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创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题八数学思想方法选用第2讲分类讨论思想转化与化归思想训练文


专题八 数学思想方法(选用)第 2 讲 分类讨论思想、转化与化归思 想训练 文
一、选择题 1.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值是( A.1 1 C.1 或- 2 解析 1 B.- 2 1 D.-1 或 2
2

)

当公比 q=1 时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当 q≠1 时,a1q =7,

a1(1-q3) 1 1 =21,解之得,q=- 或 q=1(舍去).综上可知,q=1 或- . 1-q 2 2
答案 C 2.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于 R,Q → → 两点,则PR·PQ的值为( A.a
2

x2 y2 a b

) B.b
2

C.2ab

D.a +b

2

2

→ → 解析 当直线 PQ 与 x 轴重合时,|PR|=|PQ|=a,故选 A. 答案 A 3.函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 B.1
x
3

x

3

) D.3
x

C.2

解析 法一 函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数即函数 y1=2 -2 与 y2=-

x3 的图象在区间(0,1)内的交点个数.作图,可知在(0,+∞)内最多有一个交点,故排除
C,D 项;当 x=0 时,y1=-1<y2=0,当 x=1 时,y1=0>y2=-1,因此在区间(0,1) 内一定会有一个交点,所以 A 项错误.选 B. 法二 因为 f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+1 -2=1,所以 f(0)·f(1)<0.又函数 f(x) 在(0,1)内单调递增,所以 f(x)在(0,1)内的零点个数是 1. 答案 B 1 3 2 4.已知函数 f(x)=ln x- x+ -1,g(x)=-x +2bx-4,若对任意的 x1∈(0,2),任意 4 4x 的 x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立,则实数 b 的取值范围是( A.?-∞, )
3

? ?

14? ? 2 ?

B.(1,+∞)

1

C.?1,

? ?

14? ? 2 ?

D.?1,

? ?

14? ? 2 ?

解析 依题意,问题等价于 f(x1)min≥g(x2)max,

f(x)=ln x- x+ -1, 4 4x
1 1 3 4x-x -3 所以 f′(x)= - - 2= . 2 x 4 4x 4x 由 f′(x)>0,解得 1<x<3,故函数 f(x)单调递增区间是(1,3),同理得 f(x)的单调递 减区间是(0,1)和(3,+∞),故在区间(0,2)上,x=1 是函数 f(x)的极小值点,这个极 1 小值点是唯一的,所以 f(x1)min=f(1)=- . 2 函数 g(x2)=-x2+2bx2-4,x2∈[1,2]. 当 b<1 时,g(x)max=g(1)=2b-5; 当 1≤b≤2 时,g(x2)max=g(b)=b -4; 当 b>2 时,g(x2)max=g(2)=4b-8. 故问题等价于
2 2 2

1

3

b<1, 1≤b≤2, b>2, ? ? ? ? ? ? 或? 1 2 或? 1 ? 1 - ≥2b-5, ?- ≥b -4, ?- ≥4b-8. ? 2 2 ? ? ? 2
解第一个不等式组得 b<1, 解第二个不等式组得 1≤b≤ 第三个不等式组无解. 综上所述,b 的取值范围是?-∞, 答案 A 二、填空题 5.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3 -1,则它的通项公式 an=________. 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 -1-(3 足式子 an=2×3
n-1 n n-1 n

14 , 2

? ?

14? ?.故选 A. 2 ?

-1)=2×3

n-1

;当 n=1 时,a1=S1=2,也满


n-1

∴数列{an}的通项公式为 an=2×3 答案 2×3
n-1

.

→ → → → → → → 6.在△ABC 中, 点 M, N 满足AM=2MC, BN=NC, 若MN=xAB+yAC, 则 x=________, y=________. 解析 不妨设 AC⊥AB,有 AB=4,AC=3,以 A 为坐标原点,AB,AC 所在直线分别为 x 轴,

y 轴建立平面直角坐标系,如图所示.

2

? 3? 则 A(0,0),B(4,0),C(0,3),M(0,2),N?2, ?, ? 2?
1? → ? 那么MN=?2,- ?, 2? ?

AB=(4,0),AC=(0,3),
1? → → → ? 由MN=xAB+yAC,可得?2,- ?=x(4,0)+y(0,3), 2? ? 4x=2, ? ? ?x=2, ? 1? ? 即?2,- ?=(4x,3y),则有? 1,解得? 2? ? 1 3y=- ? 2 ? ?y=- . ? 1 6 答案 1 2 1 - 6





7.设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P,F1,F2 是一个直角三角 9 4 |PF1| 形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 的值为________. |PF2| 解析 若∠PF2F1=90°,则|PF1| =|PF2| +|F1F2| , ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5, 14 4 |PF1| 7 解得|PF1|= ,|PF2|= ,∴ = . 3 3 |PF2| 2 若∠F2PF1=90°, 则|F1F2| =|PF1| +|PF2| =|PF1| +(6-|PF1|) , 解得|PF1|=4,|PF2|=2, |PF1| |PF1| 7 ∴ =2.综上所述, =2 或 . |PF2| |PF2| 2 7 答案 2 或 2 8.已知 a 为正常数,若不等式 1+x≥1+ - 对一切非负实数 x 恒成立,则 a 的最大值 2 2a 为________. 解析 原不等式即 ≥1+ - 1+x(x≥0),(*) 2a 2 令 1+x=t,t≥1,则 x=t -1, (t -1) t -1 t -2t+1 (t-1) 所以(*)式可化为 ≥1+ -t= = 对 t≥1 恒成立, 2a 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x

x2

x2

x

3

(t+1) 2 所以 ≥1 对 t≥1 恒成立,又 a 为正常数,所以 a≤[(t+1) ]min=4,故 a 的最大

2

a

值是 4. 答案 4 三、解答题 9.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0. (1)求数列的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn. 解 (1)an+2-2an+1+an=0,所以 an+2-an+1=an+1-an, 所以{an+1-an}为常数列, 所以{an}是以 a1 为首项的等差数列, 设 an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d, 2-8 所以 d= =-2,所以 an=10-2n. 3 (2)因为 an=10-2n,令 an=0,得 n=5. 当 n>5 时,an<0;当 n=5 时,an=0;当 n<5 时,an>0. 所以当 n>5 时,

Sn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an) =T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n -9n+40,
2

Tn=a1+a2+…+an,
当 n≤5 时,

Sn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=Tn=9n-n .
?9n-n (n≤5), ? 所以 Sn=? 2 ?n -9n+40 (n>5). ?
2 2

10.已知函数 g(x)=

ax (a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x). x+1

(1)若函数 g(x)过点(1,1),求函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程; (2)判断函数 f(x)的单调性.

a 2x 解 (1)因为函数 g(x)过点(1, 1), 所以 1= , 解得 a=2, 所以 f(x)=ln(x+1)+ . 1+1 x+1
由 f′(x)= 1 2 x+3 + ,则 f′(0)=3,所以所求的切线的斜率为 3.又 2= x+1 (x+1) (x+1)2

f(0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方程为 y=3x.

4

(2)因为 f(x)=ln(x+1)+ 所以 f′(x)= 1 +

ax (x>-1), x+1

x+1

a(x+1)-ax x+1+a = 2 2. (x+1) (x+1)

①当 a≥0 时,因为 x>-1,所以 f′(x)>0, 故 f(x)在(-1,+∞)上单调递增; ②当 a<0 时,由?
?f′(x)<0, ? ?x>-1, ?

得-1<x<-1-a,

故 f(x)在(-1,-1-a)上单调递减; 由?
? ?f′(x)>0, ?x>-1, ?

得 x>-1-a,

故 f(x)在(-1-a,+∞)上单调递增. 综上,当 a≥0 时,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,函数 f(x)在(-1,-1-a)上单调递减, 在(-1-a,+∞)上单调递增. 11.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 y =4 3x 的焦点 F 重合, 且椭圆短轴 的两个端点与点 F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P,Q,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m, → → 0),使PE·QE恒为定值?若存在,求出 E 的坐标,并求出这个定值;若不存在,请说明理 由. 解 (1)由题意,知抛物线的焦点为 F( 3,0), 所以 c= a -b = 3. 因为椭圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形, 所以 b= 3× 3 =1. 3
2 2

x2 y2 a b

2

可求得 a=2,故椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)假设存在满足条件的点 E,当直线 l 的斜率存在时设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x -1).

x2

2

x ? ? +y2=1, 2 2 2 2 由? 4 得(4k +1)x -8k x+4k -4=0, ? ?y=k(x-1),
8k 4k -4 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1
5
2 2

2

→ → 则PE=(m-x1,-y1),QE=(m-x2,-y2), → → 所以PE·QE=(m-x1)(m-x2)+y1y2 =m -m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m -m(x1+x2)+x1x2+k (x1-1)(x2-1)
2 2 8k 8k m 4k -4 2?4k -4 ? =m - 2 + 2 +k ? 2 - 2 +1? 4k +1 4k +1 ?4k +1 4k +1 ? 2 2 2 2 2 2

(4m -8m+1)k +(m -4) = 2 4k +1 1 ? 2 1? 2 2 2 (4m -8m+1)?k + ?+(m -4)- (4m -8m+1) 4? 4 ? = 2 4k +1 17 2m- 4 1 2 = (4m -8m+1)+ 2 . 4 4k +1 17 → → 要使PE·QE为定值,令 2m- =0, 4 17 → → 33 即 m= ,此时PE·QE= . 8 64 当直线 l 的斜率不存在时, 不妨取 P?1, 由 E?

2

2

2

? ?

3? ? 3? ?,Q?1,- ?, 2? ? 2?

3? → ?9 3? → ?9 ?17,0?,可得PE =? ,- ?,QE=? , ?, ? ?8 ? 2? ?8 ?8 2 ?

→ → 81 3 33 所以PE·QE= - = . 64 4 64 33 → → ?17 ? 综上,存在点 E? ,0?,使PE·QE为定值 . 8 64 ? ?

6


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