; (2) 若点 P 为线段 AB 上的一个动点,作 PEy 轴于点 E,PFx 轴于点 F,连接 EF.是 否存在点 P,使 EF 的值最小?若存在,求出 EF 的最小值;若不 存在,请说明理由.

y B

P

E

A

F

O

x

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22. 如图,延长△ABC 的边 BC 到 ,使 点 .求 EC∶AC 的值.

.取

的中点 ,连接





23. 2016 年 4 月 12 日,由国家新闻出版广电总局和北京市人民政府共同主办的“2016 书 香中国暨北京阅读季”启动仪式于在我区良乡体育馆隆重举行. 房山是北京城发展的源头, 历史源远流长,文化底蕴深厚. 启动仪式上,全国书香家庭及社会各界代表,与我区近 2000 名中小学师生一起,在这传统文化与现代文明交相辉映的地方,吟诵经典篇章,倡导全面阅 读. 为了对我区全民阅读状况进行调查和评估, 有关部门随机抽取了部分市民进行每天阅读 时间情况的调查, 并根据调查结果制做了如下尚不完整的频数分布表 (被调查者每天的阅读 时间均在 0~120 分钟之内):
阅读时间 x(分 钟) 频数 频率 450 0.45 400 0.4 m 0.1 50 n 0≤x<30 30≤x<60 60≤x<90 90≤x≤120

(1) 表格中,m=

;n=

;被调查的市民人数为

.

(2) 补全下面的频数分布直方图;

部分市民每天阅读时间频数分布直方图
频数 500 400 300 200 100 x O 30 60 90 120 时间(分钟)
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y

(3) 我区目前的常住人口约有 103 万人,请估计我区每天阅读时间在 60~120 分钟 的市 民大约有多少万人?

24. 某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划利用这两种原料生产 A、B 两 种产品共 50 件.已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克,可获利润 700 元;生产一件 B 种产品需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克,可获利润 1200 元. 设生产 A 种产品的生产件数为 x, A、B 两种产品所获总利润为 y (元) (1)试写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)求出自变量 x 的取值范围; (3)利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

25.在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象:

y = 1-x,y = x+1 和 y = 3x-1 (1)求 y=1-x 和 y=3x-1 的交点 A 的坐标; (2)根据图象填空: ① 当x ② 当x 时 3x-1>x+1; 时 1-x>x+1;

(3)对于三个实数 a,b,c,用 max ?a, b, c? 表示 这三个数中最大的数,如 max ??1, 2,3? =3,

? 2 (当a ? 2时) max ??1, 2, a? ? ? , ? a (当a > 2时)
请观察三个函数的图象,直接写出 max ?1 ? x, x ?1,3x ?1 ? 的最小值.
第 6 页(共 16 页)

26.小东根据学习一次函数的经验,对函数 y ? 2 x ? 1 的图象和性质进行了探究.下面是小 东的探究过程,请补充完成: (1)函数 y ? 2 x ? 1 的自变量 x 的取值范围是 (2)已知:①当 x ? ;

1 1 时, y ? 2 x ?1 ? 0; ②当 x> 时, y ? 2x ?1 ? 2x ?1 2 2 1 ③当 x< 时, y ? 2x ?1 ? 1-2x ;显然,②和③均为某个一次函数的一部分. 2

(3)由(2)的分析,取 5 个点可画出此函数的图象,请你帮小东确定下表中第 5 个点的坐 标(m,n) ,其中 m= ;n= ; :

x

… 2



0

1 2

1

m



y



5

1

0

1
7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

n
y



(4)在平面直角坐标系 xOy 中, 做出函数 y ? 2 x ? 1 的图象: (5)根据函数的图象,写出函数 y ? 2 x ? 1 的一条性质 0.

O

1

2

3

4

–1 –2 –3 –4 –5 –6

27. 四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 边的中点,顺次连接各边 –7 中点得到的新四边形 EFGH 称为中点四边形. (1)我们知道:无论四边形 ABCD 怎样变化,它的中点四边形 EFGH 都是平行四边形.特 殊的: ①当对角线 AC=BD 时,四边形 ABCD 的中点四边形为
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形;

②当对角线 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 的中点四边形是

形.

(2)如图:四边形 ABCD 中,已知∠B=∠C = 60°,且 BC=AB+CD,请利用(1)中的结 论,判断四边形 ABCD 的中点四边形 EFGH 的形状并 进行证明 A.
E B H D G A E B H D E G C A H D G B C

F 28. 在学习了正方形后,数学小组的同学对正方形进 图1 图2

C

F

F 图3

行了探究,发现: (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 边上任意一点(点 E 不与 B、C 重合), 点 F 在线段 AE 上,过点 F 的直线 MN⊥AE,分别交 AB、CD 于点 M、N . 此时, 有结论 AE=MN,请进行证明; (2)如图 2:当点 F 为 AE 中点时,其他条件不变,连接正方形的对角线 BD, MN 与 BD 交于点 G,连接 BF,此时有结论:BF= FG,请利用图 2 做出证明. (3)如图 3:当点 E 为直线 BC 上的动点时,如果(2)中的其他条件不变,直线 MN 分别交直线 AB、CD 于点 M、N,请你直接写出线段 AE 与 MN 之间的数量关系、线段 BF 与 FG 之间的数量关系.
A F M D N A G F D N F M E G N C A D

M

B

E

C

B

E

C

B

图1

图2

图3

29. 如图所示,将菱形 ABCD 放置于平面直角坐标系中,其中 AB 边在 为 . 直线 m: y ? ?

轴上 点 C 坐标

4 x ? 3 经过点 B ,将该直线沿着轴以每秒 个单位的速度向上 3
y

平移,设平移时间为

经过点 D 时停止平移. ,

(1)填空:点 D 的坐标为 (2)设平移时间为 t ,求直线 m 经过点 A、C、D 的时间 t; (3)已知直线 m 与 BC 所在直线互相垂直,

D 4 y= x 3 3 A
x

第 8 页(共 16 页)

O

C

B

在平移过程中,直线 m 被菱形



得线段的长度为 l,请写出 l 与平移时间 函数关系表达式(不必写出详细的解答 过程,简要说明你的解题思路,写清结果即可).

房山区 2015—2016 学年度第二学期终结性检测试题 八年级数学参考答案及评分标准

一、 选择题(本题共 30 分,每小题 3 分): 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

A

A

B

D

C

A

B

C

D

二、 填空题(本题共 18 分,每小题 3 分): 11.

x ? 3;

12. 1.05 ;

13. AB= BC(或 BC = CD、CD = AD、AD =

AB、AC⊥BD) ; 14. (3,3) ; 15. 此题答案不唯一,表达式中的 k,b 满足 k>0,b<0 即可;

16. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;平行四边形对边平行;两点确定一条 直线.(此题答案不唯一, 能够完整地说明依据且正确即可) 三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分): 17. 证明: ∵ 1分 ∴ dk, ∴ a = bk , ???????2 分 c =

a c a c ? , 可设 ? =k , b d b d

???????

a ? b bk ? b b ? k ? 1? ? ? ? k ?1, b b b c ? d dk ? d d ? k ? 1? ? ? ? k +1, d d d

?????

??4 分 ∴

第 9 页(共 16 页)

a?b c?d ? . b d
18. 证明:∵ AB·AD =AE·AC ∴

???????5 分

AB AC ? AE AD

A
???????2 分

又∵ ∠A=∠A ∴△ABC ∽△AED ∴∠ABC=∠AED ???????4 分 ???????5 分

D

E

B

C

19. 解:(1)∵ 点 C(m,4)在正比例函数 y ? ∴ 4= 分

4 x 的图象上, 3

4 ·m, m ? 3 3

即点 C 坐标为(3,4). ???????1

∵ 一次函数 y ? kx ? b 经过 A(-3,0)、点 C(3,4) ∴

?0 ? ?3k ? b ? ?4 ? 3k ? b

2 ? k? 解得: ? 3 ? ? b ? 2 ?

???????2 分

∴ 一次函数的表达式为 y ?

2 x?2 3

???????3 分 ???????5 分

(2) 点 P 的坐标为(0, 6)、(0,-2)

20. △ADE ≌ △CBF (或△ABF ≌ △CDE,△ABC ≌ △ CDA) ???????1 分 证明:∵ □ABCD ∴ AD∥BC, AD = BC ∴∠DAE=∠BCF 在△ADE 和 △CBF 中 ???????3 分 ???????4 分
A E F B C D

? AD ? CB ? ??DAE ? ?BCF ? AE ? CF ?
∴ △ADE ≌ △CBF ???????5 分

注:本题只呈现一种答案,其他正确解答请酌情相应给分

21. 解:(1)∵ 一次函数 y ? 2 x ? 10 令 x = 0,则 y = 10;令 y = 0,则 x = -5
第 10 页(共 16 页)

∴ 点 A 坐标为(-5,0),点 B 坐标为(0,10)???????2 分 (2) 存在点 P 使得 EF 的值最小,理由为: ∵ PE⊥ y 轴于点 E,PF⊥ x 轴于点 F, ∴ 四边形 PEOF 是矩形,且 EF=OP ∵ O 为定点,P 在线段上 AB 运动, ∴ 当 OP⊥AB 时,OP 取得最小值,此时 EF 最小. ???????4 分 ∵ 点 A 坐标为(-5,0),点 B 坐标为(0,10) ∴ OA=5,O B=10,由勾股定理得:AB= 5 5 ∵ ∠AOB= 90 ,OP⊥AB ∴ △AOB ∽ △OPB ∴
P E y B

???????3 分

y B

AO AB ? OP OB

A

F

O

x

P A

O

x

∴OP= 2 5 , 即存在点 P 使得 EF 的值最小,最小值为 2 5 .???????5 分

22. 解:取 BC 中点 G,则 CG= 又∵F 为 AB 中点, ∴ FG∥AC,且 FG =

1 BC,连接 GF, 2

???????1 分

1 AC 2

???????2 分
A

即 EC∥FG ∴ △DEC ∽△DFG ∴ EC ? DC FG DG ∵ CG = ???????3 分
F E

1 BC,DC = BC 2

B

G

C

D

设 CG = k,那么 DC = BC = 2k,DG = 3k ∴ EC ? DC ? 2 即 EC ? 2 FG ???????4 分 FG DG 3 3 ∵ FG =

1 AC 2
1 AC 即 EC ∶AC = 1∶3 ???????5 分 3
???????

∴ EC ?

23. (1)m= 100 ,n= 0.05 ;被调查的市民人数为 1000 人. 3分 (2)
第 11 页(共 16 页)

???????4 分

(3)103×0.15=15.45 估计我区每天阅读时间在 60 ~120 分钟 的市民大约有 15.45 万 人. ???????5 分

24.解:(1)设生产 A 种产品的件数为 x,则生产 B 种产品的件数为(50-x) 生产 A、B 两种产品所获总利润为: y ? 700 x ? 1200(50 ? x) 即: y ? 60000 ? 500 x (2)由已知可得: ? ???????1 分 ???????3 分

?9 x ? 4(50 ? x) ? 360 ?3x ? 10(50 ? x) ? 290

解这个不等式组得: 30 ? x ? 32 ∵x 为整数 ∴x = 30,31,32 ???????4 分

(3)∵ y ? 60000 ? 500 x , 一次项系数 k=-500 < 0 ∴y 随 x 增大而减小,当 x 取最小值 30 时,y 最大,此时 y = 45000 ∴生产 A 种产品 30 件时总利润最大,最大利润是 45000 元, ???????5 分 25. .解: (1) ?? 1分

? y ? 1? x ? y ? 3x ? 1

???????

1 ? x? ? ? 2 解得 ? ?y ? 1 ? ? 2

∴y = 1-x 和 y = 3x-1 的交点 A 的坐标为(

1 , 2

1 ) ?????2 分 2
( 2 )





x



1



3x - 1



x+1

???????3 分
第 12 页(共 16 页)

② 1+x



x



0



1 -

x



???????4 分

(3) max ?1 ? x, x ?1 , 3x ?1? 的最小值是 1 .

???????5 分

26. (1)函数 y ? 2 x ? 1 的自变量 x 的取值范围是 全体实数 ;???????1 分 (3)m、n 的取值不唯一,符合 n ? 2m ? 1 即可. (4)图象略; (要求描点、连线正确) (5)答案不唯一,符合函数 y ? 2 x ? 1 的性质均可. ???????2 分 ???????4 分 ???????5 分

27.(1) ①当对角线 AC = BD 时,四边形 ABCD 的中点四边形是 菱 形; ???????1 分 ②当对角线 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 的中点四边形是 矩 形. ???????2 分 (2)四边形 ABCD 的中点四边形 EFGH 是菱形. 理由如 下: ???????3 分 分别延长 BA、CD 相交于点 M,连接 AC、 BD ???????4 分 ∵ ∠ABC =∠BCD = 60° , ∴ △BCM 是等边三角形,
E A H D G B F C M

∴ MB = BC = CM,∠M= 60° ∵ BC = AB+CD ∴ MA + AB = AB + CD = CD + DM ∴ MA = CD,DM = AB ∵ ∠ABC =∠M= 60° ∴ △ABC ≌ △DMB ???????6 分 ???????5 分

AC ? DB
∴ 四边形 ABCD 的对角线相等,中点四边形 EFGH 是菱 形. ???????7 分

28. 证明:(1)在图 1 中,过点 D 作 PD∥MN 交 AB 于 P,则∠APD=∠ AMN ???????1 分
第 13 页(共 16 页)

∵ 正方形 ABCD ∴ AB = AD,AB∥DC,∠DAB =∠B = 90° ∴ 四边形 PMND 是平行四边形且 PD = MN ∵ ∠B = 90° ∴∠BAE+∠BEA= 90° ∵MN⊥AE 于 F, ∴∠BAE+∠AMN = 90° ∴∠BEA =∠AMN =∠APD 又∵AB = AD,∠B =∠DAP = 90° ∴△ABE ≌ △DAP ∴ AE = PD = MN ???????2 分 ???????3 分
B E 图1 C A P M F D N

(2)在图 2 中连接 AG、EG、CG

由正方形的轴对称性 △ABG ≌ △CBG ∴ AG = CG,∠GAB=∠GCB ∵ MN⊥AE 于 F,F 为 AE 中点 ∴ AG = EG ∴ EG = CG,∠GEC=∠GCE ∴ ∠GAB=∠GEC 由图可知∠GEB+∠GEC=180° ∴ ∠GEB+∠GAB =180° 又∵四边形 ABEG 的内角和为 360° ,∠ABE= 90° ∴ ∠AGE = 90° ???????4 分
B E 图2 C M A G F D N

在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中,AE 为斜边,F 为 AE 的中点, ∴BF=

1 1 AE, FG= AE 2 2
???????5 分

∴BF= FG

(3)AE 与 MN 的数量关系是:AE= MN ???????6 分 BF 与 FG 的数量关系是: BF= FG ???????7 分

29. (1)点 D 的坐标为 (4,5) . ???????1 分 (2)解:∵ y ? ?

4 x?3 3

∴B(0,-3),OB=3

∵C(4,0) ∴OC=4,由勾股定理 BC= 5,即菱形边长是 5,点 A(0, 2) 直线 m: y ? ?

4 x ? 3 从点 B(0,-3)开始沿着 y 轴向上平移, 3
第 14 页(共 16 页)

设平移过程中直线 m 的函数表达式为 y ? ? 则 BM=t 当直线 m: y ? ?

4 x ? b ,直线 m 与 y 轴交点为 M, 3

4 x ? b 经过点 A(0,2)时: 3

M 与 A 重合,t = BM = BA = 5; ???????2 分 当直线 m: y ? ?

4 x ? b 经过点 C(4,0)时: 3 4 16 16 25 y ?? x? , 此时 M 坐标为 ( 0, ) , t = BM = ; ??????? 3 3 3 3 4 x ? b 经过点 D(4,5)时: 3 4 31 31 40 y ?? x? , 此时 M 坐标为 (0, ) , t= BM = ???????y 3 3 3 3

3分 当直线 m: y ? ?

4分
D

(3)① 当 0≤t≤5 时,如图 1:设直线 m 交 y 轴于 M, 交 BC 于 N,则 l= MN,BM=t ∵在平移过程中直线 m 与 BC 所在直线互相垂直 显然△BNM ∽△BOC, MN ? BM OC BC ∵OC=4,BC= 5 ∴ l= MN=
图1 A M O N B C
x

4 t 5

???????5 分
y

② 当 5<t≤

25 时,设直线 m 交 y 轴于 M,交 BC 于 N, 3
M A O E B 图2
y

交 AD 于 P,此时:l= NP,BM = t 过 A 点作 AE⊥BC 于 E,则 AE = PN = l. 此时 △AEB ≌ △COB , AE = OC = 4 ∴l = 4 ③ 当 ???????6 分

D P
x

N

C

25 40 <t≤ 时,设直线 m 交 y 轴于 M,交 AD 于 P, 3 3

交 CD 于 N,此时:l= PN,BM = t,MA= t-5 过 N 点作 NF∥BC 交 y 轴于 F,则 FN = BC = 5.

M P D A O F B 图3 C N
x

20 由△MFN ∽ △CBO,得 MN ? FN , MN= ; 3 OC BO 4 由△MAP∽△CBO,得 MP ? MA , MP= ? t -5 ? 5 CO CB
第 15 页(共 16 页)

l= PN = MN-MP=

32 4 ? t 3 5

??????7 分

? ? ? 综上所述: l ? ? ? ? ? ? ?

4 t 5 4

(当0 ? t ? 5时) (当5 < t ?
???????8 分

25 时) 3 32 4 25 40 ? t(当 < t ? 时) 3 5 3 3

以上各题均只给出一种答案,其他正确解答请酌情相应给分.

第 16 页(共 16 页)


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