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中山市高二级2009—2010学年度第二学期期末统一考试(数学文)


中山市 2009—2010 学年度第二学期期末统一考试

高二数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。
n n

?
? 参考公式:回归直线 y ? bx ? a ,其中 b ?

( x i ? x )( y i ? y )

i ?1

?
?

xi y i ? n x y , a ? y ? bx xi ? n x
2 2

i ?1

?

n

( xi ? x )

2

i ?1

?

n

.

i ?1

第 I 卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ? (2 ? i ) 2 ,则 z A.
3 ? 4i
?

B. 3 ? 4 i
? 1 的离心率为

C. 5 ? 4i

D. 5 ? 4i

2. 椭圆 x 2 ? A.
1 4

y

2

4

B.

1 2

C.

5 2

D.

3 2

3. 平面直角坐标系中,根据两点间的距离公式,可以得到:以点 ( x 0 , y 0 ) 为圆心,r 为半径 的圆的方程为 ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? r 2 . 类比以上推导方法及结论,可得到空间直角坐标系 中,以点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为圆心,r 为半径的球的方程为 A. ( x ? x 0 ) 3 ? ( y ? y 0 ) 3 ? r 3 C. ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? r 2 4. 函数 f ( x ) ? x ln x 的单调递减区间是 A. ( 0 , )
e 1
1 e

B. ( x ? x 0 ) 3 ? ( y ? y 0 ) 3 ? ( z ? z 0 ) 3 ? r 3 D. ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? ( z ? z 0 ) 2 ? r 2

B. ( , ? ? )

C. (0, e )

D.

(e, ? ? )

高二数学(文)

第1页(共 4 页)

5. 要证明

3?

7 ?2 5

,下列方法不正确的是

A. 作差法:先计算平方差 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ,再判断其符号 B. 分析法:要证 C. 反证法:假设
3? 3? 7 ?2 5 7 ?2 5

,只需证 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ,即证… 不成立,则
3? 7 ?2 5

, ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ,… ,即
21 ? 5

D. 直接法:由结论得 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ,即 10 ? 2 6. 椭圆
x
2

21 ? 20

,显然成立

?

y

2

? 1 与双曲线

x

2

?

y

2

? 1 焦点相同的充要条件是

25

9

m

9

A. m ? 1 6

B. m ? 7

C. m ? 25

D. m ? 43
2 ,b ?

7. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c ,若 c ?

6 , B ? 120 ? ,则 a =

A. 2 B. 2 2 C. 2 或 2 2 D. 以上都不对 8. 学校为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查 40 人,得到如下数据: 服用药 未服用药 根据表中数据,通过计算统计量 K 2 ? P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 k 0.455 0.708 1.323 能够判断该药物有效的把握为 A. 99.5% B. 97.5% 患流感 2 8
n(ad ? bc )
2

未患流感 18 12 ,并参考以下临界数据: 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84 D. 90%

0.025 5.024

C. 95%

9. 若命题 “ ? x 0 ? R, x 0 2 ? x 0 ? m ? 0 ”的否定为真命题,则实数 m 的范围是 A. ( , ? ? )
4 1

B. ( ? ? , )
4

1

C. (2, ?? )

D. ( ?? , 2)

10. 执行右边程序框图,下列结论错误的是 A. 若输入的实数 x =1,则输出的 y 值是 2 B. 若输入的实数 x = ? 1 ,则输出的 y 值是 1 C. 若输入的实数 x =2,则输出的 y 值是 5 D. 若输出 y 的值是 2,则输入的实数 x =1

高二数学(文)

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第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.答案必须写在 答题卡各题目指定区域内相应位置上) (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 y ? x 3 ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ? 1 处取得极值,则 b ? 12. 已知复数 z 是纯虚数,
z ?1 1? i



是实数,则 z

?

.

13. 把正偶数按下面的数阵排列, 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ? ? ? ? ? ? 则第 30 行的第 3 个偶数为 .

(二) 选做题 (14~15 题.考生只能从中选做一题,两题都选的只计算前一题的得分.) 14. (坐标系与参数方程选做题)在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 是?
? x ? 2 co s ? ? 2 ? y ? 2 sin ?

( ? 是参数) 若以 O 为极点,x 轴的正半轴 为极轴,则曲线 , .
D A

C 的极坐标方程可写为

15.(几何证明选做题)如图,PA 切⊙ O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,PB=3, PA=3 3 ,OA 绕点 O 逆时针旋转 6 0 ? 到 OD,则 PD 的长为 .
C

O

B

P

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(13 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数的图象在点 x ? 0 处的切线方程.
1 x ?1

.

高二数学(文)

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17. (13 分)数列 { a n } 中,已知 a1

?

1 2

, an

? a n ?1 ?

1 n ( n ? 1)

( n ? 2, n ? N *)

.

(1)计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,并归纳猜想出数列 { a n } 的通项公式; (2)利用公式
1 n ( n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1

证明你的猜想.

18. (13 分)在国家宏观政策的调控下,中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在 2010 年 1~5 月的收入,得到月份 x (月)与收入 y (万元)的情况如下表: 月份 x 收入 y 1 120 2 3 4 160 5 190 130 150

(1)画出散点图; (2)求 y 关于 x 的回归直线方程; (3)请你预测,该企业在 6 月份的收入约为多少? 参考数据: ? x i y i ?1 ? 1 2 0 ? 2 ? 1 3 0 ? 3 ? 1 5 0 ? 4 ? 1 6 0 ? 5 ? 1 9 0 ? 2 4 2 0 .
i ?1 5

19. (14 分)在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 A , B , C 成等差数列. (1)求角 B 度数; (2)若 a , b , c 成等比数列,求证: ? A B C 为等边三角形; (3)若 b ? 1 ,试求 ? A B C 面积的最大值.

20. (13分)设函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c . (1)若 a ? 3, b ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)记 y ? | f ( x ) | 在区间 [ ? 1,1] 上的最大值为 M,若 a ? c ? 0 , b ?
3 4

,求 M 的值.

21. (14 分)已知动点 P 到定点 F(1,0)的距离与它到直线 x +1=0 的距离相等,若记 动点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 L 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 OA⊥OB. 求证:直线 L 过定点 (4, 0) . (3)试将(2)小题的结论进行推广(不要求证明).

高二数学(文)

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中山市 2009—2010 学年度第二学期期末统一考试

高二数学试卷(文科)答案
一、选择题:ADDAD BACAD 二、填空题: 11. -3; 12. ? i ; 14. ? ? 4 cos ? ; 三、解答题: 16. 解: (1) f '( x ) ?
1 '? ( x ? 1) ? 1 ? ( x ? 1) ' ( x ? 1)
2

13. 876;

15. 3 7 .

?

?1 ( x ? 1)
2

.

??(6 分)

(2)当 x ? 0 时, f (0 ) ?
?1 (0 ? 1)
2

1 0 ?1

? ? 1 ,则切点为 (0, ? 1) .

??(8 分)

f '(0 ) ?

? ? 1 ,则切线斜率为-1.

??(10 分)

所以,函数 f ( x ) 在点 x ? 0 处的切线方程为
y ? 1 ? ? 1( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

??(13 分)

17. 解: (1)当 n=2 时, a 2 ? a1 ? 当 n=3 时, a 3 ? a 2 ? 当 n=4 时, a 4 ? a 3 ? 由 , , ,
1 2 3 4 2 3 4 5
1 3 ? (3 ? 1) ? 2 3

1 2 ? ( 2 ? 1) ? 1

?

1 2 ?

? 3 4

1 2 ? ( 2 ? 1)

?

2 3

; ??(2 分)

3 ? (3 ? 1)

; .

??(4 分) ??(5 分)

1 4 ? ( 4 ? 1)

?

3 4

?

1 4 ? ( 4 ? 1)

?

4 5

,猜想: a n ?
1 1? 2 ? 1 2?3 ?

n n ?1
1 3? 4

.

??(7 分)
1 n ( n ? 1)

(2)易知 a n ?

?? ?

??(9 分)
1 n ? 1 n ?1 )

? (1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?(

1 3

?

1 4

)?? ? (

??(11 分)

?1?

1 n ?1

?

n n ?1

.

??(13 分)

高二数学(文)

第5页(共 4 页)

18. 解: (1)散点图如下:
收入y

200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6
月份x

?(4 分) (2) x
? 1 5 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3



y ?

1 5

(1 2 0 ? 1 3 0 ? 1 5 0 ? 1 6 0 ? 1 9 0 ) ? 1 5 0



?x
i ?1
5 i ?1

5

i

y i ?1 ? 1 2 0 ? 2 ? 1 3 0 ? 3 ? 1 5 0 ? 4 ? 1 6 0 ? 5 ? 1 9 0 ? 2 4 2 0 ,
2 i

?x
n

?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 5 .
2 2 2 2 2

??(6 分)

?x
b?
i ?1 n i ?1

i

yi ? n x y ?
2 i

2420 ? 5 ? 3 ? 150 55 ? 5 ? 3
2

? 17



??(8 分)

?x

? nx

2

a ? y ? bx ? 150 ? 17 ? 3 ? 99 .

??(10 分)
?

于是得到 y 关于 x 的回归直线方程 y ? 17 x ? 99 .
? (3)当 x=6 时, y ? 17 ? 6 ? 99 ? 201 .

??(11 分) ??(13 分) ① ② ??(2 分)

从而预测该企业在 6 月份的收入约为 201 万元.

19. 解: (1)由 A、B、C 成等差数列,有 2B=A+C 因为 A、B、C 为 ? A B C 的内角,所以 A+B+C= ? 由①②得: B ?
?
3

.

??(4 分) ③
?
3

(2)由 a , b , c 成等比数列,有 b 2 ? ac 由余弦定理得: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c co s

??(5 分) ??(6 分)

把③代入上式得: a c ? a 2 ? c 2 ? 2 a c co s

?
3



??(7 分)

整理得 ( a ? c ) 2 ? 0 ,因此 a ? c ,从而有 A=C. 所以 A=B=C=
?
3

, ? A B C 为等边三角形.

??(9 分)

高二数学(文)

第6页(共 4 页)

(3)由余弦定理得: 1 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c ?co s 而 1 ? ac ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ,得到 ac ? 1 ④.
? A B C 面积为 S ? A B C ?

?
3

,即 a 2 ? c 2 ? 1 ? ac . ??(12 分)

??(10 分)

1 2

a c sin B ? 3 4 3 4

1 2

a c sin

?
3

?

3 4

ac .

??(13 分)

由④得: S ? A B C ?

3 4

ac ?

. . ??(14 分)

所以 ? A B C 面积的最大值为

20. 解: (1) a ? 3, b ? 0 时, f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? c . 求导可得 f '( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x ( x ? 2) . ??(3分) ??(5分) 令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, 2) .

令 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 ,则 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?? , 0) , (2, ?? ) . ?(7分) (2)当 a ? c ? 0 , b ?
3 4

时, f ? x ? ? x 3 ?
3 4
1

3 4 1 2

x , x ? [ ? 1,1] .

求导可得 f ' ? x ? ? 3 x 2 ?

? 3( x ?

1 2

)( x ?
1

).

??(10分)
1 4

所以,M ? m ax { | f ( ? 1) |, | f ( ? ) |, | f ( ) |, | f (1) |} ?
2 2

, x ? ? 1, ? 当

1 2

时取等号. (13 分) ? .

21.解: (1)由抛物线定义得:点 P 在以 F (1, 0 ) 为焦点直线 x +1=0 为准线的抛物线 上, ??(1 分) 设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,则 所以抛物线方程为 y 2 ? 4 x .
p 2 ? 1 ,解得 p ? 2 .

??(3 分)

??(4 分)

(2)设直线 L 与抛物线交于点( x1, y1 ),( x 2 , y 2 ) . 若直线 L 的斜率存在,设 L : y ? kx ? b ,则
? y = kx ? b ,消 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 b ? 0 . ? 2 y ? 4x ?

??(5 分) ??(6 分)

因此 ? 又?

?k ? 0 ?1 6 ? 1 6 kb ? 0

,且 y1 y 2 ?
y1 y 2 16
2 2

4b k
?

.
b k
2 2

? y 1 2 ? 4 x1 ? y2 ? 4 x2
2

,得 x1 x 2 ?

.

??(7 分) ??(8 分)

由 O A ? O B ,得

y1 y 2 4k ? ?1 , b ? ?4k , ? ? ? 1 ,即 b x1 x 2

高二数学(文)

第7页(共 4 页)

直线为 y ? k ( x ? 4 ) ,所以直线 L 过定点 (4, 0) .
? y =x
2

??(9 分)

若直线 L 的斜率不存在,即直线 L 与 x 轴垂直,则直线 OA(或直线 OB)的斜率为 1, 则?
? y ? 4x

,解得 x ? 4 所以直线 L 过定点 (4, 0) .

??(11 分)

(2)推广的结论为: 直线 L 与 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 相交于 A、B 两点,若 OA⊥OB. 则直线 L 恒过定点 ( 2 p , 0 ) . ??(14 分)

2 题:教材《选修 1-2 》P27 探究 改编,考查类比推理. 3 题:教材《选修 2-2 》P18 A 组第 6 题 改编,考查函数单调性与导数. 4 题:教材《选修 1-2 》P41 例 4 改编,考查证明方法. 5 题:教材《选修 1-1 》P68 A 组第 3 题改编,考查椭圆、双曲线几何性质与充要条件. 8 题:教材《选修 1-2 》P18 第 1 题改编,考查独立性检验 16 题:教材《选修 1-1 》P85 A 组第 6 题编,考查导数计算及导数的几何意义.

高二数学(文)

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