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江苏省海门中学2011-2012学年第二学期期中高一数学


江苏省海门中学 2011—2012 学年第二学期期中考试试卷 高一数学
注意事项: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试 时间为 120 分钟。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等用 0.5 毫米黑色墨水的签字写在 答题纸上,并贴好条形码. 3.主观题请在规定区域答题,在其他位置作答一律无效.请务必保持答题纸的整洁,不要 折叠,考试结束,将答题纸交回. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.经过点 A(3,2), 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 垂直的直线方程是 2.已知 A(2,-4) ,B(0,6) ,C(-1,5) ,则 AB ? 2 BC ? ▲ ▲

3.在 ? ABC 中, 如果 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则 ? ABC 的最大角的大小是 ▲ 4.在等差数列 { a n } 中,已知 S 6 ? 10 , S 12 ? 30 ,则 S 18 ? ▲ ▲ 。
? z b ?

5.已知直线 l 1 : ax ? 3 y ? 1 , l 2 : 2 x ? ( a ? 1) y ? 1 ,若 l 1 ∥ l 2 ,则实数 a 的值是 6.设 a ? ( x , 4 ) , b ? ( ? 1, 2 ) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则 x 的取值范围为 ▲ 7.已知 x , y , z 成等比数列, a 是 x , y 的等差中项, b 是 y , z 的等差中项,则
x a





8.已知线段 AB 两个端点 A ( 2 , ? 3 ) , B ( ? 3 , ? 2 ) ,直线 l 过点 P (1 , 2 ) 且过线段 AB 相交, 则 l 的斜率 k 的取值范围为 ▲
a 2011 a 2009 ?2012 a ?2010 a ?

9. 已知等比数列 { a n } 中, 公比 q ? 0 , a 1 ? a 4 ? 9,a 2a 3 ? 8 , 且 则





10.在 ? A B C 中, D 在线段 B C 上, BD ? 2 DC , AD ? m AB ? n AC ,则

m n

?



.

11. 运算符号: ? ”, “ 这个符号表示若干个数相乘, 例如: 可将 1×2×3×?×n 记作 ? i ,
i ?1
n

n

( n ? N ). 记 T n ?

?

?
i ?1

ai

, 其 中 ai 为 数 列 { a n }( n ? N ? ) 中 的 第 i 项 . 若 ▲ . ▲ .

T n ? n ( n ? N ), 则 a n ?
2

?

? 12.在△ ABC 中,A= 6 0 ,b=1,其面积为 3 ,则 ? A B C 外接圆的半径为

13.设 a , b , c 是任意的非零向量,且互相不共线,有下列命题: (1) ( a ? b ) c ? ( c ? a ) b ? 0 ; (2) a ? b ? a ? b ; (3) ( a ? b ) c ? ( c ? a ) b
a ? e ? a ? 2 e , 则 a 在 e 方向上的投影为
1 2

与 a 垂直; 4)已知 e 是单位向量, ( 。其中正确的命题序号是 ▲ .

14.定义函数 f ( x ) = [ x [ x ]] ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 如: [1 .5] =1, [ ? 1 .3] = -2.当 x∈ [0 , n ) (n∈ N ? )时,设函数 f ( x ) 的值域为 A,记集合 A 中的元素个数构成一 个数列 { a n } ,则数列 { a n } 的通项公式为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 15 分) 设 e 1 , e 2 是两个互相垂直的单位向量,已知向量 AB ? 3 e 1 ? 2 e 2 , CB ? e 1 ? ? e 2 ,
CD ? ? 2 e 1 ? e 2 ,

(1)若 A 、 B 、 D 三点共线,试求实数 ? 的值. (2)若 A 、 B 、 D 三点构成一个直角三角形,试求实数 ? 的值.

16.(本题满分 14 分)

过点 P(3,0)作直线 l ,使它被两条相交直线 l 1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 所 截得的线段恰好被 P 点平分。 (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与 x 轴的交点 Q,直线 l 3 经 过点 Q 且与向量 a ? ( 2 , 3) 垂直,求直线 l 3 的方程。
?

17.(本题满分 14 分) 已知在△ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 4 sin (1)若 sin A ? 2 sin B cos C ,试判断△ABC 的形状; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.
2

B ?C 2

? cos 2 A ?

7 2

18.(本题满分 15 分) 如图所示,某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径 20 mm ,满盘时直径 100 mm ,已 知卫生纸的厚度为 0.1 mm ,试问满盘时卫生纸的总长度大约是多少米( ? 取 3.14,精确到 1 m )?

19.(本题满分 16 分)

已知函数 f ( x ) ?

3 2

s in 2 x ?

1 2

(c o s x ? s in x ) ? 1 , x ? R ,将函数 f ( x ) 向左平移
2 2

?
6

个单位后得函数 g ( x ) ,设 ? A B C 三个角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c . (Ⅰ)若 c ?
7 , f ( C ) ? 0 , sin B ? 3 sin A ,求 ? ABC 的面积;

(Ⅱ)若 g ( B ) ? 0 且 m ? (cos A , cos B ) , n ? (1, sin A ? cos A tan B ) ,求 m ? n 的取值范 围.

20.(本题满分 16 分) 设 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 S n ?1 ? p S n ? q ( p , q 为 常 数 , n ? N
a 1 ? 2, a 2 ?1 a 3 ? q ? 3 p ,
*

) ,

(1)求p,q的值; (2)求数列 { a n } 的通项公式; (3)若 a ? b ? 0 则
1 a ? 1 b

,那么是否存在正整数m,n,使

Sn ? m S n ?1 ? m

? 2

2
m

m

?1

成立?若存

在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n) ;若不存在,说明理由。

海门中学 2011—2012 学年第二学期期中考试试卷 高一数学(参考答案)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1. x ? 4 y ? 5 ? 0 6. x ? 8 且 x ? ? 2

2. (-4,8) 7.2

3. 120

0

4.60

5. a ? ? 3
1 4

8. k ? ? 5 或 k ? 1

9. 4 或

10.

1 2

?1       n ? 1 ? 11. a n ? ? n 2 ) n? 2 ?( ? n ?1

12. 3

13. (3) (4) 14. a n =1+

n ( n ? 1) 2



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1) BD ? CD ? CB ? ( ? 2 e 1 ? e 2 ) - ( e 1 ? ? e 2 ) = ? 3 e 1 ? (1 ? ? ) e 2 ∵ A 、 B 、 D 三点共线,∴ AB ? ? BD 即 3 e 1 ? 2 e 2 = ? [ ? 3 e 1 ? (1 ? ? ) e 2 ] ? ?
? 3 ? ?3? ? ? ? ?3

? 2 ? ? (1 ? ? )

(2) AD ? AB ? BC ? CD ? ( ? ? 2 ) e 2 若 ? A ? 90 则 AB ? AD ? 2 ( ? ? 2 ) e 2
0 0
2

? 0 ? ? ? ?2
2

若 ? B ? 90 则 AB ? BD ? ? 9 e 1 ? 2 ( ? ? 1) e 2 若 ? D ? 90 则 BD ? AD ? ( ? ? 1)( ? ? 2 ) e 2
0
2

2

? 0 ? ? ?

7 2

? 0 ? ? ? ?2 或? ? ?1

综上所述实数 ? 的值为 ? ? ? 2 或 ? ? ? 1 或 ? ?

7 2

16.解: (1)设直线 l 与 l 1 的交点坐标为 A ( x , y ) ,则 l 与 l 2 的交点坐标为 B ( 6 ? x , ? y ) 由方程组 ?
?x ? 2 ? ? 即 A(2,2) ?6 ? x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2
? 2x ? y ? 2 ? 0

所以直线 l 的方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (2)? 直线 l 与 x 轴的交点 Q 的坐标为 ( 3 , 0 )
? ? 直线 l 3 经过点 Q 且与向量 a ? ( 2 , 3) 垂直
? 直线 l 3 的斜率为 ?

??7 分

2 3

所以直线 l 3 的方程为 y ? ?

2 3

( x ? 3) 即 2 x ? 3 y ? 6 ? 0
2

??14 分 2分

17.解: (1)由已知得 2[1-cos(B+C) ]-(2cos A-1)= ∵cos(B+C)=-cosA,
2

7 2



3分
2

∴4cos A-4cosA+1=0, ∴(2cosA-1) =0,即 cosA=

1 2

. ∴A=60°. 6 分

∵ sin A ? 2 sin B cos C ∴ sin( B ? C ) ? 2 sin B cos C ? sin( B ? C ) ? 0 ∴ B ? C ? A ? 60 ,故△ABC 是等边三角形
0

(2)∵a =b +c -2bccosA=b +c -bc=(b+c) -3bc, ∵a= 3 ,b+c=3, 8 分 ∴3=9-3bc,∴bc=2, 10 分

2

2

2

2

2

2

? b ? c ? 3, ?b ? 2 ?b ? 1 由? 解之得 ? 或? . ? bc ? 2 , ?c ? 1 ?c ? 2

12 分

18.解:卫生纸的厚度为0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似 地看做是一组同心圆,由内向外各圈的半径分别为 10.05, 10.15,…,49.95. 因为各圈半径组成首项为 10.05,公差为 0.1 的等差数列, 设圈数为n,则 49.95=10.05+(n-1)×0.1, 所以n=400. 显然,各圈的周长组成一个首项为 20.1π ,公差为0.2π ,项数为400的等 差数列. 根据等差数列的求和公式,得 S ? 20 . 1? ? 400 ?
24000 ? ( mm ) ? 75 . 36 ( m )

400 ? ( 400 ? 1) 2

? 0 . 2 ? ? 24000 ? ( mm )



满盘时卫生纸的长度约为 75m.
3 2 ? 3 2
f ( C ) ? s in ( 2 C ?

19.解:(Ⅰ) f ( x ) ?

s in 2 x ?

1 2

(c o s x ? s in x ) ? 1
2 2

s in 2 x ?

1 2

c o s 2 x ? 1 ? s in ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ???????1 分

?
6

) ? 1 ? 0 ,所以 s in ( 2 C ? , ) ,所以 2 C ?

?
6

) ?1

因为 2 C ?

?
6

? (?

? 1 1?
6 6

?
6

?

?
2

,所以 C ?

?
3

?????3 分

由余弦定理知: a ? b ? 2 a b c o s
2 2

?
3

? 7,

因为 sin B ? 3 sin A ,由正弦定理知: b ? 3 a ?解得: a ? 1, b ? 3 ???6 分 所以 ? A B C 的面积为 S ? ABC ? (Ⅱ)由条件知 g ( x ) ? s in ( 2 x ? 所以 s in ( 2 B ? 因为 2 B ?
?
6

1 2

? 1 ? 3 ? sin

?
3

?

3 3 4

?
6

) ? 1 所以 g ( B ) ? s in ( 2 B ?

?
6

) ?1 ? 0 ,

?
6

) ?1

?(

? 1 3?
, 6 6

) ,所以 2 B ?

?
6

?

?
2

即B ?

?
6

?? m ? (c o s A ,
?? ?

? 3 3 cos A) ) , n ? (1, s in A ? 3 2
3 2
5 6
? S 2 ? p a1 + q , ? S3 ? pS2 + q,
Sn ? 2 ? 1 2 ? 1 2

于是 m ? n ? c o s A ?
?B ?

(s in A ?

3 3

cos A) ?
?(

1 2

cos A ?

3 2

s in A ? s in ( A ?

?
6

)

?
6

? A ? (0 ,

?)得 A?

?
6

?
6

, ? ) ???????????10 分
1 ? ?p ? , 2 ?q ? 2 . ?

20.解:⑴ 由题意,知 ?
1 2

即?

?3 ? 2 p + q, ?3 + q ? 3 p ? 3 p + q,

解之得 ?

??? 4 分

⑵ 由⑴知, S n ? 1 当n≥
2

?

,① ,② ,????????? 6 分
*

时, S n

S n ?1 ? 2

① ? ②得, a n ? 1 又 a2
? 1 2 ? 2

an ? n ≥ 2 ? 1 2

a 1 ,所以 a n ? 1 ? 1
n?2

an ? n ? N

? ,所以 ? a ? 是首项为 2 ,公比为 的等比数列,
n

1

2

所以 a n

.?????????? 8 分
2 (1 ? 1 2 1 2
n

) ? 4 (1 ?

⑶由⑵得, S n

? 1?

1 2
n

) ,由

Sn ? m S n ?1 ? m

? 2

2
m

m

?1

,得

4 (1 ? 4 (1 ?

1 2 1 2
n

)?m ? 2

2
m

m

)?m n +1
2

?1

,即

2 (4 ? m ) ? 4
n n

2 (4 ? m ) ? 2

? 2

2
m

m

?1

,????????? 10 分



2 (4 ? m ) ? 2
n

? 2

1
m

?1

,因为 2 m ? 1 ? 0 ,所以 2 n ( 4 ? m ) ?

2



所以 m ? 4 ,且 2 ?

2 (4 ? m ) ? 2
n

m +1

+4

, (? )

因为 m ? N * ,所以 m 当m 当m 当m

? 1或2
n

或 3 .??????????? 12 分 ,所以 n
?1;

? 1 时,由 ( ? ) 得, 2 ? 2 ? 3 ? 8

? 2

时,由 ( ? ) 得, 2 ? 时,由 ( ? ) 得, 2

2 ? 2 ? 12
n

,所以 n

?1或2



?3

? 2 ? 2 0 ,所以 n ? 2
n

或3 或 4 ,

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 ( m , n ) 为:
(1,1), ( 2,1), ( 2, 2 ), (3, 2 ), (3, 3), (3, 4 )

.????????????????? 16 分


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