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浙江专版2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入


第四节

数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念 (1)复数的概念: 形如 a+bi(a, b∈R)的数叫复数, 其中 a, b 分别是它的实部和虚部. 若

b=0,则 a+bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). → 2 2 (4)复数的模:向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,即|z|=|a+bi|= a +b . 2.复数的几何意义 复数 z=a+bi (a,b). 3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. 复平面内的点 Z(a, b) → 平面向量OZ=

z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. z1?z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. z1 a+bi ac+bd bc-ad = = + i(c+di≠0). z2 c+di c2+d2 c2+d2
(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. → 如图 4?4?1 所示给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义, 即OZ=

OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2-OZ1.











图 4?4?1

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi.( ) )

(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(

1

(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.(

)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量 的模. ( ) (4)√

[答案] (1)? (2)? (3)?

2. (教材改编)如图 4?4?2,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的 点是( )

图 4?4?2 A.A C.C B [共轭复数对应的点关于实轴对称.]
2

B.B D.D

3.设 i 为虚数单位,则复数(1+i) =( A.0 C.2i C [(1+i) =1+2i+i =2i.] )
2 2

) B.2 D.2+2i

1+2i 4.复数 =( 2-i A.i C.-i A

B.1+i D.1-i

1+2i ?1+2i??2+i? 5i [法一: = = =i. 2-i ?2-i??2+i? 5

1+2i i?1+2i? i?1+2i? 法二: = = =i.] 2-i i?2-i? 2i+1 5.复数 i(1+i)的实部为________. -1 [i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.]

复数的有关概念 (1)若 z=1+2i,则 A.1 C.i 4i =( ) B.-1 D.-i

z z -1

2

(2)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为________. (1)C 4i (2)-2[(1)因为 z=1+2i,则 z =1-2i,所以 z z =(1+2i)(1-2i)=5,则

4i = =i.故选 C. z z -1 4 (2)由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i 是纯虚数可得 a+2=0,1-2a≠0,解得 a= -2.] [规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部 与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即 a+

bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.
2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数 z,然后利用复数模的定义 求解. [变式训练 1] (1)(2017?嘉兴二次质检)已知 i 为虚数单位,复数 z= ( ) 1 A.- 5 C. 1 5 ) B. 2 2 2 B.- 5 D. 2 5 i 的虚部为 2+i

1 (2)设 z= +i,则|z|=( 1+i A. C. 1 2 3 2 (2)B

D.2 i i?2-i? 1+2i 1 2 2 [(1)复数 z= = = = + i,则其虚部为 , 2+i ?2+i??2-i? 5 5 5 5

(1)D 故选 D. (2)z=

1 1-i 1 1 +i= +i= + i,|z|= 1+i 2 2 2

?1?2+?1?2= 2.] ?2? ?2? 2 ? ? ? ?
复数代数形式的四则运算

(1)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( A.-2-i C.2-i B.-2+i D.2+i

)

(2)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为________. 【导学号:51062150】
3

a b

(1)C

i+1 (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1= =1-i,∴z=2-i,故选 C. i

(2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又 a,b∈R,∴1+b=a 且 1-b=0,得 a =2,b=1,∴ =2.] [规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分 母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度 1+i 1-i 2 4n (1)(1±i) =±2i;(2) =i;(3) =-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i =1; 1-i 1+i i
4n+1

a b

=i;i

4n+2

=-1;i

4n+3

=-i(n∈N).
2

?1-i? [变式训练 2] (1)已知 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=(

z

)

A.1+i C.-1+i (2)已知 i 是虚数单位,? (1)D

B.1-i D.-1-i

?1+i?8+? 2 ?2 018=________. ? ? ? ?1-i? ?1-i?
2 2

?1-i? ?1-i? -2i -2i?1-i? (2)1+i [(1)由 =1+i, 得 z= = = z 1+i 1+i ?1+i??1-i?

=-1-i,故选 D. (2)原式=? =i +?
8

?1+i?8+?? 2 ?2?1 009 ? ?? ?? ?1-i? ??1-i? ?

? 2 ?1 009=i8+i1 009 ? ?-2i?
4?252+1

=1+i

=1+i.] 复数的几何意义

(1)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取 值范围是( ) B.(-1,3) D.(-∞,-3) )

A.(-3,1) C.(1,+∞)

(2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( A.-5 C.-4+i (1)A 3,1). (2)A [(1) 由题意知 ?
? ?m+3>0, ?m-1<0, ?

B.5 D.-4-i 即- 3 < m < 1. 故实数 m 的取值范围为 ( -

4

(2)∵z1=2+i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又 z1 与 z2 在复平面内的对应点关 于虚轴对称,则 z2 的对应点的坐标为(-2,1)即 z2=-2+i, ∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i -4=-5.] → [规律方法] 1.复数 z、 复平面上的点 Z 及向量OZ相互联系, 即 z=a+bi(a, b∈R)?Z(a,
2

b)?OZ.
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何 联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. [ 变 式 训 练 3] (2017? 湖 州 二 次 质 检 ) 定 义 运 算 ? ( ) B.第二象限 D.第四象限



?a,b? ? = ad - bc , 则 符 合 条 件 ?c,d?

?z,1+i? ? ?=0 的复数 z 对应的点在 ?-i,2i?
A.第一象限 C.第三象限 B

?1+i??-i? 1 1 [由题意得 z?2i-(1+i)(-i)=0,所以 z= =- - i,则 z = 2i 2 2

1 1 ? 1 1? - + i 在复平面内对应的点为?- , ?,位于第二象限,故选 B.] 2 2 ? 2 2?

[思想与方法] 1.复数分类的关键是抓住 z=a+bi(a,b∈R)的虚部:当 b=0 时,z 为实数;当 b≠0

5

时,z 为虚数;当 a=0,且 b≠0 时,z 为纯虚数. 2.复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数. 3.化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚” 为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁. [易错与防范] 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小. 3.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,应注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 4.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,
2 2 z2∈C,z2 1+z2=0,就不能推出 z1=z2=0;z <0 在复数范围内有可能成立.

课时分层训练(二十五) 数系的扩充与复数的引入 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2017?宁波一模)在复平面内,复数(1+ 3i)?i 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B 选 B.] 2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( A.-3 C.2 A B.-2 D.3 ) B.第二象限 D.第四象限 )

[复数(1+ 3i)i=- 3+i 在复平面内对应的点为(- 3,1),位于第二象限,故

[(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i, 由题意知 a-2=1+2a, 解得 a=-3, 故选 A.] )

- 2 3.若复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则 z =( 1-i A.1+i C.-1+i B B.1-i D.-1-i

- 2 2?1+i? 2?1+i? [∵z= = = =1+i,∴ z =1-i.] 1-i ?1-i??1+i? 2 )

4.设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 C. 3 B B. 2 D.2

[∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi.

6

又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1. ∴|x+yi|=|1+i|= 2,故选 B.] 5.设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z ≥0,则 z 是实数 B.若 z <0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z ≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z <0 C [实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a -b
2 2 2 2 2 2 2 2

)

+2abi,由 z ≥0,得?

?ab=0, ? ? ?a -b ≥0,
2 2

,则 b=0,或 a,b 都为 0,即 z 为实数,故选项 A

为真,同理选项 B 为真;选项 C 为假,选项 D 为真.] 6. 若 i 为虚数单位, 图 4?4?3 中复平面内点 Z 表示复数 z, 则表示复数 的点是( 1+i

z

)

图 4?4?3 A.E C.G D ∴ [由题图知复数 z=3+i, 3+i ?3+i??1-i? 4-2i = = = =2-i. 1+i 1+i ?1+i??1-i? 2 B.F D.H

z

∴表示复数 的点为 H.] 1+i 7.已知复数 z=1+ A.1+i C.i D
2 020

z

2i 2 2 019 ,则 1+z+z +?+z =( 1-i B.1-i D.0

)

2i 2i?1+i? 2 2 [z = 1 + =1+ = i ,∴ 1 + z + z +?+ z 1-i 2
4?505

019

1??1-z = 1-z

2 020

?



1-i 1-i = =0.] 1-i 1-i

二、填空题

7

8.复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是________. 5 [因为 z=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i =5+5i,所以 z 的实部是 5.]
2

1+ai 9.已知 a∈R,若 为实数,则 a=________. 【导学号:51062151】 2-i - ∵ 1 1+ai ?1+ai??2+i? 2+i+2ai-a 2-a 1+2a [ = = = + i. 2 2-i ?2-i??2+i? 5 5 5 1+ai 1+2a 1 为实数,∴ =0,∴a=- .] 2-i 5 2

10.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为________. 3 [∵|z-2|= ?x-2? +y = 3,
2 2 2 2

y x

∴(x-2) +y =3. 由图可知? ?max=

?y? ?x?

3 = 3.] 1 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟)

1 3 1 3 1.已知复数 z1=- + i,z2=- - i,则下列命题中错误的是 2 2 2 2 A.z1=z2 B.|z1|=|z2| C.z1-z2=1 D.z1,z2 互为共轭复数 C
3 3 2

(

)

3 1 3 3 ?2 1-3 ? 1 2 [依题意,注意到 z1=?- + i? = - i=- - i=z2,因此选项 A 正确; 4 2 2 2 ? 2 2 ?

1 3 注意到|z1|=1=|z2|,因此选项 B 正确;注意到 z1 =- - i=z2,因此选项 D 正确;注 2 2 3 ?2 ? 1 3 ? ? 1 3 ?? 1 3 ? ? 1 3 2 3 意到 z1=z1?z1=?- + i? ??- + i?=?- - i??- + i?=1,同理 z2=1,因 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ?? 2 2 ? 此 z1-z2=0,选项 C 错误.综上所述,选 C.] 2.设 f(n)=? A.1 C.3 C [f(n)=?
3 3

?1+i?n+?1-i?n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( ? ? ? ?1-i? ?1+i?
B.2 D.无数个

)

?1+i?n+?1-i?n=in+(-i)n, ? ? ? ?1-i? ?1+i?

f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,?,
∴集合中共有 3 个元素.]
8

3.已知集合 M={1,m,3+(m -5m-6)i},N={-1,3},若 M∩N={3},则实数 m 的值 为________. 【导学号:51062152】 3 或 6 [∵M∩N={3},∴3∈M 且-1?M, ∴m≠-1,3+(m -5m-6)i=3 或 m=3, ∴m -5m-6=0 且 m≠-1 或 m=3, 解得 m=6 或 m=3.] 4.已知复数 z1=cos 15°+sin 15°i 和复数 z2=cos 45°+sin 45°i,则 z1?z2 =________. 1 3 + i 2 2 [z1?z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°
2 2

2

-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i 1 3 = + i.] 2 2

9


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