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习题人教版必修1同步测试4-第一单元(函数的基本性质)


新课标高一数学同步测试(4)—第一单元(函数的基本性质)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) 。 1.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间 (??,0) 上为增函数的是 ( ) A. y ? 1 C. y ? ? x ? 2 x ? 1
2 2

x ?2 1? x 2 D. y ? 1 ? x
B. y ? ( ) ) ) )

3.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围

A. b ? ?2 B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ?2 4.如果偶函数在 [a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有 ( A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值 5.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 ( A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 6. 函数 f (x) 在 (a, b) 和 (c, d ) 都是增函数, x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) , x1 ? x2 那么 若 且 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) A. [3,8] B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 (

7.函数 f (x) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 B. [?7,?2] C. [0,5] D. [?2,3] 8.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 A. k ? ?



( D. b ? 0



9. 定义在 R 上的偶函数 f (x) , 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在区间 [?1,0] 上为递增, ( 则 A. f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) (

1 2

B. k ? ?

1 2

C. b ? 0



10.已知 f (x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11 . 函 数 f (x) 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 f ( x) ?



x ? 1, x ? 0 , 则 当 x ? 0 ,
.

f (x) ?
2

. ,最大值和最小值的情况为

12.函数 y ? ? x ? | x | ,单调递减区间为 为偶函数,则 f (x) = . 14.构造一个满足下面三个条件的函数实例,

13. 定义在 R 上的函数 s (x )(已知) 可用 f ( x), g ( x) 的=和来表示, f (x) 为奇函数,g (x) 且

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①函数在 (??,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为; 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? [?1,3] ,求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.
2

.

16. (12 分)判断下列函数的奇偶性 ①y?x ?
3

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

③ y ? x ? x;
4

? x 2 ? 2( x ? 0) ? ④ y ? ?0( x ? 0) 。 ? 2 ?? x ? 2( x ? 0)

17. (12 分)已知 f ( x) ? x

2005

? ax3 ?

b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

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18. (12 分) )函数 f ( x), g ( x) 在区间 [a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f (x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g (x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [a, b] 的单调性,并给出证明.

19.14 分) ( 在经济学中, 函数 f (x) 的边际函数为 Mf (x) , 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 某 公 司 每 月 最 多 生 产 100 台 报 警 系 统 装 置 。 生 产 x 台 的 收 入 函 数 为

R( x) ? 3000 x ? 20 x 2 (单位元) ,其成本函数为 C ( x) ? 500 x ? 4000 (单位元) ,利
润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 p (x) 及其边际利润函数 Mp(x) ; ②求出的利润函数 p (x) 及其边际利润函数 Mp(x) 是否具有相同的最大值; ③你认为本题中边际利润函数 Mp(x) 最大值的实际意义.

20. (14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,且 g ( x) ? f [ f ( x)] , G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问,
2

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是否存在实数 ? ,使得 G (x) 在 (??,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.

参考答案(4)
一、CBAAB 二 、 11 . DBAA D

y ? ? ? x ?1




12 . [? 1 ,0] 和 [ ,?? ) ,

2

1 2

1 4



13 .

s ( x) ? s ( ? x) ; 2

14.

y ? x2 , x ? R

三、15. 解: 函数 f ( x ? 1) ? [( x ? 1) ? 2]2 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 , x ? [?2,2] , 故函数的单调递减区间为 [?2,1] . 16. 解①定义域 (??,0) ? (0,??) 关于原点对称,且 ②定义域为 {

f (? x) ? ? f ( x) ,奇函数.

1 } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. 2

③定义域为 R,关于原点对称,且 f (? x) ? x 4 ? x ? x 4 ? x , f (? x) ? x 4 ? x ? ?( x 4 ? x) ,故其 不具有奇偶性. ④定义域为 R,关于原点对称, 当x 当x 当x

? 0 时, f (? x) ? ?(? x) 2 ? 2 ? ?( x 2 ? 2) ? ? f ( x) ; ? 0 时, f (? x) ? (? x) 2 ? 2 ? ?(? x 2 ? 2) ? ? f ( x) ; ? 0 时, f (0) ? 0 ;故该函数为奇函数.

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17.解: 已知

f (x) 中 x 2005 ? ax3 ? b 为奇函数,即 g (x) = x 2005 ? ax3 ? b 中 g (? x) ? ? g ( x) ,也即
x
x

g (?2) ? ? g (2) , f (?2) ? g (?2) ? 8 ? ? g (2) ? 8 ? 10 ,得 g (2) ? ?18 , f (2) ? g (2) ? 8 ? ?26 .
18.解:减函数令 a

? x1 ? x2 ? b

,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即可得 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;同理有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即可得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ;
从而有

f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )

? f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )
? f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) g ( x2 ) *
显然

f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? 0 , ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) g ( x2 ) ? 0 从而*式 * ? 0 ,

故函数

f ( x) g ( x) 为减函数.

19.解: p( x) ? R( x) ? C ( x) ? ?20 x 2 ? 2500 x ? 4000 , x ? [1,100 ], x ? N .

Mp(x) ? p( x ? 1) ? p( x)
? [?20( x ? 1) 2 ? 2500 ( x ? 1) ? 4000 ] ? (?20 x 2 ? 2500 x ? 4000 ),

? 2480 ? 40 x
x ? [1,100 ], x ? N ;
p( x) ? ?20( x ? 125 2 故当 x ? 62 或 63 时,p(x) max ) ? 74125 , x ? [1,100 ], x ? N , 2

? 74120 (元) 。

因为 Mp(x) ? 2480 ? 40 x 为减函数,当 x

? 1时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.

边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 20.解: g ( x)

? f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ? x 4 ? 2 x 2 ? 2 .

G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? x 4 ? 2 x 2 ? 2 ? ?x 2 ? ? ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? (2 ? ? )

G( x1 ) ? G( x2 ) ? [ x1 ? (2 ? ? ) x1 ? (2 ? ? )] ? [ x2 ? (2 ? ? ) x2 ? (2 ? ? )]
4 2 4 2

? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )[ x1 ? x 2 ? (2 ? ? )]
2 2

有题设 当 x1

? x2 ? ?1 时,
2 2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 , x1 ? x2 ? (2 ? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ,
则4??

? 0, ? ? 4

当 ?1 ?

x1 ? x2 ? 0 时,
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( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 , x1 ? x2 ? (2 ? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ,
2 2

则4 ? ?

? 0, ? ? 4

故?

? 4.

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