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两角和与差的余弦 教案 高中数学 必修四 苏教版 Word版


教学设计 3.1.1 两角和与差的余弦 作者:王盈慧,江苏省前黄高级中学教师,本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖. 整体设计 设计思路 整堂课大致分两部分,一是探究发现;二是知识应用.探究过程由物理情景出发,尝试 解决物理问题后抽象出数学模型——向量, 再转化问题的表述, 回归数学本质, 探究“cos(α -β)能否用 α,β 的三角函数表示出来?如何表示?”这一问题.经历“猜想——验证—— 证明”的体验过程,感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验.以《几何画板》为 探索平台,完成公式推导,并体验 α,β 的任意性.证明过程由粗至精,在直观形象的基础 上进一步去体验数学的科学严谨.通过例 1、例 2 和练习 1 学会运用公式进行简单三角函数 的化简、求值,例 3 有一定技巧,意在让学生初步体会角的变换的灵活性. 教学目标 1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 进一步体会向量方法的作用; 2.掌握两角和与差的余弦公式,能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值; 3.培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力,掌握数形结合这一重 要数学思想; 4.引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯,培养学生普遍联系、运动变化、 数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神. 教学过程 情景创设 1.物理情景 如图 1 所示,倾角为 30° 的斜坡上,一物体在力 F 的作用下前进了 1 m,已知|F|=1 N, 力 F 的方向与水平方向成 45° 角,求此过程中力 F 所做的功. 图1 设问 1: 力 F 与位移 s 的夹角不是我们熟知的那些特殊角, 有办法求此过程中力 F 所做 的功 W 吗? 将力 F 正交分解,得水平方向和竖直方向的两个分力 F1、F2,将位移 s 也按同样的方 向做正交分解为 s1、s2,可以具体计算出 W1、W2,再求出和功 W. 发现:由 F· s=F1· s1+F2· s2, 有 cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° . 设问 2:一般地,斜坡倾角为 β,力 F 的方向与水平方向所成角为 α,还会有类似的结 果吗? 2.数学情境 将上述问题中的数学模型抽象出来: 我们知道, 力、 位移这些矢量在数学中抽象为向量, 下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言. 设问 3: (设问 2 的转化)cos(α-β)能否用 α, β 的三角函数表示出来?如何表示?猜猜看? 学生活动:举例验证各自的猜想是否正确,然后班级交流. (猜想 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,诱导公式就是极好的验证例子) 设问 4:所猜想的等式有什么结构特点?你能推导出这一猜想吗?说说你的推导思路. 建构数学 探究 1:cos(α-β)看成两个向量的夹角的余弦,用向量的数量积来研究.(严谨性不必 一步到位,采用学生们的说法“α-β 为两向量夹角”) 师生活动:从“α-β 为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发,学生画图探索,尝试 证明.老师用“几何画板”演示(如图 2),写出推导思路.再用“几何画板”演示(如图 3), 引导大家对欠严谨处展开讨论,体验 α,β 的任意性. 图2 图3 前面的推导必须符合条件 0≤α-β≤π 才正确, α、 β 是任意的, α-β 也应该是任意的. 猜 想仍然正确吗? 利用诱导公式,存在 θ∈[0,2π)使 cosθ=cos(α-β), 若 θ∈[0,π],则 a· b=cosθ=cos(α-β

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