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3.2.2《直线的两点式方程》教案(人教A版必修2)


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3.2.2《直线的两点式方程》教案
【教学目标】 1.直线的两点式方程的推导过程; 2.直线的截距式方程的构成,了解直线方程截距式的形式特点及适用范围; 3 截距的含义。掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。 【导入新课】 问题导入: 利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线 l 经过两点 P 1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方程。 1( (2)已知两点 P 其中 ( x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 线方程。 新授课阶段 1.直线的两点式方程的推导过程 已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程: (1) y

? x2 , y1 ? y2 ) ,求通过这两点的直

3 ? 2 ? ( x ? 1) 2
? y1 ? y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1

(2) y

指出:当 y1

? y2 时,方程可以写成

由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式。 思考:若点 P 中有 x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 程是什么? 当 x1

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y2 时,直线与 y
? y1 。

轴垂直,直线方程为: y

例 1 已知直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 (1) 证明直线 l 经过定点;
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(2)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小 值并求此时直线 l 的方程; (3) 若直线不经过第三象限,求 k 的取值范围。 解: (1) (-2,1) ; (2)由直线 l 的方程得 A(- -

1 ? 2k ,0) ,B(0,1+2k),由题知: k

1 ? 2k <0,且 1+2k>0,∴k>0 k 1 1 1 ∵S= |OA||OB|= (4k ? ? 4) ≥4. 2 2 k
1 1 当且仅当 k>0,4k= ,即 k= 时,面积取最小值 4,此时直线的方程是:x-2y+4=0. k 2 (3)由 (2) 知直线 l 在坐标轴上的截距, 直线不经过第四象限则-

1 ? 2k ≤0, 且 1+2k≥0, k

∴k>0。 2.直线的截距式方程 设直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 时直线 l 的方程为

y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,此

x y ? ? 1,称此方程为直线的截距式方程。 a b

例 2 一条直线经过点 M(2,1) ,且在两坐标轴上的截距和是 6,求该直线的方程。

? ?a+b=6, x y 解:设所求直线为 + =1(ab≠0) ,由已知得 ?2 1 a b ?a + b =1, ?
?a=3, ?a=4, 解得 ? 或? b =3 , ? ?b =2.

此时直线方程为 x+y-3=0 或 x+2y-4=0。 当 a、 b 中有一个是 0 时, 直线方程分别为 x=2 或 y=1, 它们均不满足题设的另一条件“在 两坐标轴的的截距和是 6 ,因而舍去。故所求的直线方程为 x+y-3=0 或 x+2y-4=0。 课堂小结 1.直线的两点式方程的推导与应用; 2.直线的截距式方程的应用。 作业 见同步练习部分 拓展提升 1.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距为
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3 A.- 2 2 B.- 3 C.

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2 5 D.2

2.已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大 值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

3. 已知两直线: a1 x ? b1 y ? 7 ? 0 , a2 x ? b2 y ? 7 ? 0 ,都经过点(3,5) ,则经过点 (a1,b1),(a2,b2)的直线方程是 。

4. 直线 l 上有两点 A(2,0) 、B(6,4) ,直线 l 绕 A 旋转 90° 后得 l ′,同时 B 点到达 C 点,求 C 点的坐标。

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参考答案
1.A【解析】用两点式直线方程。 2.B【解析】用截距式方程,结合基本不等式。 3.3x+5y+7=0【解析】两点(a1,b1),(a2,b2)都适合方程 3x+5y+7=0,而过这两点的直 线是惟一的。 4.解:数形结合解三角形得:顺时针转 90° 时,C 点的坐标为(6,-4) ;逆时针转 90° 时,C 点的坐标为(-2,4) 。

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