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课时跟踪检测(四十九) 椭圆

课时跟踪检测(四十九) 椭 圆

x2 y2 1.(2012· 海淀模拟)2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分与不必要条件

)

3 2.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( 4 x2 y2 A. + =1 16 7 x2 y2 C. + =1 16 25 x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 16 7 7 16 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 16 25 25 16

)

x2 y2 3.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直 a b 3a 线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

x2 4.(2013· 沈阳二中月考)已知椭圆 +y2 =1 的两焦点为 F1 ,F2 ,点 M 在椭圆上, 4

???? ????? ? MF1 ,· 2 ,=0,则 M 到 y 轴的距离为( MF
2 3 A. 3 C. 3 3

)

2 6 B. 3 D. 3

x2 y2 5.(2012· 安徽师大附中模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b), a b 且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. 3-1 2 B. D. 5-1 2 3+1 4 3)是椭圆上一点, 且|PF1|, 1F2|, |F )

1+ 5 C. 4

6. 一个椭圆中心在原点, 焦点 F1, 2 在 x 轴上, F P(2, |PF2|成等差数列,则椭圆方程为( x y A. + =1 8 6
2 2

) x2 y2 B. + =1 16 6

x2 y2 C. + =1 8 4

x2 y2 D. + =1 16 4 3 ,且椭圆上一点到椭圆 2

7.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. x2 y2 8.椭圆 + =1 的两焦点 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 16 4 为 P,则|PF2|=________. x2 y2 9.(2012· 哈尔滨模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左,右焦点,P 为椭圆上任一 25 16 点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. x2 y2 6 10.已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直 a b 3 线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. x2 y2 6 11. (2013· 济南模拟)已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 3 F 为椭圆的右焦点,M,N 两点在椭圆 C 上,且 MF ,=λ FN ,(λ>0), 定点 A(-4,0). (1)求证:当 λ=1 时, MN ,⊥ AF ,;

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AN ,= (2)若当 λ=1 时,有 AM ,·

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106 ,求椭圆 C 的方程. 3

x2 12.(2012· 陕西高考)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 4 相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点, A, 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB =2 OA , 点 B 求直线 AB 的方程.

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1.(2012· 长春模拟)以 O 为中心,F1,F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M,满足| MF1 ,| =2| MO ,|=2| MF2 ,|,则该椭圆的离心率为( A. C. 3 3 6 3 2 B. 3 2 5 D. 5

???? ?

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?????

)

x2 y2 x2 y2 2.(2012· 太原模拟)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2: 2+ 2=1(a2>b2> a1 b1 a2 b2 0)的焦点相同且 a1>a2.给出如下四个结论: a1 b1 2 ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;②a2-a2=b2-b2;③ > ;④a1-a2<b1-b2. 1 2 1 a2 b2 其中,所有正确结论的序号是( A.②③④ C.①②④ ) B.①③④ D.①②③

x2 y2 1 3. (2012· 西城模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0), 且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围. [答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5._________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1.______ 2.______





课时跟踪检测(四十九)

A级 1.B 2.B 3.C 4.B 5.选 B 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0,解得 e= -1± 5 5-1 .又 e>0,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2 x2 y2 6.选 A 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由点(2, a b 4 3 3)在椭圆上知 2+ 2=1. a b

c 1 又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2- a 2 b2,联立得 a2=8,b2=6. x2 y2 c 7.解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),根据椭圆定义知 2a=12,即 a=6,由 = a b a 3 x2 y2 ,得 c=3 3,b2=a2-c2=36-27=9,故所求椭圆方程为 + =1. 2 36 9 x2 y2 答案: + =1 36 9

b2 4 8. 解析: 易得|PF1|= = =1.又点 P 在椭圆上, 于是有|PF1|+|PF2|=8, 2|=8-|PF1| |PF a 4 =7. 答案:7 9.解析:∵P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PM|+|PF1|=|PM|+10-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=10+5=15, 当 P,M,F2 三点共线时取等号. 答案:15 c 6 10.解:(1)由已知得 c=2 2, = . a 3 解得 a=2 3, 又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.

?y=x+m, ? 由? x2 y2 ?12+ 4 =1 ?
得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= . 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. |-3-2+2| 3 2 所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· . d= 2 2 11.解:(1)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2), F(c,0),

则 MF ,=(c-x1,-y1), FN ,=(x2-c,y2). 当 λ=1 时, MF ,= FN ,, ∴-y1=y2,x1+x2=2c. ∵M,N 两点在椭圆 C 上, y2 y2 1 2 2 ∴x1=a2?1-b2?,x2=a2?1-b2?, 2 ? ? ? ?
2 ∴x1=x2. 2

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????

若 x1=-x2,则 x1+x2=0≠2c(舍去), ∴x1=x2, ∴ MN ,=(0,2y2), AF ,=(c+4,0),

???? ?

????

AF ,=0, ∴ MN ,·
∴ MN ,⊥ AF ,. (2)当 λ=1 时,由(1)知 x1=x2=c, b2 b2 ∴M?c, a ?,N?c,- a ?, ? ? ? ?

???? ???? ? ???? ?

????

???? ? b2 ∴ AM ,=?c+4, a ?, ? ?
???? b2 AN ,=?c+4,- a ?, ? ?

???? ???? ? b4 106 AN ,=(c+4)2-a2= 3 .(*) ∴ AM ,·
c 6 ∵ = , a 3 3 c2 ∴a2= c2,b2= ,代入(*)式得 2 2 5 2 106 c +8c+16= , 6 3 58 ∴c=2 或 c=- (舍去). 5 ∴a2=6,b2=2, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 12.解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 y2 x2 + =1(a>2), a2 4 其离心率为 解得 a=4, a2-4 3 3 ,故 = , 2 a 2

y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB =2 OA 及(1)知,O,A, B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中, 4 得(1+4k2)x2=4, 4 所以 x2 = . A 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中, 16 4 得(4+k2)x2=16, 所以 x2 = B 16 . 4+k2

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又由 OB =2 OA ,得 x2 =4x2 , B A 即 16 16 = , 4+k2 1+4k2

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解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 4

??? ?

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??? ? ??? ? 4 16 16k2 x2 = .由 OB =2 OA ,得 x2 = ,y2 = . A B 1+4k2 1+4k2 B 1+4k2
4+k2 y2 x2 将 x2 ,y2 代入 + =1 中,得 =1,即 4+k2=1+4k2, B B 16 4 1+4k2 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. B级 1.选 C 不妨设 F1 为椭圆的左焦点,F2 为椭圆的右焦点.过点 M 作 x 轴的垂线,交 x

???? ? ???? ? ????? c 轴于 N 点,则 N 点坐标为?2,0?,并设| MF1 ,|=2| MO ,|=2| MF2 ,|=2t,根据勾股定理可 ? ?
知,| MF1 ,|2-| MF1 ,|2=| MF2 ,|2-| NF2 ,|2,得到 c= c 6 则 e= = . a 3
2 2 2.选 C 由已知条件可得 a2-b2=a2-b2,可得 a2-a2=b2-b2,而 a1>a2,可知两椭 1 1 2 1 2 1 2 2 圆无公共点,即①正确;又 a2-a2=b1-b2,知②正确;由 a2-b2=a2-b2,可得 a2+b2= 1 2 2 1 1 2 1 2

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?????

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6 3t t,而 a= , 2 2

a1 b1 b2+a2,则 a1b2,a2b1 的大小关系不确定, > 不正确,即③不正确;∵a1>b1>0,a2> 1 2 a2 b2 b2>0,∴a1+a2>b1+b2>0,而又由(a1+a2)(a1-a2)=(b1+b2)(b1-b2),可得 a1-a2<b1- b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④. 3.解:(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意, 得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

?y=k?x-1?, ? 由?x2 y2 消去 y 并整理得 ? 4 + 3 =1, ?
(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 4k2 所以 x3= = , 2 3+4k2 -3k y3=k(x3-1)= . 3+4k2 4k2 3k 1 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =- ?x-3+4k2?. k? ? 3+4k2 在上述方程中,令 x=0, k 1 得 y0= = . 3+4k2 3 +4k k 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3; k 3 当 k>0 时, +4k≥4 3. k 所以- 3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3? . ? 12 , 12 ?

综上,y0 的取值范围是?-


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