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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线课件理


§9.9 圆锥曲线的综合问题

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元 方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线 相交 ; ②Δ=0?直线与圆锥曲线 相切 ; ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离 .

(2)若a=0,b≠0,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线E相交, 且只有一个交点. ①若E为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ; ②若E为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 . 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
1+k |x2-x1| = 则______________
2

1 1+k2|y2-y1|.

知识拓展
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切;

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切;
过椭圆内一点的直线与椭圆相交.

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和
一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一 条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴

平行或重合的直线.

(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个 交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线; 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和 两条与渐近线平行的直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近 线平行的直线.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与抛物线y2=2px只有一个公共点,则l与抛物线相切.( × ) (2)直线y=kx(k≠0)与双曲线x2-y2=1一定相交.( × ) (3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.( √ ) 2 x (5)过点(2,4)的直线与椭圆 +y2=1只有一条切线.( × ) 4 (6)满足“直线y=ax+2与双曲线x2-y2=4只有一个公共点”的a的值有 4个.( √ )

考点自测

1.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表 ④ 填序号) 答案 示的曲线大致是___.(
解析

x2 y2 2.(2016· 常州模拟 ) 直线 y = kx - k + 1 与椭圆 9 + 4 = 1 的位置关系为
答案 相交 ______. 解析

直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故

直线与椭圆相交.

x y 3.若直线y=kx与双曲线 9 - 4 =1
答案 解析

2

2

? 2 2? ? ? - , ? ? 3 3 ? ? 相交,则k的取值范围是__________.

x2 y2 2 双曲线 9 - 4 =1 的渐近线方程为 y=± 3x,
若直线与双曲线相交,数形结合,得
? 2 2? ? k∈?-3,3? ?. ? ?

4. 已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2 = 4y 的焦点,且与抛物线相 16 交于A,B两点,则弦AB=_____. 答案
直线 l 的方程为 y= 3x+1,
? ?y= 3x+1, 由? 2 得 y2-14y+1=0. ? ?x =4y,

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=14, ∴AB=y1+y2+p=14+2=16.

x2 5.(教材改编)已知与向量v=(1,0)平行的直线l与双曲线 -y2=1相交于 4 答案 解析 4 A,B两点,则AB的最小值为___.

由题意可设直线l的方程为y=m, 2 x 代入 4 -y2=1,得 x2=4(1+m2), 2 2 所以 x1= 4?1+m ?=2 1+m ,

x2=-2 1+m2, 所以 AB=|x1-x2|=4 1+m2,

所以 AB=4 1+m2≥4,
即当m=0时,AB有最小值4.

题型分类

深度剖析

第1课时 直线与圆锥曲线

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 例1 (2016· 无锡模拟)已知直线l:y=2x+m,椭圆C: + =1 . 试 问 4 2 当m取何值时,直线l与椭圆C:

(1)有两个不重合的公共点; 解答

几何画板展示

(2)有且只有一个公共点;
解答

当Δ=0,即m= ±3 2 时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组 有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点, 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.

(3)没有公共点.
解答

当Δ<0,即m<-3 2 或m> 3 2 时,方程③没有实数根, 可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.

思维升华
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点 坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用 判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一 元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一 次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.

跟踪训练1

(2016· 全国乙卷)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交

y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N, 连结ON并延长交C于点H.
OH (1)求ON ; 解答
几何画板展示

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
解答

直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下:
2t p 直线 MH 的方程为 y-t=2tx,即 x= p (y-t).

代入y2=2px,得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只
有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.

题型二 弦长问题
x2 y2 例2 (2016· 全国甲卷)已知A是椭圆E: + =1 的 左 顶 点 , 斜 率 为 4 3 k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当AM=AN时,求△AMN的面积.
解答
几何画板展示

(2)当 2AM=AN 时,证明: 3<k<2.
证明

思维升华
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中, 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计 算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简 化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.

跟踪训练 2

x2 y2 (2016· 徐州模拟)设椭圆 C1:a2+b2=1 (a>b>0)的离心率为

3 2 ,F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF1F2 的周 长是 4+2 3.

(1)求椭圆C1的方程; 解答

3 3 3 c 由 e= 2 ,知a= 2 ,所以 c= 2 a, 因为△PF1F2 的周长是 4+2 3,所以 2a+2c=4+2 3,
所以 a=2,c= 3,所以 b2=a2-c2=1, x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 4 +y =1.

(2)设椭圆 C1 的左,右顶点分别为 A,B,过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的 → → → → 垂线交 x 轴于点 E(点 D 与点 A, B 不重合), 若 C 点满足AB⊥BC, AD∥OC, 连结 AC 交 DE 于点 P,求证:PD=PE.
证明

题型三 中点弦问题 命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程
x2 y2 例3 (1)已知椭圆E: a2+b2=1 (a>b>0) 的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直

线 交 E 于 A , B 两 点 . 若 AB 的 中 点 坐 标 为 (1 , - 1) , 则 E 的 方 程 为 x2 y2 + 9 =1 18 ___________. 答案 解析

x2 y2 (2)已知(4,2)是直线l被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程 36 9

x+2y-8=0 是_____________. 答案

解析

命题点2 由中点弦解决对称问题
2 x 例4 (2015· 浙江)已知椭圆 +y2=1上两个不同的点A,B关于直线y= 2 1 mx+ 对称. 2

(1)求实数m的取值范围; 解答

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解答

思维升华
处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式 y1-y2 相减,式中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了 x1-x2 中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为 一元二次方程后,由根与系数的关系求解. (3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意:如果点 A,B关于直线l对称,则l垂直直线AB且A,B的中点在直线l上的应用.

跟踪训练3 设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线.
(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程; 解答 设抛物线顶点为P(x,y),则焦点F(2x-1,y). 再根据抛物线的定义得AF=2,即(2x)2+y2=4, 2 y 所以轨迹 C 的方程为 x2+ 4 =1.

(2) 若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x = 1 - 平分,设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围. 2
解答
几何画板展示

课时作业

x2 y2 1.(2016· 南京模拟)已知椭圆 + =1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 9 2 2 ,∠F1PF2的大小为_____. 120° P在椭圆上,若PF1=4,则PF2=___
答案 解析

由题意得PF1+PF2=2a=6,所以PF2=2.

又 F1F2=2c=2 7,在△PF1F2 中,由余弦定理可得 4+16-28 1 cos∠F1PF2= =-2,即∠F1PF2=120° . 2×2×4

1

2

3

4

5

6

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8

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10 11 12

13

2.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若AB=4,则弦AB 9 1 答案 解析 4 的中点到直线x+ =0的距离等于___. 2

1

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x2 2 3.(2016· 连云港一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y =1 相交于 A, B 两点, 4 10 则 AB 的最大值为________. 答案 解析 5

1

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2 2 x y b 1 4.(2017· 无锡月考)直线 y=ax+3 与双曲线a2-b2=1 的交点个数是___.

答案

解析

b b 因为直线 y=ax+3 与双曲线的渐近线 y=ax 平行,所以它与双曲线只 有 1 个交点.

1

2

3

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x2 y2 5.设双曲线 a2-b2=1 (a>0 ,b>0) 的一条渐近线与抛物线 y= x2 +1 只有 5 一个公共点,则双曲线的离心率为____.
答案 解析

1

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7

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9

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13

6.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A,
8 2 B两点,则|FA-FB|的值为______.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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13

7. 在抛物线 y = x2 上关于直线 y = x + 3 对称的两点 M , N 的坐标分别为 (-2,4),(1,1) ______________.
答案 解析

1

2

3

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5

6

7

8

9

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13

6 8.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则AB的最大值为___.
答案 解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,

那么AF+BF=x1+x2+2,
又AF+BF≥AB?AB≤6,当AB过焦点F时取得最大值6.

1

2

3

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6

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9

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x2 y2 9.过椭圆 16+ 4 =1内一点P(3,1) ,且被这点平分的弦所在直线的方程

3x+4y-13=0 是______________.

答案

解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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13

2 y 10.已知双曲线 C: x2- 3 =1, 直线 y=-2x+m 与双曲线 C 的右支交于 A,

MB (1,7+4 3) B 两点(A 在 B 的上方), 且与 y 轴交于点 M, 则MA的取值范围为__________.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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13

11.如图,定直线l的方程为x=-4,定点F的坐标为(-1,0),
P(x,y)为平面上一动点,作PQ⊥l于Q,若PQ=2PF. (1)求动点P的轨迹E的方程;
解答

由|x+4|=2 ?x+1?2+y2,

x2 y2 化简得轨迹 E 的方程为 4 + 3 =1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2)过定点 F 作直线交曲线 E 于 A、B 两点,若曲线 E 的 → → → 中心为 O,且AO+3OF=2OB,求三角形 OAB 的面积.
解答

1

2

3

4

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6

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9

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x2 2 12. (2016· 泰州模拟)设点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C:a2+y =1(a>1) → → 的左,右焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,且PF1· PF2的最小值为 0.

(1)求椭圆C的方程; 解答
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2)如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,作F1M⊥l, F2N⊥l分别交直线l于M,N两点,求四边形F1MNF2面积S的最大值.解答

1

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13

x2 y2 13. (2015· 江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 2+ 2 =1 a b (a>b>0)的离心率为 2,且右焦点F到左准线l的距离为3. 2

(1)求椭圆的标准方程;
解答
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和 AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
解答

1

2

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