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2015西城高三数学一模理科答案


2015 年高三西城区一模理科数学试卷解析

1. B 【解析】注意集合 A 中最大元素为 1. 2. C 【解析】 z ? 3. D 【解析】 ? ? 2cos? ? ? 2 ? 2? cos? ? x2 ? y 2 ? 2 x ? ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,
2

3 ? i ? 3 ? i ? i 3i ? i 2 ? ? ? ?1 ? 3i ,所以对应点为 ? ?1, ? 3? ,所以位于第三象限. ?1 i i2

所以图象为圆心为 ?1 , 0 ? ,半径为 1 的圆,所以选 D. 4. B 【解析】根据程序循环可知,注意程序跳出的位置即可. 5. B 【解析】函数为增函数显然可推出前一个命题,但是前一个命题并不能推出函数为增函数,
? ?1 ? ? x , x ? ? ?? , 0 ? ? 2 , 0 ? ? ? ? 例如: f ? x ? ? ? ?0 , x ? ? 0 , 1 ? ? ? ? ? 2? ?

6. A 【解析】几何体为正方体切去右后上方的一个角之后得到的几何体. 7. A

?6 x ? 3 y ? 24 【解析】设玫瑰价格为 x ,康乃馨的价格为 y ,则根据题意有: ? ,如图所示: ?4 x ? 4 y ? 20
y 2x+y=8 x+y=5

O

x

阴影部分为可行域,目标函数为 2 x ? 3 y ? z ? y ? 因此 2 x ? 3 y ,所以 2 支玫瑰价格高.

2 z x ? ,如图可知, z ? 0 , 3 3

8. D 【解析】解法一:显然,过点 A 与 x 轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点 A 对称,且 这两个点在同一条曲线上. 当对称的两个点分属两段曲线时,设其中一个点为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ?
x12 ,且 4 ,这个点在曲线

?4 ≤ x1 ≤ 4 , 则 其 关 于 点 A 的 对 称 点 为 ? ? x1 , 2a ? y1 ?
1 2 x ? 5 上,所以 16 x2 1 1 2a ? y1 ? ? x12 ? 5 ,即 2a ? 1 ? ? x12 ? 5 , 4 16 16 3 2 所以 2a ? x1 ? 5 ,这个方程的 x1 的解必须刚好有两个. 16 当 x1 ? 4 时,其对称点的横坐标刚好为 ?4 ,所以 x1 ? ?4 . y??
于是 ?4 ? x1 ? 4 且 x1 ? 0 ,因此 2a ?

3 2 ?5 ? 4? . x1 ? 5 ? ? 5 , 8? ,即 a ? ? , 16 ?2 ?

解法二: a ? 2.5 时为特殊情况,根据图形对称性可知有两对或四对,必不满足有 三对的情况,因此只能选 D.

9.

2

【解析】 a ? b ? a ? b ? a ? b a ? b ? 0 ? a ? b ? a ? b 所以 b ? 12 ? ? ?1? ? 2
2

?

? ?

? ?

??

?

2

2

10. x 2 ?

y2 ?1 3

【解析】抛物线为 y 2 ? 8 x ,所以焦点为 ? 2 , 0 ? ,因此 c ? 2 , 又因为离心率为 2,所以
a 2 ? b2 ? c 2 ? b2 ? 3 ,

c ? 2 ,所以 a ? 1 , a

所以双曲线方程为 x 2 ? 11.

y2 ?1 3

7
2 7 21 , sin 2 B ? cos2 B ? 1 ? sin B ? , 7 7
2? 3 2 ? 7 21 7

【解析】 cos B ?

a b b sin A ? ? ?a? ? sin A sin B sin B

12. 682 【解析】根据 am? n ? am ? an ? an?1 ? an ? a1 ? ?2an ,所以 an 是首项为 ?2 ,公比为 ?2 的等比数
10 ?2 ?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 682 . 列,因此 S10 ? 1 ? ? ?2 ?

13. 24 【解析】 B、C 捆绑在一起后有 BC 和 CB 两种情况,捆绑之后他们必须在 D 前面,因此看成 有 4 个空,编号为 1、2、3、4,将 A 、 BC 或 CB 、 D 、 E 这四个排在四个空里, BC 或 CB 排在 1 号位,则 D 有三种排法, A 和 E 有两种排法, BC 或 CB 排在 2 号位,则 D 有两种排法, A 和 E 有两种排法, BC 或 CB 排在 3 号位,则 D 有一种排法, A 和 E 有两种排法, 所以一共有 2 ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? ? 24 种排法.
? 6? 1 0 , 14. ? ?; . ? 2 ? 8 ?

B C ? E 【解析】设 AB ? x , 其它边的长均为 1 , 取 AB 中点 E , 连 CE , 则A DE ,
CE ? DE ? 1 ?
于是 F ? x ?
2

, AB ? DE .

1 x2 1 x ,等腰三角形 △CDE 的面积为 S△CDE ? ? 1 ? 1 ? ? . 2 4 4 4

1 1 1 ? VA?CDE ? VB ?CDE ? S△CDE ? AE ? S△CDE ? BE ? S△CDE ? AB 3 3 3
1 x2 1 1? ? ? x ? ? 6 4 4 x2 ?3 ? x2 ? 12

3? 9 ? ? ? x2 ? ? ? 2? 4 ? ? 12 9 1 ≤ 4 ? 12 8
? 1 6? 所以 F ? x ? 的单调增区间是 ? ? 0,2 ? ? ,最大值为 8 . ? ?

2

15.

π 【解析】⑴ f ? x ? ? 4cos x sin( x ? ) ? 3 3

? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 =sin2x ? 3 cos 2 x
π? ? =2sin ? 2 x ? ? 3? ? π ? π 2π ? ? π? 当 x ? ?0 , ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? 3 ? 3 3? ? 2?
所以 f ? x ? 的值域为 ? 2? ?? 3 , ?

π? π? 1 ? ? ⑵ f ? x ? =2sin ? 2 x ? ? ? 1 ,所以 sin ? 2 x ? ? ? 3 3? 2 ? ? ?
2x ? π π π 5π , k ?Z ? 2kπ ? 或 2 x ? ? 2kπ ? 3 6 3 6 π . 3

所以当 f ? x ? ? 1 时两交点的最短距离为

16. 【解析】⑴设乘坐地铁的票价小于 5 元的事件为 ?

P(? ) ?

60 ? 40 5 ? 120 6 1 1 ,选出的乘客票价为 4 元是概率为 , 2 3

⑵由题意知选出的乘客票价为 3 元是概率为 选出的乘客票价为 5 元是概率为
7 ,,, 8 9 10 X 的可取值为, 6 ,

1 . 6

1 1 1 P( X ? 6) ? ? ? 2 2 4 P( X ? 7) ? C1 2 P( X ? 8) ? C1 2 1 1 1 ? ? 2 3 3 1 1 1 1 5 ? ? ? ? 2 6 3 3 18

1 1 1 P( X ? 9) ? C1 ? ? 2 3 6 9 1 1 1 P( X ? 10) ? ? ? 6 6 36

X

6

7

8

9

10

P( X )

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

1 1 5 1 1 22 E ( X ) ? 6 ? +7 ? +8 ? +9 ? +10 ? = 4 3 18 9 36 3
⑶ 20 ? s ≤ 22

17、
AG ? EF 【解析】 (1)证明:由 AE ? AF , E 为 EF 的中点,故 EF ∥ CD ? ? ? ? AG ? AD EF , AD ? ADEF ? ?

面 ADEF ? 面 ABCD 及面 ADEF 面 ABCD ? AD 则 AG ? 面 ABCD . (2) 建立以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴, AD 为 y AG 为 z 轴的坐标系, 则 A(0,0,0),
B(4,0,0), C(4, 4,0) ,设 G(0,0, z1 ) ,则 E (0,1, z1 ) , F (0, ?1, z1 ) .

AE ? (0,1, z1 ), AC ? (4, 4,0) .
设平面 ACE 的法向量为 n ? ( x0 , y0 , z0 )
? 1 ? AE ? n ? 0 则? ,则 n ? (1, ?1, ) z0 ? ? AC ? n ? 0

设直线 BF 与平面 ACE 缩成夹角为 ? 则 sin ? ? cos ? BF ? n ??
BF ? n BF ? n ? 2? 2 1 17 ? z12 z12 ? 6 9

那么得 z1 ? 1, 或 z1 ?

34 2

34 . 2 (3)存在,点 M 是 AC 的靠近 A 的四等分点.
所以 AG 的长度为 1 或 过点 M 做 BC 的平行线交 AB 于点 N .则 MN ∥ BC 且 MN = 根据题意可得 FG =

1 BC , 4

1 BC ,所以 MN ∥ FG ,因此 FN ∥ MG , 4

而 FN ? 面 ABF 且 MG ? 面 ABF , 所以 MG ∥ 面 ABF . 由于点 M 是 AC 的靠近 A 的四等分点,所以

AM 1 ? . MC 3

【解析】 (1)当 n ? 1 时,得 f ( x) ? 令 f ?( x) ? 0 得 x ? e .

ln x 1 ? ln x ,则 f ?( x) ? x x2

f ? x ? 的定义域是 (0, ??) ,

f ( x) 的单调性如下表 x (0,e) f ?( x) f ( x)
?

e

0 极大值

(e, ??) ?

当 x ? (0, ??) 时, f ? x ? 的极大值在 x ? e 处取到,即为最大值 f (e) ? 所以当 n ? 1 时, y ? f ( x) ? 1 在 x ? (0, ??) 内无零点.
e x ( x n ? nx n ?1 ) ex (2) g ( x) ? n 则 g ?( x) ? ? x2n x n e x (1 ? ) x ? 0得 x ? n. 令 g ?( x) ? xn n e x x n (1 ? ) x , 2n x

1 ?1. e

当 x 在 (0, ??) 变化时, g ( x) 的单调性如下表 x n (0, n) ? g '( x) 0 极小值 故 g ( x) 在 x ? (0, ??) 的极小值即为最小值. 根据题意, g ( x) 在直线 y ? 1 的上侧. 那么有 g (n) ? 1 即 g (n) ?
g ( x)

(n, ??)
?

en ? 1 ,满足条件的 n 有 1, 2 . nn 且有 f ( x) ? 1 成立,由第一问可知当 n ? 1 时满足要求,只需验证 n ? 2 .

此时 f ( x) ?

ln x 1 ? 2ln x , f ?( x) ? 则有 f ( x) 在 (0, e) 递增,在 ( e, ??) 上递减, 2 x x3

1 ? 1 成立,即 n ? 2 时成立. 2e 综上可得, n 的所有取值为 1, 2 .
故有 f ( x)max ? f ( e) ?

19.

3 3 【解析】⑴因为 P(1, ), C (0, ), F1 (?c,0) 三点对称,所以 c ? 1 2 4
b2 3 a2 ? 1 3 ? , ? , a 2 a 2 所以 (2a ? 1)(a ? 2) ? 0 ,所以 a ? 2 .

当 x ? c 时,

⑵由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1?
? x2 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 4 3 ? y ? kx ? k ?

得 ? 3+4k 2 ? x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
x1 ? x2 ? 8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

AB = 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 4 1 ? k 2

9 ? 9k 2 3 ? 4k 2

直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? ?
? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 联立 ? ? y ? k ? x ? 1? ? 3 ? 2 ?

3 2

?3+4k ? x ? ?12 ? 8k ? kx ? 4k
2 2

2

? 12k ? 3 ? 0
4k 2 ? 12k ? 3 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

? ?12 ? 8k ? k 3 ? 4k
2

, x1 ? x2 ?

PQ = 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 4 3 1 ? k 2

12k 2 ? 12k ? 3 3 ? 4k 2

若四边形 APBQ 的对角线互相平分,则只需四边形 APBQ 是平行四边形 所以 AB ? PQ 即 4 1 ? k 2 解得 k ?
9 ? 9k 2 12k 2 ? 12k ? 3 2 4 3 1 k ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

3 . 4

20. 【解析】⑴ P 1? , P2 ?1, 2 ? , p3 ? 2 , 2 ? , P4 ? 3 , 2? ; 1 ?1 ,
P 1? , P2 ? 2 , 1? , p3 ? 2 , 2 ? , P4 ? 3 , 2? ; 1 ?1 ,

P 1? , P2 ? 2 , 1? , p3 ? 3 , 1? , P4 ? 3 , 2? . 1 ?1 ,

⑵ 由已知有 xi ? yi ? xi ?1 ? yi ?1 ? 1 , 又 x1 ? y1 ? 2 , 则 xi ? yi ? i ? 1 ? i ? 2 , 3, , k? . . 2 2 若题目结论成立,则 k ? k ? 3? 应该是 2 的幂的形式,但是 k 和 k ? 3 必定是一个
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

于是 ? xi ? ? yi ? ? ? xi ? yi ? ? ? ? i ? 1? ?

k

k

k

k

? 2 ? k ? 1? k

?

k ? k ? 3?

奇数和一个偶数,且都不小于 2 ,所以它们的乘积不可能是 2 的幂,矛盾. 因此不存在点列 T 使得结论成立. k k k k k k k ? k ? 3? ,又 ? xi ? ? yi ≥ 2 ? xi ? ? yi , ⑶ 由⑵有 ? xi ? ? yi ? 2 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 所以 2
k

?x ?? y
i ?1 i i ?1

k

k

i



k ? k ? 3? 2

? k ? k ? 3? ? ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ? ? ? xi ? ? yi ≤ ? ? ?? ? 4 2 i ?1 i ?1 ? ? ? ?
k k 2

2

因为 ? xi ? ? yi 是正整数,所以
i ?1 i ?1

k

? ? n ? 1?2 ? 2n ? 1?2 n是奇数 , ? k k ? 4 xi ? ? yi ≤ ? ? 2 2 i ?1 i ?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? ? 1 n是偶数 , ? 4 ?

下面构造点列使得上面的取值可以取到. 当 n 是奇数时, 构造点列前 4 个为 ?1, 1? , 2? , 2? , 2? ,其后面 4 个点是这 4 个点的横 ?1, ? 2, ? 3, 纵坐标都加 2 ,以此类推,最后剩一个点的坐标是 ? n , n ? ,这样构造出来的点 列,所有点的横纵坐标的和刚好相等.
? k ? k ? 3? ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? 而 ? xi ? ? yi ? ,所以 ? xi ? ? yi ? ? . ? ? 4 4 2 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? ? 当 n 是偶数时,构造点列前面的和 n 是奇数时一样,只不过最后剩 3 个点,这 3 个点的坐标为 ? n ? 1, n ? 1? , n? , n ? ,这样构造出的点列,其横纵坐标 ? n ? 1, ?n ,
k k

k ? k ? 3?

k

k

2

2

2

和刚好相差 1 ,所以此时 k ? k ? 3? k ? k ? 3? ?1 ? 1 n ? 1 2 2n ? 1 2 ? 1 k k ? ?? ? 2 2 x y ? ? ? ? . ? ? i i 2 2 4 i ?1 i ?1
? ? n ? 1?2 ? 2n ? 1?2 n是奇数 , ? k k ? 4 综上, ? xi ? ? yi 的最大值为 ? 2 2 i ?1 i ?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? ? 1 n是偶数 , ? 4 ?

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