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山东省新泰二中、泰安三中、宁阳二中2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题

2017 年高二上学期期中考试数学试题
2017.11 本试卷分 I 卷选择题(60 分)II 卷非选择题(90 分),满分 150 分,时间 120 分钟 第 I 卷(选择题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 个小题每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1 1.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 A. 1 5 5 B. 9 C. 5 3 ) D.1

2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) D.不确定 )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14

4. 如图从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高 是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m ) 5π 6 )

sin A+B 2 2 5. 在△ABC 中,若 a -b = 3bc 且 =2 3,则 A=( sin B A. π 6 π B. 3 2π C. 3 D.

6.已知等差数列{an}的公差为-2,且 a2,a4,a5 成等比数列,则 a2=( A.-4 B.-6 C.-8 D.8

7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂 为 2 个, 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒, 问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
-1-

A.6 秒钟

B.7 秒钟 )

C.8 秒钟

D.9 秒钟

8.若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. >

a b d c

B. <

a b d c
n

C. >

a b c d

D. <

a b c d
)

9. 若数列{an}的通项公式是 an=(-1) ·(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15

10. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每 天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该 企业每天可获得最大利润为( ) 甲 乙 2 2 原料限额 12 8

A(吨) B(吨)

3 1

A.12 万元

B.16 万元

C.17 万元

D.18 万元 )

11. 已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 C.a1d>0,dS4<0 B.a1d<0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

2 1 2 2 12. 若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x +y -2x-4y-6=0 的周长,则 + 的最小值

a b

是(

) A.2- 2 B. 2-1 C.3+2 2 D.3-2 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题横线上 13. 已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=________. 14. 已知不等式(k-2)x -2(k-2)x-4<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 15. 在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 16.在△ABC 中,sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则 B 的取值范围是________. 三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤 17. (本小题满分 10 分) 已知 f(x)=-3x +a(6-a)x+6. (1)解不等式 f(1)>0 , 求 a 的范围 (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a、b 的值. 18. (本小题满分 12 分)
-22 2

a x

设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 2, 求 cos A 与 a 的值. 19. (本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a1+a3+…+a2n+1. 20. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x(单位: 辆/千米)的函数, 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 21. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A+sin C=psin B 1 2 (p∈R),且 ac= b . 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 1 数列{an}是公比为 的等比数列,且 1-a2 是 a1 与 1+a3 的等比中项,前 n 项和为 Sn;数列 2 {bn}是等差数列,b1=8,其前 n 项和 Tn 满足 Tn=nλ ·bn+1(λ 为常数,且 λ ≠1). (1)求数列{an}的通项公式及 λ 的值; 1 1 1 1 1 (2)比较 + + +…+ 与 Sn 的大小. T1 T2 T3 Tn 2 2017 年高二上学期期中考试数学试题 2017.11 一. 选择题:本大题共 12 小题每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 A 6 D 7 B 8 B 9 A 10 D 11 B 12 C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分 13. 36 14. (-2,2] 15. 2 3 π 16. 0<B≤ 3
-3-

三.解答题:本大题共 6 小题。共 70 分 17. (本小题满分 10 分) 解:(1)∵f(x)=-3x +a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a +6a+3>0, 即 a -6a-3<0,解得 3-2 3<a<3+2 3. ∴不等式的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)∵f(x)>b 的解集为(-1,3), ∴方程-3x +a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3,…………7 分 代入得:a=3+ 3 或 3- 3, 18. (本小题满分 12 分) 1 2 2 解: 由三角形面积公式,得 ×3×1·sin A= 2,故 sin A= . 2 3 因为 sin A+cos A=1. 所以 cos A=± 1-sin A=± 1 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 3
2 2 2 2 2 2 2

……………2 分

…………….5 分

b=-3

...............................10 分

8 1 1- =± . 9 3

…………….4 分

a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3× =8,
所以 a=2 2. 1 ②当 cos A=- 时,由余弦定理得 3 ……………8 分

1 3

a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×?- ?=12, 3
所以 a=2 3. 19. (本小题满分 12 分 解: (1)∵S1=a1=1,且数列{sn}是以 2 为公比的等比数列. ∴Sn=2
n-1
………………..2 分

? 1? ? ?

……………………………………………………..12 分

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2
? ?1,n=1, ∴an=? n-2 ?2 ,n≥2. ?

n-2

(2-1)=2

n-2

. …………..6 分

(2)由(1)知,a3,a5,…,a2n+1 是以 2 为首项,4 为公比的等比数列. ∴a3+a5+…+a2n+1= -4 1-4
n n



- 3

-4-

n

∴a1+a3+a5+…+a2n+1=1+

- 3

2 =

2n+1

+1 . ………12 分 3

20. (本小题满分 12 分) 解 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;

当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 a=- , ? ? 3 解得? 200 b= . ? ? 3

?200a+b=0, ? 再由已知得? ? ?20a+b=60,

.......4 分

60,0≤x<20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 -x ,20≤x≤200. ? ?3 (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x<20, ? ? f(x)=?1 x -x ,20≤x≤200. ? ?3 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 x+ 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ [ 3 3 -x 2

..6 分

……………………..8 分

10 000 2 ]= v(x) 3

60,0≤x<20, ? ? = ?1 -x ,20≤x≤200. ? ?3 立.

当 且仅 当 x = 200 - x , 即 x = 100 时 ,等 号成

……………….11 分 10 000 ≈3 333, 3

综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值

即 当 车 流 密 度 为 100 辆 / 千 米 时 , 车 流 量 可 以 达 到 最 大 , 最 大 值 约 为 3 333 辆 / 小

时.

…………………….………..12 分

21. (本小题满分 12 分)

-5-

解:(1)由题设并由正弦定理,得 5 a+c= , ? ? 4 ? 1 ? ?ac=4,

a=1, ? ? 解得? 1 c= ? ? 4
2 2 2

1 ? ?a= , 或? 4 ? ?c=1.
2

………..5 分

(2)由余弦定理,得 b =a +c -2accos B=(a+c) -2ac-2accos B 1 2 1 2 2 2 =p b - b - b cos B, 2 2 3 1 2 即 p = + cos B, 2 2 ………….10 分

?3 ? 2 因为 0<cos B<1,得 p ∈? ,2?. ?2 ?
由题设知 p>0,所以 6 <p< 2 2 …………………………..12 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得(1-a2) =a1(a3+1)
2

? 1 ?2 ?1 ? 即?1- a1? =a1? a1+1? ? 2 ? ?4 ?
1 ?1?n 解得 a1= ,∴an=? ? . 2 ?2? 设{bn}的公差为 d, 又?
?T1=λ ? ? ?T2=2λ

………2 分

b2, b3,

?8=λ +d , ? 即? ? +2d , ?16+d=2λ ?λ =1, ? 或? ?d=0 ?

1 ? ?λ = , 2 解得? ? ?d=8

1 (舍),∴λ = . 2

…5 分

?1?n (2)由(1)知 Sn=1-? ? , ?2?
1 1 ?1?n+1 1 ∴ Sn= -? ? ≥ ,① 2 2 ?2? 4 1 2 又 Tn=4n +4n, = Tn 4n 1 1 1 ∴ + +…+ 1 …7 分 1 ? 1?1 = ? - ?, 4?n n+1?

n+

T1 T2

Tn

1 ?? 1?? 1? ?1 1? ?1 = ??1- ?+? - ?+…+? - ?? 4?? 2? ?2 3? ?n n+1??
-6-

1 ? 1 1? = ?1- ?< ,② 4? n+1? 4 1 1 1 1 由①②可知 + +…+ < Sn. T1 T2 Tn 2

………11 分 ………12 分

-7-