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甘肃省兰州一中2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷


兰州一中 2014-2015-2 学期高一年级期末考试 数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 100 分, 考试时间 100 分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 已知两个非零向量 a,b 满足 a +b = a -b ,则下面结论正确是 A. a // b 2. 已知 sin ? ? A. 2 3. 在 ?ABC 中, ?B ? B. a ? b C. a = b ( D. a +b = a -b )

5 ? , 且 ? ? ( , ? ) , 则 tan 2? ? 5 2
B.

( D. ?



?
4
B.

4 3

C. ?2

4 3
( )

, AB ? 2, BC ? 3 ,则 sin A 等于
10 5
C.

A.

3 10 10

10 10

D.

5 5


4. 为了得到函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象,可以将函数 y ? 4sin x cos x 的图象 ( A. 向右平移 C. 向右平移

?
?
12
6

个单位

B. 向左平移

?
12

个单位 个单位 ( )

个单位

D. 向左平移

?

6

5. 函数 y ? cos 2 x ? 2 cos x 的值域是 A. [?1,3] B. [ ?

3 ,3] 2

C. [ ?

3 , ?1] 2

D. [ ,3] ( )

3 2

6. 设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? 0, 则 (a ? c) ? (b ? c) 的最小值是 A. 1 ? 2 B.

2 ?1

C. 1 ? 3

D.

3 ?1

7. 在 ?ABC 中, 若 sin A ? sin B ? cos 2 A. 直角三角形 C. 等边三角形

C , 则 ?ABC 的形状为 2
B. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形





8. 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) ,若 f ( x) 在区间 [

? ?

, ] 6 2

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上具有单调性,且 f ?

?? ? ? 2? ? ?? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为 ?2? ? 3 ? ?6?
3? 4
C.





A.

2? 3

B.

?

D. 2?

9. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1, P, Q 分别为 AB, DA 上的点.当 ?APQ 的周长为 2 时,则 ?PCQ 的大小为 A. ( C. )
D C

?
6

B.

?
4

?
3

D.

5? 12

Q

A

P

B

10.对任意两个非零的向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ?

? ?? ;若向量 a, b 满足 ? ??

? ?n ? a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) ,且 a b, b a 都在集合 ? | n ? Z ? 中, 4 ?2 ?
则 a b? A. ( B. 1 C. )

1 2

3 2

D.

5 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 已知向量 a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若 λ 为实数,( a +λ b )∥ c ,则 λ=_____. 12. 函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是 ________________. 13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? 3CE ,则 AD ? BE ? _____. 14. 函数 f ? x ? ? sin( ? ? x) cos( ? ? x) 的最大值为_________.

2

6

15. 下面五个命题中, 其中正确的命题序号为________________. ①若非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b , 则存在实数 ? ? 0, 使得 b ? ? a ; ②函数 f ( x) ? 4 cos(2 x ?

?

6 ③在 ?ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ;
④ 在 (?

) 的图象关于点 (?

?
6

, 0) 对称;

? ?

, ) 内方程 tan x ? sin x 有 3 个解; 2 2

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⑤若函数 y ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 为奇函数,则 ? ? k? ? 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.(8 分)已知 tan ? ? 2 . (Ⅰ)求 tan ? ? ?

?
2

(k ? Z ) .

? 的值; 4? sin 2? (Ⅱ)求 的值. 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1

? ?

??

17.(8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? (

2 2 ,? ), 2 2

n ? (sin x, cos x) , x ? (0, ) . 2 (Ⅰ)若 m ? n ,求 tan x 的值;
(Ⅱ)若 m 与 n 的夹角为

?

?

3

,求 x 的值.

18.(10 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? c . 已知 BA ? BC ? 2, cos B ? (Ⅰ) a 和 c 的值; (Ⅱ) cos( B ? C ) 的值.

1 , b ? 3. 求: 3

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [? (Ⅲ) 求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

? ?

?

, ] 上的值域; 4 3 ) ? f (x ?

?

12

12

) 的单调递增区间.

20. (12 分)函数的性质通常指函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等,请选择 适当的探究顺序,研究函数 f ( x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出 其在 [?? , ? ] 上的图象.

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答题卡
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.________________ 12._________________________ 13. ________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14.________________ 15. ________________ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.(8 分)已知 tan ? ? 2 . (Ⅰ)求 tan ? ? ?

? 的值; 4? sin 2? (Ⅱ)求 的值. 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1

? ?

??

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17.(8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? (

2 2 ,? ), 2 2

n ? (sin x, cos x) , x ? (0, ) . 2 (Ⅰ)若 m ? n ,求 tan x 的值;
(Ⅱ)若 m 与 n 的夹角为

?

?

3

,求 x 的值.

18.(10 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? c . 已知 BA ? BC ? 2, cos B ? (Ⅰ) a 和 c 的值; (Ⅱ) cos( B ? C ) 的值.

1 , b ? 3. 求: 3

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19.(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [? (Ⅲ) 求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

? ?

?

, ] 上的值域; 4 3 ) ? f (x ?

?

12

12

) 的单调递增区间.

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20. (12 分)函数的性质通常指函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等,请选择 适当的探究顺序,研究函数 f ( x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其 在 [?? , ? ] 上的图象.

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兰州一中 2014-2015-2 学期期末考试数学试卷参考答案
一、 题号 答案 选择题(每题 3 分,共 30 分) 1 B 2 D 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 B 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.

1 2

12. (?

?
2

? k? ,

?
4

? k? ] ( k ? Z )

13. ?

1 4

14.

2? 3 4

15. ②③⑤

三、 解答题(本大题共 5 小题,共 50 分)

4 ? 2 ? 1 ? ?3. 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 ?1 4 2sin ? cos a (Ⅱ)原式 ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? tan ? ? 2 2? 2 ? 2 ? 1. 2 ?2?2
16. 解: (Ⅰ) tan(? ?

?

)?

tan ? ? tan

?

……………4 分

……………8 分

17. 解: (Ⅰ)由题意知∵ m ? n ,∴ m n ? 0

由数量积坐标公式得∴

2 2 sin x ? cos x ? 0 ,∴ tan x ? 1 2 2

……………4 分

(Ⅱ)∵ m 与 n 的夹角为

?
3

2 2 sin x ? cos x mn 1 ? 1 2 ? 2 ? ,∴ sin( x ? ) ? ∴ cos ? m, n ?? 1? 1 2 4 2 |m| |n|
又∵ x ? (0, ∴x?

?
2

) ,∴ x ?

?
4

? (?

? ?

, ) 4 4
……………8 分

?
4

?

?
6

,即 x ?

5? 12 .

18. 解: (Ⅰ)由 BA BC ? 2 得 ac ? cos B ? 2 . 又 cos B ?

1 ,所以 ac ? 6 . 由余弦定理得 3 1 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ? cos B .又因为 b ? 3 ,所以 a 2 ? c 2 ? 32 ? 2 ? 6 ? ? 13 . 3
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解?

?ac ? 6 ?a ? c ? 13
2 2

得?

?a ? 2 ?a ? 3 ?a ? 3 或? .因为 a ? c , 所以 ? . ?c ? 3 ?c ? 2 ?c ? 2
2

……………5 分

(Ⅱ) 在 ?ABC 中,sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?
2

1 3

2 2 b c .由正弦定理得 , ? 3 sin B sin C

所以 sin C ?

c sin B ? b

2?

2 2 3 ? 4 2 .因为 a ? c ,所以角 C 为锐角. 3 9
4 2 2 7 ) ? . 9 9
1 7 2 2 4 2 23 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27
……10 分

cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ? (

所以, cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ? 19. 解: (Ⅰ)由题设图象知,周期 T ? 2(

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? 因为点 ( , 0) 在函数图象上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又 0 ? ? ? ,? 即? = . ? ?? ? , 从而 ? ? =? , 2 6 6 3 6 6
又点 在函数图象上,所以 A sin (0,1)

?

6

? 1, A ? 2 ,

故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ) ?

?
6

).

……………4 分

?
4

?x?

?
3

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

5? 3 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1. 6 2 6
……………8 分

从而, f ( x) 的值域为 [? 3, 2] .

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? (Ⅲ) 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ? ? ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3

?

……………10 分

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由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12
……………12 分

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?
20.解:函数 f ( x) 性质:

定义域: ?

?1 ? sin x ? 0 ? x?R ?1 ? sin x ? 0
……………2 分

所以,函数 f ( x) 的定义域是 R ; 奇偶性: (1)函数 f ( x) 的定义域 R 关于原点对称

(2) f (? x) ? 1 ? sin(? x) ? 1 ? sin(? x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ( x) 所以, f ( x) 为偶函数; ……………4 分

周期性: f ( x ? ? ) ? 1 ? sin( x ? ? ) ? 1 ? sin( x ? ? ) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ( x) 所以, f ( x) 为最小正周期为 ? 的周期函数; ……………6 分

f ( x) ? sin 2

x x x x x x x x ? 2sin cos ? cos 2 ? sin 2 ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x ? cos ? sin ? cos 2 2 2 2

? sin

x ? ? 2 cos , x ? [0, ] ? ? 2 2 ?? ?2sin x , x ? ( ? , ? ] ? ? 2 2
图象: ……………8 分

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6

4

2





π

π









2

值域: [ 2, 2]

4

……………10 分

单调性: f ( x) 在区间 [k? , k? ?
6

?
2

] 上单调递减;在区间 [k? ?

?
2

, k? ? ? ] 上单调递增.
… … … … … 12


8

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