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高中数学 第一讲 坐标系 二、极坐标系课件 新人教版选修4-4


第一讲 坐标系

二 极坐标系

问题探究
下图是某校园的平面示意图.假设某 同学在教学楼处,请回答下列问题: o (1)他向东偏北60 方向走120m后到达 什么位置?该位置惟一确定吗? 实验楼 图书馆 (2)如果有人打听 D C 体育馆和办公楼的位 置,他应如何描述?
办公楼

E 45o o 50m 60 A 60m B
教学楼

120m

体育馆

讲授新课
1. 极坐标系的概念

在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再 选定一个长度单位、一个角度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针 方向),这样就建立了一个极坐标系. M ( ? ,? ) ? ? O x

讲授新课
1. 极坐标系的概念
设M是平面内一点,极点O与点M的 距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极 轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为?.有序实数对(?,?) 叫做点M的极坐标,记作M(?, ?).

M ( ? ,? )

O

? ?

x

讲授新课
1. 极坐标系的概念
设M是平面内一点,极点O与点M的 距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极 轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为?.有序实数对(?,?) 叫做点M的极坐标,记作M(?, ?). 一般地,不作特殊 说明时,我们认为?≥0, ?可取任意实数. O

M ( ? ,? )

? ?

x

E (4,
5? 6

例1. 如图,在极坐标系中,写出点A, ? B,C的极坐标,并标出点 D( 2, ), 6 3? 5? 所在的位置?
4 ),F ( 3.5,
? 2

3
? 6

)

2? 3

B A

? 3

?
7? 6

2?
11? 6

C 4?
3

3? 2

5? 3

E (4,
5? 6

例1. 如图,在极坐标系中,写出点A, ? B,C的极坐标,并标出点 D( 2, ), 6 3? 5? 所在的位置?
4 ),F ( 3.5,
? 2

3
? 6

)

2? 3

B A

? 3

5? 6

2? 3

? 2

? 3

B A D

? 6
2?
11? 6

?
7? 6

2?
11? 6

?
7? 6

C 4?
3

3? 2

5? 3

4? 3

C

3? 2

5? 3

E (4,
5? 6

例1. 如图,在极坐标系中,写出点A, ? B,C的极坐标,并标出点 D( 2, ), 6 3? 5? 所在的位置?
4 ),F ( 3.5,
? 2

3
? 6

)

2? 3

B A

? 3

5? 6

2? 3

? 2

? 3

E

B A D

? 6
2?
11? 6

?
7? 6

2?
11? 6

?
7? 6

C 4?
3

3? 2

5? 3

4? 3

C

3? 2

5? 3

E (4,
5? 6

例1. 如图,在极坐标系中,写出点A, ? B,C的极坐标,并标出点 D( 2, ), 6 3? 5? 所在的位置?
4 ),F ( 3.5,
? 2

3
? 6

)

2? 3

B A

? 3

5? 6

2? 3

? 2

? 3

E

B A D

? 6
2?
11? 6

?
7? 6

2?
11? 6

?
7? 6

C 4?
3

3? 2

5? 3

C 4?
3

F
3? 2

5? 3

例2. 在图中,用点A,B,C,D,E 分别表示教学楼,体育馆,图书馆, 实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标.

D
E

C
120m 60 3m
o

45 50m

o

60 A 60m B

例2. 在图中,用点A,B,C,D,E 分别表示教学楼,体育馆,图书馆, 实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标.

D
E

C
120m 60 3m
o

45 50m

o

60 A(O) 60m B

x

思考
?
6

在极坐标系中, (4, ),(4,
(4, ? 4? ),(4,

?

?
6

?
6

6

? 2? ),

? 2? ) 表示的点有什么

关系?你能从中体会极坐标与直角坐标 在刻画点的位置时的区别吗?

小结 极坐标(?,?)与(?,?+2k?)(k∈Z)表示 同一个点.特别地,极点O的坐标为(0,?) (? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定?>0,0<?≤2?,那么除 极点外,平面内的点可用惟一的极坐标 (?,?)表示;同时,极坐标表示的点(?,?) 也是惟一确定的.

问题探究 平面内的一个点既可以用直角坐标 表示,也可以用极坐标表示.那么,这 两种坐标之间有什么关系呢?

2. 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点,它的直角坐标是(x,y)极坐标是(?,?). 从下图可以得出它们之间的关系: y

O

x

? ?

M y N x

2. 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点,它的直角坐标是(x,y)极坐标是(?,?). 从下图可以得出它们之间的关系: y

x ? ? cos ? , y ? ? sin? . ①
O

x

? ?

M y N x

2. 极坐标与直角坐标的互化

由①又可得到下面的关系式:

y ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x
2 2 2

y

O

x

? ?

M y N x

2. 极坐标与直角坐标的互化

由①又可得到下面的关系式:

y ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x
2 2 2

这就是极坐标与 直角坐标的互化公式.

y

O

x

? ?

M y N x

2? 例3. 将点M的极坐标(5, )化成直角坐标 . 3

例4.

将点M的直角坐标 ( ? 3, ? 1)化成极坐标 .

课堂练习
1. 写出图中A,B,C,D,E,F,G各 点的极坐标( ?>0,0≤? <2? ).
? 2
5? 6

? 4
..

C

?

D E
4? 3

B A
5? 3

2?

F

G

课堂练习
2. 中央气象台在2004年7月15日10︰30 发布的一则台风消息:今年第9号热带 风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已 经移到了广东省汕尾市东南方大约440 公里的南海东北部海面上,中心附近最 大风力有9级. 请建立适当的坐标系,用 坐标表示出该台风中心的位置.

课堂练习

3.在极坐标系中,已知两 点A( 3,? ), 3 2? B(1, ),求A,B两点间的距离 . 3

?

? 课后作业
1. 设点 A( 2, ) ,直线l为过极点且垂直 于极轴的直线,分别求点A关于极轴、 直线l、极点的对称点的极坐标(限定?>0,
3

?

-?<?≤ ?). 2.教材P.12习题1.2第4、5题.


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