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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第十四篇不等式选讲第2节证明不等式的基本方法基丛点练理


第2节
【选题明细表】

证明不等式的基本方法
题号 1 3 2 4

知识点、方法 比较法证明不等式 综合法证明不等式 分析法证明不等式 分析综合法证明不等式

1.设 a>b>0,求证:

>

.

证明:法一

-

=

=

=

,

因为 a>b>0, 2 2 所以 a-b>0,ab>0,a +b >0,a+b>0. 所以 >0,

所以

>

.

法二 因为 a>b>0, 所以 a+b>0, a-b>0. 所以 = ·

=

=

=1+

>1.

所以

>

.

1

2.设 x≥1,y≥1,求证 x+y+ ≤++xy. 证明:由于 x≥1,y≥1, 要证 x+y+ ≤++xy, 只需证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy) . 2 因为[y+x+(xy) ]-[xy(x+y)+1] 2 =[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 由条件 x≥1,y≥1, 所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. 3.(2015 高考湖南卷)设 a>0,b>0,且 a+b=+.证明: (1)a+b≥2; 2 2 (2)a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立. 证明:由 a+b=+= ,a>0,b>0,
2

得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1, 有 a+b≥2 =2,

即 a+b≥2. 2 2 (2)假设 a +a<2 与 b +b<2 同时成立, 2 则由 a +a<2 及 a>0 得 0<a<1; 同理,0<b<1,从而 ab<1,这与 ab=1 矛盾. 2 2 故 a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立. 4.设 a>0,b>0,c>0,求证: + + ≥.

证明:要证

+

+

≥,

只需证

+1+

+1+

+1≥,

只需证

+

+

≥,

2

只需证(a+b+c) (

+

+

)≥.

因为(a+b+c) (

+

+

)

=[

(b+c)+(a+c)+(a+b)]·(

+

+

)



×3 故原不等式成立.

×3×

=,当且仅当 a=b=c 时“=”成立,

3


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