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新课标全国统考区2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编19:几何证明


新课标全国统考区(吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南)2013 届最新高三名校 理科数学试题精选分类汇编 19:几何证明
一、填空题 1 . (内蒙古包头市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)正方形 ABCD 的边长为 1,点 M,N 分别在线段

AB,AD 上.若 3|MN| 2+|CM| 2+|CN| 2= ,则|AM|+|AN|的取值范围是__________ 2
D N A M (第 14 题) B C

9

【答案】 ? 二、解答题

?1 ? 3 1 ? 2 ? , ? 4 2 ? ?

2 . (吉林省吉林市 2013 届高三三模(期末)试题 数学理 )如图,设 AB,CD 为⊙O 的两直径,过 B 作 PB 垂直

于 AB,并与 CD 延长线相交于点 P,过 P 作直线与⊙O 分别交于 E,F 两点,连结 AE,AF 分别与 CD 交于 G,H P

D H A G C E
22 题图

F B

O

(Ⅰ)设 EF 中点为 C1 ,求证:O、 C1 、B、P 四点共圆. (Ⅱ)求证:OG =OH. 【答案】证明:(Ⅰ)

第 1 页,共 17 页

易知 ?OC1 P ? ?PBO ? 90 , 所以 O,P,C1,B 四点共圆 (Ⅱ)由(Ⅰ) ?OPC1 ? ?OBC1 过 F 作 FE1 ? AE 于 E1 ,交 AB 于 D1 连结 D1C1、BC1、BF 由 D1 F ∥ DC , ?OPC1 ? ?D1 FC1 所以 ?OBC1 ? ?D1 FC1 所以 B, F , C1 , D1 四点共圆 所以 ?FBA ? ?FC1 D1 ? ?FEA ,由此 D1C1 ∥ AE ,

?

C1 是 FE 的中点, D1 是 FE1 的中点,所以

OG AO OH ,所以 OG =OH ? ? D1 E1 AD1 D1 F

3 . (河北省衡水中学 2013 届高三第八次模拟考试数学(理)试题 )选修 4-1:几何证明选讲

如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、 D.求证: (Ⅰ) CE ? DE ;

(Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

第 2 页,共 17 页

【答案】(Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP

? PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,

??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?
? PE CA ? PB DE CA PE ? CE PB

PC CA ? PD DE

? DE ? CE , ?

4 .(河南省郑州市 2013 届高三第三次测验预测数学(理)试题)选修4-1 :几何证明选讲

如图,AB是 0的一条切线,切点为B,直线ADE,CFD,CGE都是 O 的割线,已知 AC=AB. (1)求证:FG//AC; (II)若CG=1,CD=4,求

DE 的值. GF

2 【答案】解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割 线, AB ? AD ? AE ,

2 又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC .

AD AC ? 所以 AC AE ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE ,
所 以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,
第 3 页,共 17 页

所以 FG // AC (Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .
? ?CGF ∽ ?CDE . DE CD ? ? . GF CG
又? CG ? 1, CD ? 4 ,?

DE =4 GF

5 . (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第四次四校联考数学(理)试题)(本小题

满分 10)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC, AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙O 的直径. (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 2, CF ? 4 ,求 AC 的长.

F
A

? O
B E
【答案】(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲

D

C

解 :(1) 证 明 : 连 结

BE

, 由 题 意 知 ?ABE

为 直 角 三 角 形 . 因 为

?ABE ? ?ADC ? 90? , ?AEB ? ?ACB, 所以 ?ABE ∽ ?ADC


AB AE ? ,则 AB ? AC ? AD ? AE .又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE AD AC
2

(II)因为 FC 是⊙O 的切线,所以 FC ? AF ? BF , 又 AF ? 2, CF ? 4 ,所以 BF ? 8, AB ? BF ? AF ? 6 因为 ?ACF ? ?FBC, 又?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB 则

AF AC AF ? BC ? ?3 ,即 AC ? FC BC CF

6 . (山西省太原市第五中学 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲[来源:Zxxk.Com]

如图, ?ABC内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC . (1)求证: PA是⊙ O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 , CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求直径 AB 的长.
第 4 页,共 17 页

【答案】(1)∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,

又∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠BAC=90°,即∠PAB=90°, ∴BA⊥PA,∴PA 是圆 O 的切线 (2)设 AE=2m,DE=5n,则 BE=3m,CE=6n, 由相交弦定理得 6m?=30n? ,∴m= 5 n 由 AC/BD=AE/DE 得 BD= 4 5 设 BC= X,由 BC/AD=CE/AE 得 AD= 5 /3X 由 AC?+BC?=AD?+BD?解得 X=6, ∴AB=10

7 .(河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题(word 版) )选修 4-1:几何证明选讲

在 RtΔABC中 ? B =90.,AB=4,BC=3, 以 , (I)求线段 CD 的长度;

AB 为 直 径 做

圆 0 交 AC 于点 D

(II)点 E 为线段 BC 上一点,当点 E 在什么位置时,直 线 ED 与圆 0 相切,并说明理由.

s
【答案】选修 4-1 几何证明选讲

第 5 页,共 17 页

0 解:(Ⅰ)连结 BD ,在直角三角形 ABC 中,易知 AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 ,

所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似,

BC 2 9 CD BC ? ? 所以 ,所以 CD ? BC AC AC 5
(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的中线,所以 ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为 OD ? OB ,所以 ?OBD ? ?ODB , 所以 ?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 900 ,所以直线 ED 与圆 O 相切
8 . (内蒙古包头市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)选修 4—1: 几何证明选讲

如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

1 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

E O D A
【答案】解:

C

B

(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中,

第 6 页,共 17 页

∵ tan∠CED=

1 CD 1 , ∴ = , 2 EC 2

∵ AB 是⊙O 的切线, ∴ ∠BCD=∠E, 又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴

BD CD 1 = = , 设 BD=x,则 BC=2x, BC EC 2
2

又 BC =BD·BE, ∴ (2 x) =x·( x+6), 解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5?
9 . (云南省 2013 年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题(word 版) ) 【选修 4-1:几何选讲】

2

如图,四边形 ABCD 的外接圆为 ? O , EA 是 ? O 的切线, CB 的延长线与 EA 相交于点 E , AB ? AD . 求证: AB ? BE ? CD
2

E B · O D C

A

【答案】

10. (河南省三市(平顶山、许昌、新乡)2013 届高三第三次调研(三模)考试数学(理)试题)如图,已知: C

第 7 页,共 17 页

是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ? AB 于点 H ,直线 AC 与过点 B 的圆 O 的切线相交于点

D, E 为 CH 中点.连接 AE 并延长交 BD 于点 F ,直线 CF 交直线 AB 于点 G
(Ⅰ)求证: F 是 BD 的中点 (Ⅱ)求证: CG 是⊙ O 的切线

【答案】

11. (吉林省实验中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是⊙O 的一条弦, ?BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D , DE ⊥ AC ,且 DE 交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (Ⅰ)求证: DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若

AC 3 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

第 8 页,共 17 页

E C F A · O B D

【答案】解:(Ⅰ) 证明:连结 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC

∴ OD ? AE ,

又 AE ? DE

∴ DE ? OD ,又 OD 为半径 ∴ DE 是⊙O 的切线 (Ⅱ)过 D 作 DH⊥AB 于 H 则有∠DOH=∠CAB cos∠DOH=cos∠CAB=

AC 3 ? AB 5

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x 2 2 ∴AH=8x AD =80x 2 由△AED∽△ADB 可得 AD =AE·AB=AE·10x ∴AE=8x 又由△AEF∽△DOF ∴ 可得 AF∶DF= AE∶OD =

8 ; 5

AF 8 = DF 5

12. (2013 年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学)选修 4-1:几何证明选讲.

如图, PA 是 ? O 的切线, PE 过圆心 O , AC 为 ? O 的直径, PC 与 ? O 相交于 B 、 C 两点,连结 AB 、 CD . PA2 BD (1) 求证: ?PAD ? ?CDE ;(2) 求证: . ? PC ? PE AD
C B
E O D P

A

【答案】 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算,具体涉及到共圆图形的判断和圆的性

质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.本小题针对考生的平面几何思想与数形结合思 想作出考查. 【试题解析】解:(1) 由 PA 是圆 O 的切线,因此弦切角 ? PAD 的大小等于夹弧所对的圆周角 ?ACD , 在等腰 ?OCD 中, OD ? OC ,可得 ?ACD ? ?CDE ,所以 ?PAD ? ?CDE .

(2) 由 ?PBD 与 ?PEC 相似可知,

PB BD PA2 2 ? ,由切割线定理可知, PA ? PB ? PC ,则 PB ? , PE CE PC

第 9 页,共 17 页

又 EC ? AD ,可得

PA2 BD ? . PC ? PE AD

13. (2013 年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学)选修 4-1:几何证明选讲

C 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B 、 , ?APC 的平分线分别交
AB 、 AC 于点 D 、 E .
(Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ; (Ⅱ)若 AC ? AP ,求
A E
D

PC 的值. PA

C

O

B

P

【答案】证明(1):

? PA 是切线, AB 是弦,? ?BAP ? ?C ,



? ?APD ? ?CPE ? ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE , ? ?ADE ? ?BAP ? ?APD ,

?

?AED ? ?C ? ?CPE , ?ADE ? ?AED
A E D

C

O

B

P

证明(2):由(1)知 ?BAP ? ?C , 又

?

?APC ? ?BPA ,
∽ ?BPA ,

? ?APC

? PC ? CA ,
PA AB

? AC ? AP , ? ?APC ? ?C ? ?BAP ,
由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CPA ? 180
0

? BC 是圆 O 的直径,? ?BAC ? 90 ,
0

? ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180 ? ?C ? ?APC ? ?BAP ? 30
0

0

? 900 ? 900 ,
,

第 10 页,共 17 页

在 Rt?ABC 中,

CA PC CA ? 3 ,? ? ? 3. AB PA AB

14. (河南省开封市 2013 届高三第四次模拟数学(理)试题)(本 小题满分 10 分)选修 4--1.:平面几何

已知.AB 为半圆 O 的直径, AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交圆 于点 E,DE=1. (I)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长.

【答案】

15. (山西省康杰中学 2013 届高三第二次模拟数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接 圆于点 E . (Ⅰ)证明: ?ABE ∽ ?ADC ; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小. 2

【答案】解:(Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD

因为 ?AEB 与 ?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB ? ?ACD ,故 ?ABE ∽ ?ADC , (Ⅱ)因为 ?ABE ∽ ?ADC ,所以 且S ?

AB AD 1 ? ,即 AB ? AC ? AD ? AE ,又 S ? AB ? AC sin ?BAC , AE AC 2

1 AD ? AE ,故 AB ? AC sin ?BAC ? AD ? AE , 2 则 sin ?BAC ? 1 ,又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC ? 90?
16. (黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , P 是 AB 延长线上一点, BP ? 2 ,割线 PCD 交圆 O 于点 C , D ,过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F . (I)求证: ?PEC ? ?PDF ; (II)求 PE ? PF 的值.

第 11 页,共 17 页

【答案】选修 4-1:几何证明选讲

解法 1:(I)连接 BC ,则 ?ACB ? ?APE ? 90 ,
?

即 B 、 P 、 E 、 C 四点共圆. ∴ ?PEC ? ?CBA 又 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,∴ ?CBA ? ?PDF ∴ ?PEC ? ?PDF ∵ ?PEC ? ?PDF , ∴ F 、 E 、 C 、 D 四点共圆, ∴ PE ? PF ? PC ? PD ,又 PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24 ,

PE ? PF ? 24 .
解法 2:(I)连接 BD ,则 BD ? AD ,又 EP ? AP

∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90 ,
?

第 12 页,共 17 页

∵ ?PDB ? ?EAP ,∴ ?PEC ? ?PDF (II)∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF ,

PC PE ? PD , ∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ PF
即 PE ? PF ? PC ? PD , 又∵ PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24, ∴ PE ? PF ? 24
17. (云南省玉溪市 2013 年高中毕业班复习检测数学(理)试题)选修 4-l:几何证明选讲

如图,△ABC 内接于 ? O ,AB=AC,直线 MN 切 ? O 于点 C,弦 BD//MN,AC 与 BD 相交于点 E.

(I)求证:△ABE ? △ACD; (II)若 AB=6,BC=4,求线段 AE 的长.
【答案】

18. (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试(四) 数学(理)试题(word 版))选修 4—1:几何证

明选证 如图,四边形 ABDE 是圆内接四边形,延长 AD 与 CE 的延长线交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

第 13 页,共 17 页

【答案】

19. (河南省六市 2013 届高三第二次联考数学(理)试题)如图,已知四边形 ABCD 是梯形, AD / / BC ,且 BC

是圆 O 的直径,直线 MN 与圆 O 相切于点 A. (1)若 ?MAB ? 30? ,且圆 O 的面积为 ? ,求 AB 的长; (2)在(1)的条件下,求梯形 ABCD 的周长.

【答案】

20. (黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题 word 版 )选 修 4—1:几何证明选讲

如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

(2)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .
第 14 页,共 17 页

F

F A

A

D

B

D

B
E C

E

C

【答案】证明:(I)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

?

EC 1 ED 1 EC ED DC ? , ? , ? ? ,? EB 3 EA 2 EA EB AB

?

DC 6 [来源:Zxxk.Com] ? AB 6
2

(II)? EF

? FA ? FB ,

EF FB ? , 又? ?EFA ? ?BFE , FA FE ? ?FAE ∽ ?FEB ,? ?FEA ? ?EBF ,

?

又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC , ? EF // CD
21. (河南省商丘市 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)选修 4—1:几何证明选讲

如图,已知 PE 切 ?O 于点 E,割线 PBA 交 ?O 于 A、B 两点, ?APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、 D. (1)CE=DE; (2)

CA PE ? . CE PB

【答案】

解:(Ⅰ)? PE切 ⊙ O 于点 E ,? ?A ? ?BEP .

第 15 页,共 17 页

? PC平分?APE ? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,
??ECD ? ?EDC , ? EC ? ED .
(Ⅱ)? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE ,

? ?BPD ? ?EPC ,? ?PBD ∽ ?PEC ,?
同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PE PC ? PB PD

PC CA ? , PD DE

?

PE CA ? . PB DE

? DE ? CE , ?

CA PE ? CE PB

22. (河南省中原名校 2013 届高三下学期第二次联考数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图,△ABC 内 接于⊙O,AB =AC,直线 MN 切⊙O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相交于点 E. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AB =6,BC =4,求 AE.

【答案】选修 4-1:几何证明选讲

解:(Ⅰ)在 Δ ABE 和 Δ ACD 中, ∵ AB ? AC ∠ABE=∠ACD 又,∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD ∴Δ ABE ? Δ ACD (角、边、角) (Ⅱ)∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4 又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴ BC=BE=4 设 AE= x ,易证 Δ ABE∽Δ DEC ∴

???????????????? 5 分

???????????????? 8 分

DE DC 4 ? ? x AB 6 2 x ? x(6 ? x ) 3

? DE ? 10 3

2 x又 3

AE ? EC ? BE ? ED

EC ? 6 ? x

∴4?

x?

???????????????? 10 分

23. (黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案)(本小题满分 10 分)
第 16 页,共 17 页

选修 4 - 1:集合证明选讲 已知 AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点,CD⊥AB 于点 D,弦 BE 与 CD、AC 分别交于点 M、N,且 MN = MC (1)求证:MN = MB; (2)求证:OC⊥MN. E N A O D C M B

【答案】证明:(Ⅰ)连结 AE,BC ,∵AB 是圆 O 的直径,∴∠AEB=90°,∠ACB=90°

∵MN=MC,∴∠MCN=∠MNC 又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN ∴∠EAC=∠DCB,∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB. ? 5? (Ⅱ)设 OC∩BE=F, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB 由(Ⅰ)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC ∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°∴OC⊥MN. ?10?

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