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福建省宁德市2017届高三数学一模试卷(理科) Word版含解析


2017 年福建省宁德市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知全集 U=R,集合 A={x∈N|x2﹣6x+5≤0},B={x∈N|x>2},图中阴影部分 所表示的集合为( )

A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1} D.{0,1} 2.在复平面内,复数 z= (i 为虚数单位)对应点的坐标是( )

A. (1,4) B. (4,﹣1) C. (4,1) D. (﹣1,4) 3. (﹣ + )10 的展开式中 x2 的系数等于( C.﹣45 D.﹣90 ,则 的取值范围是( ) )

A.45 B.﹣20

4.已知变量 x,y 满足约束条件 A. B.

C. (﹣∞,3]∪[6,+∞) D.[3,6] ) 图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变) , 个单位长度,则所得图象的一个对称中心是

5. 若将函数 y=sin (6x+

再将所得图象沿 x 轴向右平移 ( A. ( ) ,0) B. ( ,0)

C. (

,0)

D. (

,0) )

6.若数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3a4﹣6,则 S9 等于( A.54 B.50 C.27 D.25

7. x2+y2﹣2x+4y=0 关于直线 3x﹣ay﹣11=0 对称, 已知圆 C: 则圆 C 中以 ( , ﹣ ) 为中点的弦长为( A.1 B.2 C.3 ) D.4 )

8.执行如图所示的程序框图,若输入 t 的值为 5,则输出的 s 的值为(

A.

B.

C.

D.

9.若从区间(0,e) (e 为自然对数的底数,e=2.71828…)内随机选取两个数,则 这两个数之积小于 e 的概率为( A. B. C.1﹣ D.1﹣ 的图象大致为( ) )

10.函数 f(x)=

A.

B.

C.

D.

11. SO⊥底面 ABC, 已知三棱椎 S﹣ABC 的各顶点都在一个球面上, 球心 O 在 AB 上, 球的体积与三棱锥体积之比是 4π,AC= A.π B.2π C.3π D.4π ,若方程 f(f(x) )﹣2=0 恰有三个实数根, ) ,则该球的表面积等于( )

12.已知函数 f(x)= 则实数 k 的取值范围是(

A.[0,+∞) B.[1,3] C. (﹣1,﹣ ] D.[﹣1,﹣ ]

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设向量 =(﹣1,2) , =(m,1) ,如果向量 +2 与 2 ﹣ 平行,则 + = 14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . .

15.已知双曲线 x2﹣

=1 的左右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 的直线交双曲线右支 . ,

于 A、B 两点,若△ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰三角形,则实数 m 的值为 16.数列{an}满足 a1+a2+a3+…an=2n﹣an(n∈N+) .数列{bn}满足 bn= 则{bn}中的最大项的值是 .

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 B= ,且△ABC 的面积为 4 ,求 BC 边上的中线 AM 的大小. = .

18.某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩,将全班同学的成绩做出了频数 与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 频数 频率 3 m 13 p 0.06 0.10 n q

[90,100] 总计

9 t

0.18 1

(1)求表中 t,q 及图中 a 的值; (2)该教师从这次考试成绩低于 70 分的学生中随机抽取 3 人进行面批,设 X 表 示所抽取学生中成绩低于 60 分的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=60°,∠A1AC=∠A1AB,AA1=AB=AC=2, 点 O 是 BC 的中点. (1)求证:BC⊥平面 A1AO; (2)若 A1O=1,求直线 BB1 与平面 A1C1B 所成角的正弦值.

20.已知椭圆 E: 0) .

+

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,且一个焦点为 F1(﹣1,

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 PA、PB、PC 为椭圆 E 的三条弦,PA、PB 所在的直线分别与 x 轴交于点 M, N,且|PM|=|PN|,PC∥AB,求直线 PC 的方程. 21.已知函数 f(x)=alnx+x2﹣4x(a∈R) . (1)讨论函数 f(x)的单调区间; (2)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x2>x1>0)是曲线 y=f(x)上的两点,x0= ,

问:是否存在 a,使得直线 AB 的斜率等于 f′(x0)?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由.

四、选做题: (选修 4-4:坐标系与参数方程) (请考生在第 22、23 两题中任选一 题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 ) (共 1 小题,满分 10 分) 22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴 为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 数) . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实 数 m 的值. (t 为参

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为 m. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=m,求证: + + ≥3.

2017 年福建省宁德市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知全集 U=R,集合 A={x∈N|x2﹣6x+5≤0},B={x∈N|x>2},图中阴影部分所表示的集 合为( )

A.{0,1,2}

B.{1,2}

C.{1} D.{0,1}

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A,根据集合的运算求解即可. 【解答】解:由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A ∵全集 U=R,B={x∈N|x>2}, ∴CUB={x∈N|x≤2}={0,1,2}
2 ∵集合 A={x∈N|x ﹣6x+5≤0}=A={x∈N|1≤x≤5}={1,2,3,4,5}

∴(CUB)∩A={1,2} 故选:B.

2.在复平面内,复数 z= A. (1,4) B. (4,﹣1)

(i 为虚数单位)对应点的坐标是( C. (4,1) D. (﹣1,4)



【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案. 【解答】解:∵z= = ,

∴在复平面内,复数 z 对应点的坐标是: (4,1) . 故选:C.

3. (﹣ A.45

+ ) 的展开式中 x 的系数等于( B.﹣20 C.﹣45 D.﹣90

10

2



【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用通项公式即可得出. 【解答】解: (﹣
r

+ )

10

的展开式中通项公式: Tr+1=

=(﹣1 ) 10﹣

, =2,解得 r=2. =45.

令 5﹣

x2 的系数= 故选:A.

4.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 的取值范围是(



A.

B.

C. (﹣∞,3]∪[6,+∞) D.[3,6]

【考点】简单线性规划的应用. 【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件 ,

画出满足约束条件的可行域,分析 表示的几何意义,结合图象即可给出 的取值范围.

【解答】解:约束条件

对应的平面区域如下图示:

三角形顶点坐标分别为(1,3) 、 (1,6)和(

) ,

表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率, 当(x,y)=(1,6)时取最大值 6, 当(x,y)=( 故 的取值范围是 故选 A. )时取最小值 ,

5.若将函数 y=sin(6x+ 得图象沿 x 轴向右平移 A. ( ,0) B. (

)图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,再将所 个单位长度,则所得图象的一个对称中心是( ,0) C. ( ,0) D. ( ,0) )

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得函数的解析式为 y═sin2x,再由 正弦函数的图象的对称性,求得所得函数的一个对称中心. 【解答】 解: 将函数 y=sin (6x+ (2x+ )的图象, 个单位长度,所得函数的解析式为 y=sin[2(x﹣ ,k∈z,故所得函数的对称中心为( ,0) , )+ ]=sin2x. ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍, 可得函数 y=sin

再把图象向右平移

令 2x=kπ,k∈z,求得 x=

,0) ,k∈z,

当 k=1 时,函数的一个对称中心是( 故选:D.

6.若数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3a4﹣6,则 S9 等于( A.54 B.50 C.27 D.25



【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】数列{an}为等差数列,用 a2 把 a4 表示出来,化简可得 a5=3,根据 S9= ×a5 可得答案 =9

【解答】解:由题意,数列{an}为等差数列,设公差为 d,a4=a2+2d, 可得:a2=3(a2+2d)﹣6, ∴2a2+6d﹣6=0. ∴a2+3d=3,即 a5=3, 那么 S9= 故选:C. =9×a5=27.

7.已知圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 关于直线 3x﹣ay﹣11=0 对称,则圆 C 中以( ,﹣ )为中点 的弦长为( A.1 B.2 ) C .3 D.4

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由已知直线 3x﹣ay﹣11=0 过圆心 C(1,﹣2) ,从而得到 a=4,点(1,﹣1)到圆心 C(1,﹣2)的距离 d=1,圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 的半径 r= 为中点的弦长.
2 2 【解答】解:∵圆 C:x +y ﹣2x+4y=0 关于直线 3x﹣ay﹣11=0 对称,

,由此能求出圆 C 中以( ,﹣ )

∴直线 3x﹣ay﹣11=0 过圆心 C(1,﹣2) , ∴3+2a﹣11=0,解得 a=4, ∴( ,﹣ )=(1,﹣1) , 点(1,﹣1)到圆心 C(1,﹣2)的距离 d=
2 2 圆 C:x +y ﹣2x+4y=0 的半径 r=

=1, , =2 =4.

=

∴圆 C 中以( ,﹣ )为中点的弦长为:2 故选:D.

8.执行如图所示的程序框图,若输入 t 的值为 5,则输出的 s 的值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 t=5,可得:进入循环的条件为 k<5,即 k=2,3, 4,模拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值. 【解答】解:模拟执行程序,可得 t=5,s=1,k=2 满足条件 k<t,执行循环体,s=1+ = ,k=3 满足条件 k<t,执行循环体,s= ﹣ = ,k=4 满足条件 k<t,执行循环体,s= + = ,k=5 .

不满足条件 k<t,退出循环,输出 s 的值为 故选:D.

9.若从区间(0,e) (e 为自然对数的底数,e=2.71828…)内随机选取两个数,则这两个数之 积小于 e 的概率为( )

A.

B.

C.1﹣ D.1﹣

【考点】几何概型.

【分析】由题意,

,区域面积为 e ,这两个数之积小于 e,

2

,区域面积

为 e+

=2e,即可得出结论.
2

【解答】解:由题意,

,区域面积为 e ,

这两个数之积小于 e,

,区域面积为 e+

=2e,

∴这两个数之积小于 e 的概率为 , 故选 A.

10.函数 f(x)=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】求出函数的定义域,排除选项,利用特殊值判断求解即可. 【解答】解:函数 f(x)= 当 x=﹣1 时,f(﹣1)= 当 x=2 时,f(2)= 故选:A. 的定义域为:x≠1;排除 D, >0,排除 B. >0,排除 C;

11.已知三棱椎 S﹣ABC 的各顶点都在一个球面上,球心 O 在 AB 上,SO⊥底面 ABC,球的体 积与三棱锥体积之比是 4π,AC= A.π B.2π C.3π D.4π ,则该球的表面积等于( )

【考点】球的体积和表面积. 【分析】根据圆的性质求出△ABC 的面积,代入体积公式分别计算棱锥和球的体积. 【解答】解:∵球心 O 在 AB 上,∴AC⊥BC,AB=2r,∴BC= ∵SO⊥底面 ABC, ∴V 棱锥= S△ABC?OS= ∵球的体积与三棱锥体积之比是 4π, ∴ : =4π, . .

∴r=1,球的表面积 S=4π. 故选 D.

12.已知函数 f(x)= 的取值范围是( A.[0,+∞) ) B.[1,3]

,若方程 f(f(x) )﹣2=0 恰有三个实数根,则实数 k

C. (﹣1,﹣ ]

D.[﹣1,﹣ ]

【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 【分析】令 f(t)=2,解出 t,则 f(x)=t,讨论 k 的符号,根据 f(x)的函数图象得出 t 的 范围即可. 【解答】解:令 f(t)=2 得 t=﹣1 或 t=﹣ (k≠0) . ∵f(f(x) )﹣2=0,∴f(f(x) )=2, ∴f(x)=﹣1 或 f(x)=﹣ (k≠0) . (1)当 k=0 时,做出 f(x)的函数图象如图所示:

由图象可知 f(x)=﹣1 无解,即 f(f(x) )﹣2=0 无解,不符合题意; (2)当 k>0 时,做出 f(x)的函数图象如图所示:

由图象可知 f(x)=﹣1 无解,f(x)=﹣ 无解,即 f(f(x) )﹣2=0 无解,不符合题意; (3)当 k<0 时,做出 f(x)的函数图象如图所示:

由图象可知 f(x)=﹣1 有 1 解,

∵f(f(x) )﹣2=0 有 3 解,∴f(x)=﹣ 有 2 解, ∴1 ,解得﹣1<k≤﹣ .

综上,k 的取值范围是(﹣1,﹣ ]. 故选 C.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设向量 =(﹣1,2) , =(m,1) ,如果向量 +2 与 2 ﹣ 平行,则 + = 【考点】平行向量与共线向量. 【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出. 【解答】解: +2 =(2m﹣1,4) ,2 ﹣ =(﹣2﹣m,3) , .

∵ +2 与 2 ﹣ 平行,∴4(﹣2﹣m)﹣3(2m﹣1)=0, 解得 m=﹣ , 则 + = 故答案为: . .

14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图知,该几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体; 结合图中数据,计算它的体积即可. 【解答】解:根据几何体的三视图知, 该几何体是下部为直三棱柱,上部为三棱锥的组合体;

且组合体的底面为直角三角形, 根据图中数据,计算组合体的体积为 V 组合体=V 三棱柱+V 三棱锥 = ×2×1×1+ × ×2×1×1 = . 故答案为: .

15.已知双曲线 x2﹣

=1 的左右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 的直线交双曲线右支于 A、B 两 .

点,若△ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰三角形,则实数 m 的值为 4﹣2 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】由题意可知丨 AF2 丨=m,丨 AF1 丨=2+丨 AF2 丨=2+m,由等腰三角形的性质即可求得 4= (2+m) ,丨 AF2 丨=m=2( ﹣1) ,丨 AF1 丨=2 ,由三角的面积公式,即可求得△AF1F2

的面积. 【解答】解:双曲线 x ﹣
2

=1 焦点在 x 轴上,a=1,2a=2,

设丨 AF2 丨=m,由丨 AF1 丨﹣丨 AF2 丨=2a=2, ∴丨 AF1 丨=2+丨 AF2 丨=2+m, 又丨 AF1 丨=丨 AB 丨=丨 AF2 丨+丨 BF2 丨=m+丨 BF2 丨, ∴丨 BF2 丨=2,又丨 BF1 丨﹣丨 BF2 丨=2, 丨 BF1 丨=4, 根据题意丨 BF1 丨= 丨 AF1 丨=2 , ﹣1)×2 =4﹣2 , 丨 AF1 丨,即 4= (2+m) ,m=2( ﹣1) ,

△AF1F2 的面积 S= ?丨 AF2 丨?丨 AF1 丨= ×2( △AF1F2 的面积 4﹣2 故答案为:4﹣2 . ,

16.数列{an}满足 a1+a2+a3+…an=2n﹣an(n∈N+) .数列{bn}满足 bn=

,则{bn}中

的最大项的值是



【考点】数列递推式. 【分析】由已知数列递推式可得,数列{an﹣2}构成以 为公比的等比数列,求出其通项公式 后代入 bn= ,再由数列的函数特性求得{bn}中的最大项的值.

【解答】解:由 a1+a2+a3+…an=2n﹣an,得 Sn=2n﹣an, 取 n=1,求得 a1=1; 由 Sn=2n﹣an,得 Sn﹣1=2(n﹣1)﹣an﹣1(n≥2) , 两式作差得 an=2﹣an+an﹣1,即 又 a1﹣2=﹣1≠0, ∴数列{an﹣2}构成以 为公比的等比数列, 则 则 bn= 当 n=1 时, = , , , (n≥2) ,

,当 n=2 时,b2=0,当 n=3 时,

而当 n≥3 时,



∴{bn}中的最大项的值是 . 故答案为: .

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 B= ,且△ABC 的面积为 4 ,求 BC 边上的中线 AM 的大小. = .

【考点】正弦定理. 【分析】 (I) = ,利用正弦定理化为 2sinBcosA﹣ sinCcosA= sinAcosC,再利

用和差公式即可得出. (II)A=B= ,可得 C= .a=b, sin =4 ,解得 a.c=2bcos .在△ABM 中,

由余弦定理即可得出. 【解答】解: (I)∵ 化为:2sinBcosA= ∴cosA= ∴A= . ,∴C= sin =4 . ﹣2× cos =28. =4 . ,解得 a=4=b. = sin(C+A)= ,∴2sinBcosA﹣ sinB,sinB≠0. sinCcosA= sinAcosC,

,A∈(0,π) .

(II)A=B= ∴a=b, ∴c=2bcos

2 在△ABM 中,由余弦定理可得:AM =

∴AM=2



18.某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩,将全班同学的成绩做出了频数与频率的统 计表和频率分布直方图. 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 总计 频数 3 m 13 p 9 t 频率 0.06 0.10 n q 0.18 1

(1)求表中 t,q 及图中 a 的值; (2)该教师从这次考试成绩低于 70 分的学生中随机抽取 3 人进行面批,设 X 表示所抽取学 生中成绩低于 60 分的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出. (2)由表格可知:区间[50,60)中有 3 人,区间[60,70)中有 5 人.由题意可得:X=0,1, 2,3.则 P(X=k)= ,即可得出.

【解答】解: ( 1 )由表格可知:全班总人数 t ═ 3+5+13+9+p=50,解得 p=20,q= =0.4.a=

=50 , m=50 × 0.10=5 , n=

=0.26 ,

=0.026.

(2)由表格可知:区间[50,60)中有 3 人,区间[60,70)中有 5 人. 由题意可得:X=0,1,2,3.则 P(X=k)= ,可得 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P

(X=2)=

,P(X=3)=



随机变量 X 的分布列如下: X P 数学期望 EX=0× +1× +2× +3× = . 0 1 2 3

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=60°,∠A1AC=∠A1AB,AA1=AB=AC=2,点 O 是 BC 的中点. (1)求证:BC⊥平面 A1AO; (2)若 A1O=1,求直线 BB1 与平面 A1C1B 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连接 A1C,证明 BC⊥A1O,OA⊥BC,即可证明 BC⊥平面 A1AO; (2)若 A1O=1,求出 B1 到平面 A1BC1 距离,即可求直线 BB1 与平面 A1C1B 所成角的正弦值. 【解答】 (1)证明:连接 A1C,则 ∵∠A1AC=∠A1AB,AA1=AB=AC, ∴△A1AC=△A1AB,∴A1C=A1B, ∵点 O 是 BC 的中点, ∴BC⊥A1O, ∵AB=AC,点 O 是 BC 的中点, ∴OA⊥BC, ∵A1O∩OA=O, ∴BC⊥平面 A1AO; (2)解:由(1)可得 BC⊥A1A,∴四边形 BCC1B1 是矩形, ∴C1B=2 , , = , , = , = ,

∵A1C1=2,A1B= ∴cos∠A1BC1= ∴sin∠A1BC1= ∴ =

设 B1 到平面 A1BC1 距离为 h,则 ∴h= ,

∴直线 BB1 与平面 A1C1B 所成角的正弦值=

=



20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,且一个焦点为 F1(﹣1,0) .

(1)求椭圆 E 的方程; PB、 PC 为椭圆 E 的三条弦, PA、 PB 所在的直线分别与 x 轴交于点 M, N, (2) 若 PA、 且|PM|=|PN|, PC∥AB,求直线 PC 的方程. 【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)由椭圆过点 P(1, ) ,且一个焦点为 F1(﹣1,0) ,列出方程组,求出 a=2, b= ,由此能求出椭圆 E 的方程.

(2)设 PA:y=k(x﹣1)+ ,A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,联立

2 ,得(3+4k )

x2+4k ( ﹣ 2k+3 ) x+4k2 ﹣ 12k ﹣ 3=0 , 由 此 利 用 韦 过 定 理 , 求 出



yA =

, 用﹣k 代替 k, 得



, 从而得到 kAB= ,

再由 PC∥AB,能求出直线 PC 的方程. 【解答】解: (1)∵椭圆 E: 0) , + =1(a>b>0)过点 P(1, ) ,且一个焦点为 F1(﹣1,



,又 a>b>0,解得 a=2,b=



∴椭圆 E 的方程为

=1.

(2)由题意知直线 PA 的斜率存在, 设 PA:y=k(x﹣1)+ ,A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,

联立

2 2 2 ,得(3+4k )x +4k(﹣2k+3)x+4k ﹣12k﹣3=0,









=



∵|PM|=|PN|,∴直线 PB 的斜率为﹣k, 用﹣k 代替 k,得 , ,

=

= ,

又∵PC∥AB,∴直线 PC 的方程为 y﹣

(x﹣1) ,即 x﹣2y+2=0.

21.已知函数 f(x)=alnx+x2﹣4x(a∈R) . (1)讨论函数 f(x)的单调区间; (2)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x2>x1>0)是曲线 y=f(x)上的两点,x0= ,问:是

否存在 a,使得直线 AB 的斜率等于 f′(x0)?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求得函数的导数,讨论判别式和 a 的范围,分 a>2,0<a<2,a≤0,利用导函 数分别大于 0 和小于 0 求得 x 的范围即可得到单调区间; =f′ (2) 由题意求出 kAB 和 f′ (x0) ( ) , 由两式相等化简, 令 , 则 t>1, 则 lnt= ,

令 h(t)=lnt﹣

(t>1) ,利用导数说明该函数无零点即可说明不存在实数 a,使得直

线 AB 的斜率等于 f′(x0) .
2 【解答】解: (1)函数 f(x)=x ﹣4x+alnx 的导数为 f′(x)=2x﹣4+ = 2 令 g(x)=2x ﹣4x+a. 2 ①当△=16﹣8a≤0,即 a≥2 时,2x ﹣4x+a≥0 恒成立,可得 f′(x)≥0 恒成立,

(x>0) ,

即有 f(x)的增区间为(0,+∞) ,无减区间;
2 当△=16﹣8a>0,即 a<2,可得 2x ﹣4x+a=0 的两根为 x=1±



②当 0<a<2 时,1+ 由 f′(x)>0,可得 x>1+ 由 f′(x)<0,可得 1﹣ 即 f(x)的增区间为(1+ 减区间为(1﹣ ③当 a≤0 时,1+ ,1 +

>1﹣

>0, .

,或 0<x<1﹣ <x<1+ .

,+∞) , (0,1﹣ ) ; ≤0,

) ,

>0,1﹣ . .

由 f′(x)>0,可得 x>1+ 由 f′(x)<0,可得 0<x<1+ 即 f(x)的增区间为(1+

,+∞) ,减区间为(0,1+

) ;

(2)不存在实数 a,使得直线 AB 的斜率等于 f′(x0) . 证明如下: f(x1)=alnx1+ ,f(x2)=alnx2+ ,

=

=



函数在 x0=

处的切线的斜率 k=f′(x0)=f′(

)=





=

,得

,即

=





,则 t>1,则 lnt=



令 h(t)=lnt﹣

(t>1) ,h′(t)=



由 t>1,知 h′(t)>0, ∴h(t)在(1,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(1)=0. ∴方程 lnt= 在(1,+∞)上无解.

因此,不存在实数 a,使得直线 AB 的斜率等于 f′(x0) .

四、选做题: (选修 4-4:坐标系与参数方程) (请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如 果多做,则按所做的第一题记分。 ) (共 1 小题,满分 10 分) 22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正

半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实数 m 的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

2 【分析】 (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ,利用

可得直角

坐标方程.直线 L 的参数方程是

(t 为参数) ,把 t=2y 代入

+m 消去参数 t

即可得出.

(2)把

2 2 (t 为参数) ,代入方程:x +y =2x 化为:

+m ﹣2m=0,

2

由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|?|PB|=t1t2,即可得出.
2 x2+y2=2x. 【解答】 解: (1) 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ, 化为 ρ =2ρcosθ, 可得直角坐标方程:

直线 L 的参数方程是

(t 为参数) ,消去参数 t 可得



(2)把

2 2 (t 为参数) ,代入方程:x +y =2x 化为:

+m ﹣2m=0,

2

由△>0,解得﹣1<m<3. ∴t1t2=m ﹣2m. ∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|,
2 ∴m ﹣2m=±1, 2

解得 ∴实数 m=1

,1.又满足△>0. ,1.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为 m. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=m,求证: 【考点】不等式的证明. 【分析】 (Ⅰ)分类讨论,即可求实数 m 的值; (Ⅱ)a+b+c=3,由柯西不等式可得(a+b+c) ( + + )≥(a+b+c) ,即可证明结论.
2

+

+

≥3.

【解答】 (Ⅰ)解:x≤﹣1,f(x)=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3, ﹣1<x<2,f(x)=2x+2﹣x+2=x+4∈(3,6) , x≥2,f(x)=2x+2+x﹣2=3x≥6, ∴m=3; (Ⅱ)证明:a+b+c=3,由柯西不等式可得(a+b+c) ( ∴ + + ≥3. + +
2 )≥(a+b+c) ,


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