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2016届高考备考+立体几何翻折问题教案


2016 届高考备考+立体几何翻折问题教案 1. [2013· 广东卷] 如图 1-4(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,

AC 上的点,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1-4(2) 所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

图 1-4 (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积. 3

[来源:学&科&网 Z&

2. 如图,在 ?ABC 中,?ABC ? 60 , ?BAC ? 90 , AD 是 BC 上的高,沿 AD 把 ?ABC 折 起,使 ?BCD ? 90 。 (Ⅰ)证明:平面ADB ⊥平面BDC; (Ⅱ)设E为BC的中点,求异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值。

解(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高,∴ 当 Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC=D,∴AD⊥平面BDC,∵AD 平面
1

平面 BDC? 面 ABD ? 面 BDC。

(Ⅱ)由∠ BDC= 90 ? 及(Ⅰ)知 DA,DB,DC 两两垂直,不防设 DB =1,以 D 为坐标原点,以 DB, DC, DA 所在直线 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得 D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,3,0) ,A(0,0, 3 ) ,E (

1 3 , ,0) , 2 2

?1 3 ? , ? AE = ? , , ? 3 ? , DB =(1,0,0,) ?2 2 ?
? AE 与 DB 夹角的余弦值为

cos < AE , DB >=

AE ? DB ? | AE | ? | DB |

1 2 1? 22 4

?

22 .? 22

1 2 1? 22 4

?

22 . 22

3、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平 面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P ABD 的体积 V= 3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

图 13 解:(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中 点,所以 EO∥PB. EO?平面 AEC,PB?平面 AEC,所以 PB∥平 面 AEC. 1 1 3 3 3 (2)V= × ×PA×AB×AD= AB,由 V= ,可得 AB= . 3 2 6 4 2 作 AH⊥PB 交 PB 于点 H.由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 PA·AB 3 13 BC⊥AH,因为 PB∩BC=B,所以 AH⊥平面 PBC.又 AH= = ,所以点 A 到平 PB 13 3 13 面 PBC 的距离为 . 13 4、[2014· 广东卷] 如图 12 所示,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC =PC=2,作如图 13 折叠:折痕 EF∥DC,其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF. (1)证明:CF⊥平面 MDF;
2

(2)求三棱锥 M CDE 的体积.

图 12 答案: (2)

图 13

6 24

5、[2014· 四川卷] 在如图 14 所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形. (1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1. (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥ 平面 A1MC?请证明你的结论.

图 14 解:(1)证明:因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形,所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线,所以 AA1⊥平面 ABC.因为直线 BC?平面 ABC,所 以 AA1⊥BC.又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线,所以 BC⊥ 平面 ACC1A1. (2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点.

图 14 由已知,O 为 AC1 的中点.连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位 1 1 线,所以 MD 綊 AC,OE 綊 AC,因此 MD 綊 OE.连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四 2 2 边形, 所以 DE∥MO.因为直线 DE?平面 A1MC, MO?平面 A1MC.所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥平面 A1MC. 6、 (2006 年辽宁高考) 已知正方形 ABCD
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E 、F 分别是 AB 、CD 的中点,将 ? ADE
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沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? )

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3

(I) 证明 BF // 平面 ADE ; (II) 若 ? ACD 为正三角形 , 试判断点 A 在平面

BCDE内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的结
论,并求角 ? 的余弦值
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解: (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、 CD 的中点, ? EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四 边 形
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y

A B


g



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y


g



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?

BF//ED.
E
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G F D

C

EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ,? BF // 平面 ADE

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(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE, 垂足为 G,连结 GC,GD
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? ACD 为正三角形,? AC=AD. ? CG=GD.

G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平 面角
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即 ?AHG ? ? .

设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF

为 直 角 三 角 形 ,

AG ? EF ? AE ? AF . ? AG ?

3 a 2



Rt ? ADE

中 ,

AH ? DE ? AE ? AD ? AH ?

2 a GH 1 ? a .? GH ? , cos ? ? AH 4 2 5 5

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7、已知梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC =∠ BAD =

? ,AB=BC=2AD=4, 2

A

D

E、F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥ BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯 形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥ 平面 EBCF (如图) . (1) 当 x=2 时,求证:BD⊥ EG ; (2) 若以 F、 B、 C、 D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x), 求 f(x)的最大值; 解:(1) ( 法 一 ) ∵平 面 AEFD ? 平 面 E B C F,AE⊥ EF,∴ AE⊥平 面 EBCF ,AE⊥ EF,AE⊥ BE,又 BE⊥ EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz. 则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,G(2,2,0) ,D(0,2,2) ,E(0,0, 0) BD ? (-2,2,2) , EG ? (2,2,0)
B

E

F

A

B
D

C

E F

A

z

G

C

D

BD ? EG ? (-2,2,2) (2,2,0)=0,∴BD ? EG
(法二)作 DH⊥ EF 于 H,连 BH,GH, 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥ 平面 EBCF,
4
B E F

y
C

G

x

而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥ DH. 又四边形 BGHE 为正方形,∴ EG⊥ BH, BH ? DH=H,故 EG⊥ 平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴EG⊥ BD.

A

D

E

H
F

1 1 1 (2)∵ AD∥ 面 BFC,所以 f ( x) ? VA-BFC= s BFC AE = 4 (4-x) x 3 2 3 2 8 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? 即 x ? 2 时 f ( x) 有最大值为 . 3 3 3 3
8、如图,已知等腰直角三角形 RBC ,其中∠ RBC =90? ,

B

G

C

P
C
D

RB ? BC ? 2 .点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点,现将
△ RAD 沿着边 AD 折起到△ PAD 位置,使 PA ⊥ AB , 连结 PB 、 PC . (1)求证: BC ⊥ PB ; (1)证明

R
(2)求点 B 到面 PCD 的距离.

A

B
1 BC . ∴ ∠ 2

∵ 点 A 、 D 分 别 是 RB 、 RC 的 中 点 , ∴ AD // BC , AD ?

PAD ? ?RAD ? ?RBC =90? .∴ PA ? AD .∴ PA ? BC ,∵ BC ? AB, PA ? AB ? A ,∴

BC ⊥平面 PAB .∵ PB ? 平面 PAB ,∴ BC ? PB .
(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .
P z

则 D (-1,0,0) , C (-2,1,0) , P (0,0,1). B(0,1,0) ∴ DC =(-1,1,0) , DP =(1,0,1), 设平面 PCD 的法向量为 n =(x,y,z) ,则:

C D

?

? ? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 , ? ? ? n ? DP ? x ? z ? 0 ?
∴n = (1, 1, -1) . BC ? (?2,0,0) d ?

R x

A

B

y

?

n ? BC n

?

2 3

?

2 3 2 3 ∴ 点 B 到面 PCD 的距离为 3 3

9、(09 样卷(19) )如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , E 为 CD 的中点。将 ? ADE 沿 AE 折起,使平面 ADE ? 平面 ABCE ,得到几何体 D ? ABCE 。 (Ⅰ)求证: BE ? 平面 ADE ; (II)求 BD 与平面 ADE 所成角的正切值。

5

D

E

C

D E

C

A

B

A

B

10 、已知四边形 ABCD 是等腰梯形,

AB ? 3, DC ? 1, ?BAD ? 45?, DE ? AB
(如图 1) 。现将 ? ADE 沿 DE 折起, 使 得 AE ? EB ( 如 图 2 ) ,连结

A

A D

E

B

M E D B

AC , AB, 设 M 是 AB 的中点。
(I)求证: BC ? 平面 AEC ; (II)求四面体 ABCE 的体积。

C
图1

C
图2

6

7

8

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