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江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第三次考试数学(理)试卷


南昌市第二中学 2013-2014 学年高三上学期第三次考试数学(理)试卷
一、 选择题(每题 5 分,满分 50 分)

1. 设全集 U ? R, A ? ? x | ax ? 1 ? 0? , B ? ? 1, 2 若 A ? ? CU B ? ? ? 则实数 a 的取值集合是 A. ? B. ? C. ??1, ? ?

?0?

2. 设 a, b 为向量,则 " a / / b " 是 " a ? b ? a ? b " 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
0 0

? ?

?

? ?

?

1? 2?

D. ??1, ?

? ?

?

?

? ?

1 ? , 0? 2 ?
D. 既不充分也不必要

C. 充分必要条件

2sin 43 ? 3 sin13 ? cos130 A. ? 3 B. 3 C. ?1 D. 4. 对于 R 上可导函数 f ? x ? ,若满足 ?1 ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,则下列结论正确的是
3. A. f ? x ? 在 R 上单调递增 C. f ? x ? 有极大值 f ?1? A. 120 B. 121 B. f ? x ? 在 R 上单调递减 D. f ? x ? 有极小值 f ?1? ) C. 122

5. 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 5, an ?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a10 ? (

??? ? ??? ? ??? D. ? ? 123 6.已知 ? ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O ,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 ?AOB ? ? ? ? ? A. B. C. D. 6 4 3 2 ? ?? ? 7. 已知 ? ? 0 ,函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? 在 x ? 时有极大值,且函数 3? 12 ? ? ? ? ? 3? ? ? g ? x ? ? cos ? ? x ? ? 在 ? , ? 上单调递减,则 ? 的值为 4? ?8 8 ? ?
8. 设函数 f ? x ? ? ln x ? e , g ? x ? ? ln x ? e
?x

A. 1

B. 2

C. 14
?x

D. 26 D. x1 ? x2 ? 1

的零点分别为 x1 , x2 ,则 C. 0 ? x1 ? x2 ? 1
x

9. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? , g ? x ? 满足: ①f ? x ? ? a ? g ? x ? ? 0, ②g ? x ? ? 0

A. x1 ? x2 ? 2

B. 1 ? x1 ? x2 ? 2



g ?1?

f ?1?

?

? f ?n? ? 5 ? ? ? , ④f ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ? ? x ? , 设数列 ? ? ? n ? N ? ? 的前 n 项和为 g ? ?1? 2 ? g ?n? ? ? ?

f ? ?1?

S n ,则 S n 的取值范围是
?3 ? ?2 ? 10. 对于函数 y ? f ? x ? ,如果存在区间 ? m, n ? ,同时满足下列条件:① f ? x ? 在 ? m, n ? 内是单调的;
A. ? 0, ? B. ? ,1? ?2 ? C. D. ? , 2 ? ②当定义域是 ? m, n ? 时, f ? x ?的值域也是 ? m, n ?,则称 ? m, n ? 是该 函数的“和谐区间”.若函数

? ?

1? 2?

?1 ?

? 3? ?1, 2 ? ? ?

f ? x? ?

a ?1 1 ? ? a ? 0 ? 有“和谐区间”,则函数 a x
·1·

1 1 g ? x ? ? x3 ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 5 的极值点 x1 , x2 满足 3 2 A. x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? B. x1 ? ? ??, 0 ? , x2 ? ? 0,1?
C. x1 ? ? ??, 0 ? , x2 ? ? ??, 0 ? 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分) D. x1 ? ?1, ?? ? , x2 ? ?1, ?? ?
Sn

?1? 11. 等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0,S1 ? ?3, 则 ? ? 的最大值为__________. ?8? 2 12. 命题 P : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 的“否定”是_____________. 13. 在锐角 ? ABC 中,角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,已知
cos C ?

?

3 cos A ? sin A ? sin B ? 0 ,则 tan B =_______________.
2

?

14. 已知函数 y ? f ? x ? 1? ? x 是定义在 R 上的奇函数,且 f ? 0 ? ? ?1 ,若

g ? x ? ? 1 ? f ? x ? 1? ,则 g ? ?3? =_______________.
ln 15. 函数 f ? x ? ? x ? x, x ? ? 0, ?? ? 的极小值是______________.
三、解答题 16.(本小题 12 分)设函数 f ? x ? ? 1 ? 2sin 2 x ? cos ? 2 x ? (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

? ?

??
? 3? ?B? ? ? 1 ,求 ? ABC 面积的最大 ?2?

(2)? ABC 的三边 a, b, c 所对的内角分别为 A, B, C ,若 b ? 5 ,且 f ? 值.

17.(本小题 12 分)已知数列 ?log 4 an ? 是等差数列, log 4 a2 ? (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)求数列 ?log 4 an ? 的前 n 项和.

3 , a1 ? a3 ? 20 . 2

18. (本小题 12 分)在平面直角坐标系 xoy 上,设向量 OA ? ? 2 cos ? ,sin ? ? ,

??? ?

??? ? ???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? OB ? ? 2 cos ? ,sin ? ? , OM ? OA ? OB ,点 M 在椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 上, 5 5 O 是坐标系原点. (1)求 cos ?? ? ? ? 的值; ??? ??? ? ? ???? ???? ???? ? 6 ? ???? ? 6 ? ???? OA ? OB , 0 ? , OD ? ? , 0 ? , ON ? (2)设 OC ? ? ? ,求证 NC ? ND ? 2 2. ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?

·2·

1 ? a 1 ? ln x . x (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程;
19. (本小题 12 分)设 a ? R ,函数 f ? x ? ? (2)讨论 f ? x ? 在 ? 0, e ? 上的单调性.

2 , ? x ? 0? . x 1 , ? n ? N ? ? ,求数列 ?an ? 的通项公式及数列 (1)数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f ? an ?
20. (本小题 13 分)设函数 f ? x ? ? 1 ?

?2 ?a ?a ? 的前 n 项和; 1 (2)设函数 g ? x ? ? ? x ? 1??? f ? x ? ? 1? ,试比较 ? g ? x ? ? ? ? ? ? 2
n n n ?1

2

n

? 2与g ? x n ? ? 2n ? n ? N ? ? 的

大小,并说明理由.

e 21. (本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?? e (2)求证 ?1 ? x ??
?x

?2 x

, g ? x ? ? ax ? x 2 ? 1 ? x?cos x .

(1)若 f ? x ? 在 x ? ?1 处的切线与 g ? x ? 在 x ? 0 处的切线互相垂直,求 a 的值;

? ?1 ? x ??e x , x ? ?0,1? ;

(3)求证:当 a ? ?2 时, f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上恒成立.

南昌二中 2013—2014 学年度上学期第三次考试 高三数学(理)参考答案
一. 1—5 选择题 DCDDC 6—10 DBDBB
·3·

二.填空题 11. 225 三.解答题 12. ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 13.
3 2

14.1

15. ?

1 e

? ? 3 ? ? 1 sin 2 x 16.(1) f ? x ? ? cos 2 x ? ? cos cos 2 x ? sin sin 2 x ? ? cos 2 x ? 3 3 2 ? ? 2
?? 2? ? ? sin ? 2 x ? ? ,?T ? ?? 6? 2 ?

?? ? ? ? ?B? ? (2) f ? ? ? sin ? B ? ? ? 1 ,? B ? (0, ? ) ? B ? ? ? B ? 6? 6 2 3 ?2? ?
1 a 2 ? c2 ? b2 整理得: a 2 ? c2 ? ac ? b2 ? 25 ? cos B ? ? 2 2ac

由基本不等式可得: a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? ac ? 25 则 S? ABC ? 17.(1)
1 25 3 25 3 ac? B ? ? ? sin . 2 2 2 4

?log 4 an ? 是等差数列,则 log 4 a1 ? log 4 a3 ? 2log 4 a2 ? 3,

? a1 ?a3 ? 64, 又? a1 ? a3 ? 20 ,联立两式,
解得: ?

? a1 ? 4 ?a1 ? 16 ? ? 或? ?a3 ? 16 ? a3 ? 4 ? ?

当?

? a1 ? 4 3 1 1 n ?1 ? 时, d ? log 4 a3 ? log 4 a2 ? 2 ? ? , log 4 an = log 4 a1 ? ? n ? 1?? ? , 2 2 2 2 ? a3 ? 16 ?

2n 则 an ? 2? ;
当?

? a1 ? 16 3 1 ? 时, d ? log 4 a3 ? log 4 a2 ? 1 ? ? ? , 2 2 ? a3 ? 4 ?

1 5?n 5? n ,则 an ? 2 log 4 an = log 4 a1 ? ? n ? 1?? ? ) ? ( 2 2
(2) 设 ?log 4 an ? 的前 n 项和为 S n
·4·

? n ?1 ? n ?1 ? ? ?a ?4 n ? a1 ? an ? ? 2 ? n ? n ? 3? 当? 1 时, Sn ? ; ? ? ? 2 2 4 ? a3 ? 16 ? 5?n ? ? n?2 ? ? a1 ? 16 ? n ? a1 ? an ? ? 2 ? n ?9 ? n? 当? 时, Sn ? . ? ? ? 2 2 4 ? a3 ? 4 ?
18.(1)由题意可得: OM ? ,

???? ?

? ? 3 ??? 4 ??? ? 6 8 3 4 ? OA ? OB ? ? cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ? 5 5 5 5 5 ?5 ?

则M ?

8 3 4 ?6 ? cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ? 在椭圆上,代入椭圆方程得: 5 5 5 ?5 ?
2 2

8 4 ?6 ? ?3 ? ? cos ? ? cos ? ? ? 4 ? sin ? ? sin ? ? ? 4 , 展开整理可得 5 5 ?5 ? ?5 ?

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ?? ? ? ? ? 0
??? ??? ? ? ???? OA ? OB ? sin ? ? sin ? ? ? cos ? ? cos ? , (2) ON ? 2 2 ? ? ? , 又? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0 ?

? ? cos ? ? cos ? ?

2

? sin ? ? sin ? ? ? 4? ? ?2 2 ? ?
2

?点 N 在椭圆 P : x 2 ? 4 y 2 ? 2 上,则椭圆 P 的两焦点为 C , D ,有椭圆的定义可得
???? ???? NC ? ND ? 2a ? 2 2.
19.(1) a ? 1 时, f ? x ? ? 则 f ?? x? ? ?

1 1 ? 1 ? ln x , x ? ? 0, e ? , f ? x ? ? ? 1 ? ln x x x

1 1 ? , f ? ?1? ? ?2, f ?1? ? 2 , x2 x

则切线方程为 y ? ?2 x ? 4 (2) x ? ? 0, e ? , f ? x ? ?

1 1 a 1 ? ax ? a ?1 ? ln x ? , f ? ? x ? ? ? 2 ? ? ? 2 , x x x x

10 当a ? 0时, x ? ? 0, e ? , f ? ? x ? ? 0恒成立 ,则 f ? x ? 在 ? 0, e ? 上单调递减;
20 当1 1 ? e时, 即 ? ? a ? 0 , x ? ? 0, e ? , f ? ? x ? ? 0恒成立 , a e
·5·

则 f ? x ? 在 ? 0, e ? 上单调递增;

1 1? 1 ? 30 当0 ? - ? e时, 即 a ? ? ,当 x ? ? 0, ? ? 时f ? ? x ? ? 0 ,则 a? a e ?
? 1? ? 1 ? f ? x ? 在 ? 0, - ? 上单调递减; x ? ? ? , e ? 时f ? ? x ? ? 0 ,则 当 ? a? ? a ? ? 1 ? f ? x ? 在 ? ? , e ? 上单调递增. ? a ?
20.(1)由题设可知: an ?1 ?

an 1 2 1 1 ;变形可得 ? 1? , ? ? 2 2 ? an an?1 an f ? an ? 1 ? an

? 1 ? ? 1 ? ?1 ? 1 ?? ? 1? ? 2 ? ? 1? ? 数列 ? ? 1? 是以 1 ? 为首项公比 2 的等比数列, a1 ? an ?1 ? ? an ? ? an ?


?1 ? 1 1 ? 1 ? 2n ?1 ? ? 1? ? 2n ,? an ? n an 2 ?1 ? a1 ?
1 1 1 1 ? n?1 ? n ? n?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
n

设 bn ? 2n ? n ? n ?1 ? 2n ? a a

设 S n 为 ?bn ? 的前 n 项和则:

Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

? 1?

1 2n ?1 ? 1

?

2n?1 ? 2 2n ?1 ? 1

(2) g ? x ? ?
n

1 2 ? x ? 1??2 ? x ? 1 ,则 2 x x

? g ? x ?? ? 2 ? g ? x ? ?

?

n

??2 ?
n

1? ?? 1 ? ? ? ? ? x ? ? ? 2 ? ?? x n ? n ? ? 2 n ? x? x ? ? ?? ?
n

1 1 1 1 2 n ? Cn x n ?1 ? ? Cn x n ?2 ? 2 ? ... ? Cn ?1 x? n?1 ? 2 ? 2n x x x
1 ?? 1 1 1 ? ? 2 1 1 ? 1 1 ?? ? 1 n n n ? ? ? Cn x n ?1 ? ? Cn ?1 x? n ?1 ? ? ? Cn x n ? 2 ? 2 ? Cn ? 2 x 2 ? n ? 2 ? ? ... ? ? Cn x n ?1 ? ? Cn ?1 x? n ?1 ? ? ? 2 ? 2n 2 ?? x x ? ? x x ? x x ?? ?
1 2 n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? 2 ? 2n ? 2n ? 2 ? 2 ? 2n ? 0 ,

·6·

? ? g ? x ?? ? 2 ? ? g ? xn ?? ? 2n . ? ? ? ?
n

sin 21.(1) f ? ? x ? ? ? ?2 x ? 1? e?2 x则f ? ?1? ? e2 ; g ? ? x ? ? a ? 2 x ? cos x ? x? x
g ? ? 0 ? ? a ? 1 ,由题设可得: e2 ? a ? 1? ? ?1? a ? ?
1 ?1 e2

(2)设 F ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ? ?1 ? x ? e x ,则 F ? ? x ? ? xe x ?1 ? e ?2 x ? ,当 x ? ? 0,1? 时,

F ? ? x ? ? 0 恒 成 立 , ? f ? x ? 在x ? ? 0,1? 时 , 为 单 调 递 增 函 数 , F ? x ?min ? f ? 0 ? ? 0 则

?1 ? x ? e? x ? ?1 ? x ? e x ? 0 恒成立,则 ?1 ? x ? e? x ? ?1 ? x ? e x
(1) 由(2)可得 e-2 x ?
1? x , 1? x

f ? x ? ? g ? x ? ? ?1 ? x ?? ?2 x ? ? ax ? x 2 ? 1 ? x ?cos x ? ? 1 ? x ? ? ax ? x 2 ? 1 ? x ?cos x ? e

? ? ?1 ? a ? x ? x 2 ? x?cos x ? x ? x ? cos x ? 1 ? a ?
设 G ? x ? ? x ? cos x ? 1 ? a ,则 G? ? x ? ? 1 ? sin x, x ? ? 0,1? , G? ? x ? ? 0 恒成立,

? x ? ? 0,1?时, G ? x ? ? G ? 0 ? ? ?2 ? a ,又? a ? ?2,? G ? x ? ? 0 恒成立,
? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? x ? cos x ? 1 ? a ? ? 0 恒成立,
即? f ? x ? ? g ? x ? 恒成立.

·7·


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