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2016-2017学年上学期高一期中考试数学试卷



本张试卷适合专题模块考察, 主要检测学生对于三角函数与解三角形 知识的掌握程度,难度适中,适合所有类型的考生完成,是一张不错 的考试试题,在试卷成绩的抽调(主要针对成绩优秀学生)中,最高 分:150 分,最低分:120 分,平均分:135 分,考生主要是在计算 过程中失分。 2016-2017 学年上学期高一期中考试试卷





命题人:高一数学备课组 审题人:高一数学备课组 本试卷总分值为 150 分 考试时间为 120 分钟 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.在△ ABC 中,A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于( A.1:2:3 B.1: 3 :2 ) D.2: 3 :1 )

C. 3:2:1

2.在 ?ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cos C 等于( A.

2 3

B. ?

1 3

C. ?

1 4

D. ?

2 3
? ?

3.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75 ,30 , 此时气球的高是 60 m ,则河流的宽度 BC 等于( A. 30( 3 ? 1)m C. 180( 2 ? 1)m )

B. 120( 3 ? 1)m D. 240( 3 ? 1)m )

4.在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 3a cos B ? b sin A ? 0 , 则 B= ( A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

5.△ ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=60°,则 cosC=( A.

) D.

3 3

B. ?

6 3

C. -

6 3

6 3


6.若 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) (? ? 0) 的最小正周期为 ? , f (0) ? 2 ,则(

A. f ( x) 在 (? , ) 单调递增 4 4

? ?

B. f ( x) 在 (? , ) 单调递减 4 4

? ?

第 1 页 共 9 页

C. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 2 7.. 函 数 y ? sin(2 x ?
( A. )

?

?

3

) 与 y ? cos(2 x ?

2? ) 的 图象 关于 直线 x ? a 对 称 ,则 a 可 能 是 3

D. f ( x) 在 (0, ) 单调递减 2

?

?
24

B.

? 12

C.

? 8

D.

11? 24

8. 若 0<?< ( A. )

?
2

,-

?

? 1 ? ? ? 3 ,则 cos(? ? ) ? <?<0 , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? 2 4 3 2 4 2 3

3 3

B. ?

3 3

C.
) B. cos D. sin

5 3 9

D. ?

6 9

9.下列不等式中,正确的是(

5? 3? ? tan A. tan 4 5
C. sin(? ? 1) ? sin 1? 10.函数 y ? log 1 sin(2 x ?
2

?

7? 2? ? cos( ? ) 5 5
? cos( ? ) 5 7


?

?
4

) 的单调减区间为(
? ?

A. ? k? ?

? ?

?

? , k? ? (k ? Z ) 4 ?

B. ? k? ?

?
8

, k? ?

??
8? ?

(k ? Z )

C. ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? (k ? Z ) 8 8?

D. ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

3? ? (k ? Z ) 8? ?

11.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? a ? 值与最小值的和为 6,则 a ? ( A.1 B.2 12 .函数 y ? ( ) A. 2 B. 3

3 sin x ( a, b ? R )有最大值和最小值,且最大 2 ? cos x
C. 3 D.4



1 的图像与曲线 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的所有交点的横坐标之和等于 x ?1
C. 4 D. 6

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13. 在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别为 A 、B 、C 的对边, 如果 a 、b 、c 成等差数列,B ? 60? ,

?ABC 的面积为

3 ,那么 b ? _________. 2

第 2 页 共 9 页

14.△ ABC 中,B=

? ,且 AB=1,BC=4,则 BC 边上的中线 AD 的长为 3



15.化简:已知 ? 是第四象限角,则 cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? ________ . 1 ? sin ? 1 ? cos ?

16.设函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ?

? ) 的图象为 C ,给出下列命题: 3

①图象 C 关于直线 x ?

11 ? 5? ? 对称; ②函数 f ( x) 在区间 ( ? , ) 内是增函数;③函数 12 12 12

? f ( x) 是奇函数;④图象 C 关于点 ( ,0) 对称.⑤ f ( x) 的最小正周期为 ? . 3
其中正确命题的编号是 .(写出所有正确命题的编号)

三、解答题:本题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 注意:考生在 17.18 两小题中选择一道题目回答,并在答题纸上表明题号。 17.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a , g ( x) ? ?(a ? 4) x ? 4 ? a, a ? R (1) x ? R ,比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小; (2)当 x ? ? 0, ??? 时,解不等式 f ( x) ? 0 。

18.(本题满分 10 分)已知不等式 x ﹣5 a x+ b >0 的解集为{x|x>4 或 x<1} (1)求实数 a , b 的值; (2)若 0<x<1, f ( x ) ?

2

a b ? ,求 f(x)的最小值. x 1? x

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

?
6

) ? cos 2 x

[

(2) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边为 a , b, c , 已知 f ( A) ? 的面积.

? 3 ,a ? 2,B ? , 求 ?ABC 3 2

20.(本题满分 12 分)如图, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点, AC ? 3DC .
第 3 页 共 9 页

(1)若 ?DAC ? 30? ,求角 B 的大小; (2)若 BD ? 2 DC ,且 AD ? 2 ,求 DC 的 长.

21. (本题满分 12 分)某个公园有个池塘,其形 状为直角

?ABC, ?C ? 90? , AB ? 2百米,BC ? 1百米 (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别
在 AB, BC, CA 上取点 D, E, F , 如图(1),使得 EF‖AB,EF⊥ED,在 ?DEF 喂食,求 S ?DEF 的最大值;

22.已知在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

1 5,

(1)求 sin A cos A ; (2)判 断 ?ABC 是锐角三角形还是钝角三角形。
4 4 (3)求 cos A ? sin A 的值

21.已知函数 g ( x) ? A cos( ?x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ? 数 g ( x) 的图象保持纵坐标不变,横坐标向右平移

?
2

) 的部分图象如图所示,将函

? 个单位后得到函数 f ( x ) 的图象. 3

第 4 页 共 9 页

(1)求函数 f ( x ) 在 x ? [ ?

? ?

, ] 上的值域; 6 3

(2)求使 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围的集合.

第 5 页 共 9 页

2015-2016 学年上学期高一期中考试试卷





命题人:高一数学备课组 审题人:高一数学备课组 本试卷总分值为 150 分 考试时间为 120 分钟 三、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

1-4 BCBC

5-8 DDAC 9-12 BBCC

四、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13.根号 2 14. ? x | ?

? ?

?
4

?

k? ? k? ? ?x? ? , k ? ?? 2 8 2 ?

15. cos ? ? sin ?

16.①②⑤

三、解答题:本题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(1)f(x)-g(x)=x +3x+4=(x+
2

3 2 7 ) + >0 2 4

所以 x ? R 时 f(x)>g(x)------------------------------5 分 (2)不等式可化为(x-1)(x-a)>0 因为 x>0 所以①当 a≤0 时,x>1,②当 0<a≤1 时,0<x<a 或 x>1,③当 a>1 时,0<x<1 或 x>a. -----------------------------------------------------10 分 18.解: (1) 由题意可得 ? 分 (2)由(1)知 f(x)= + ∴f(x)= + =( + ∵0<x<1,∴0<1﹣x<1,∴ >0, )[x+(1﹣x)].......................................................7 分 >0 ,

?a ? 1 ?4 ? 1 ? 5a , 解得 ? , ∴实数 a, b 的值分别为 1, 4; ...................5 ?b ? 4 ?4 ? 1 ? b

=5+

+

≥5+2

=9 当且仅当

=

即 x= 时,等号成立.

∴f(x)的最小值为 9.............................................................10 分 19.解: f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x = sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

=

3 3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x = 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 2 2

= 3 sin(2 x ?

?
3

)

……………………-----------------------------------------3 分

第 6 页 共 9 页

令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ? ?

f ( x) 的单调递增区间为: [?
(2)由 f ( A) ? 因此 2 A ?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z0 ……………----------------5 分 12 12

5? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z 12 3 12

2? ? ? 5? 3 ? 1 , ? 2A ? ? , ,sin(2 A ? ) ? ,又 0 ? A ? 3 3 3 3 2 3 2

5? ? ,解得: A ? ………………7 分 4 3 6 a B ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B ?
又由 A ?

?

?
4

,B ?

?
3

可得: sin C ?

6? 2 ……………10 分 4

故 S?ABC ?

1 3? 3 …………12 分 ab sin C ? 2 2
AC DC . ? sin ?ADC sin ?DAC

20.解: (1)在△ABC 中,根据正弦定理,有

因为 AC ? 3DC ,所以 sin ?ADC ? 3 sin ?DAC ?

又 ?ADC ? ?B ? ?BAD ? ?B ? 60? ? 60? 于是 ?C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30? ,所以 ?B ? 60° . ……………………6 分

3 .------------------3 分 2 所以 ?ADC ? 120° .

(2)设 DC ? x ,则 BD ? 2 x , BC ? 3 x , AC ? 3x .-----------------------7 分

AC 3 6 , cos B ? , AB ? 6 x. --------------------------9 分 ? BC 3 3 2 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理,得 AD ? AB ? BD ? 2 AB ? BD cos B , 6 即 ( 2) 2 ? 6 x 2 ? 4 x 2 ? 2 ? 6 x ? 2 x ? ? 2 x 2 ,得 x ? 1 . 故 DC ? 1. ………12 分 3
于是 sin B ? 利用向量法计算同样给分。

第 7 页 共 9 页

21.【答案】 (1) ?

12 7 ; (2)钝角三角形; (3) ? 25 25

【 解 析 】 试 题 分 析 :( 1 ) 本 题 考 查 了 三 角 化 简 中 的 平 方 关 系 , 即 (2)借助(1)中结论可知 cos A ? 0 , A 为钝 (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A 来求解; 角,则可判断 ?ABC 为钝角三角形; (3)本题仍然运用了三角化简中的平方关系,首先借 助(1)的结论求出 cos A ? sin A ? ? 代入已知数据即得. 试题解析: (1)由 sin A ? cos A ?

7 ,然后利用平方关系、平方差公式将原式展开化简, 5

1 5,
解得 sin A cos A ? ?

两边平方得 1 ? 2 sin A cos A ? (2)∵ sin A cos A ? ?

1 25,

12 25,

?A?

?
2

12 ? 0, A ? (0, ? ) 25

, ?ABC 为钝角三角形

2 (3) (cos A ? sin A) ? 1 ? 2 sin A cos A ?

因为

?
2

49 25 7 5 7 25

? A ? ? ,所以 sin A ? 0, cos A ? 0 ,故 cos A ? sin A ? ?

4 4 2 2 从而 cos A ? sin A ? cos A ? sin A ? (cos A ? sin A) (cos A ? sin A) ? ?

【考点】1.平方关系的应用;2.判断三角形形状.

第 8 页 共 9 页

22.
【答案】 (1) ?0,3? ; (2) x ? ?k? , k? ?

? ?

??
3? ?

,k ? Z

【解析】试题分析: (1)本题首先考查利用三角函数的部分图像,来求函数解析式的问题, 利用最值可求 A 和 T ,利用 ? ?

2? 求 ? ,利用特殊点求 ? ,然后又考查了三角函数的图 T

像变换,最后是利用“整体代换”的思想来求函数值域,虽然考查基础,但很全面; (2)解 三角不等式可借助 y ? cos x 图像,利用“整体代换”来求解不等式. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 图 知

?? ? g ? x ? ? 2cos ? 2 x ? ? ? 1 3? ?
? ,







f

?2 ? ?x

? ? ? c ? o s? x? 2 ? ? 3? ?

? ?? x 1? , ? ,? ? 6 ? 3 ?

? 2x ?

?

? 2? ? ? ,由图像可知, f ? x ? ??0,3? . ? ?? , 3 ? 3 3? ? ? ?

(2)? f ? x ? ? 2cos ? 2 x ?

??

?? ?? 1 ? ? ? ? 1 ? 2cos ? 2 x ? ? ? 1 ? 2 ,? cos ? 2 x ? ? ? , 3? 2 3? 3? ? ?
,

??

?
3

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
3

? 2 k?

? k? ? x ? k? ?

?
3

,k ?Z

,

?? ? ? x ? ? k? , k? ? ? , k ? Z . 3? ?
【考点】1.求三角函数解析式;2.求三角函数值域;3.解三角不等式.

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