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高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数2课时提升作业2


任意角的三角函数(二)

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.如图在单位圆中角α 的正弦线、正切线完全正确的是( A.正弦线 PM,正切线 A′T′ B.正弦线 MP,正切线 A′T′ C.正弦线 MP,正切线 AT D.正弦线 PM,正切线 AT 【解析】选 C.根据单位圆中的三角函数线可知 C 正确. 2.已知角α 的正弦线是长度为单位长度的有向线段,那么角α 的终边在 ( A.y 轴的正半轴上 C.x 轴上 B.y 轴的负半轴上 D.y 轴上 ) )

【解析】选 D.由题意可知,sinα =±1,故角α 的终边在 y 轴上.

3.(2014?深圳高一检测)有三个结论:① 弦线相等.其中正确的个数为 A.1 ( B.2 )



的正弦线相等;②



的正切线相等;③



的余

C.3

D.0

【解析】选 B.根据三角函数线定义可知, 线相反.



的正弦线相等,



的正切线相等,



的余弦

4.利用正弦线比较 sin1,sin1.2,sin1.5 的大小关系是 ( A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 【解析】选 C. 因为 1 , 1.2 , 1.5 均在 sin1.5>sin1.2>sin1. 5.设 a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有 ( ) 内,正弦线在

)

内随 α 的增大而逐渐增大,所以

-1-

A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<a<b

D.a<c<b

【 解 析 】 选 C. 如 图 作 出 角 α =-1rad 的 正 弦 线 、 余 弦 线 及 正 切 线 , 显 然 b=cos(-1)=OM>0 , c=tan(-1)<a=sin(-1)<0,即 c<a<b.

【拓展延伸】三角函数线的画法 作三角函数线的关键是依据三角函数线的定义,三角函数的定义不仅给出了什么是正弦线、余弦线、 正切线,同时也给出了角α 的三角函数线的画法,即先找到 P,M,T 点,再画出 MP,OM,AT. 6.在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是 ( A. ∪ B. )

C.

D.



【解析】选 C.如图所示,在直角坐标系 xOy 中,作第一、三象限的角平分线,由阴影部分可知,C 正确.

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.角θ (0<θ <2π )的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则θ 的值为 【解析】由题意知,角θ 的终边应在第一、三象限的角平分线上.又因为 0<θ < .

2π ,所以θ =

或 π.

答案:

, π

8.如图,已知角α 的终边是 OP,角β 的终边是 OQ,试在图中作出α ,β 的三角函数线,然后用不等号填 空:

-2-

(1)sinα (3)tanα

sinβ .(2)cosα tanβ .

cosβ .

【解析】如图所示,

sinα =MP,sinβ =NQ,MP>NQ, 故 sinα >sinβ ;cosα =OM,cosβ =ON,OM<ON, 故 cosα <cosβ ;tanα =AC,tanβ =AB,AC>AB, 所以 tanα >tanβ . 答案:(1)> (2)< (3)> 9.已知α ∈(0,4π ),且 sinα = ,则α 的值为 【解析】作出满足 sinα = 的角的终边,如图: .

直线 y= 交单位圆于 A,B 两点,则终边在 OA,OB 上的角的集合为 α α =

+2kπ 或α =

+2kπ ,k∈Z .

又α ∈(0,4π ),所以α =







.

答案:







三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ 的取值范围.

-3-

(1)sinθ ≥

.(2)- ≤cosθ <

. 的 范 围 , 即

【 解 析 】 (1) 图 ① 中 阴 影 部 分 就 是 满 足 条 件 的 角 θ . (2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即

θ 2kπ - π ≤θ <2kπ -

或 2kπ +

<θ ≤2kπ + π ,k∈Z .

【拓展延伸】三角函数线的作用 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具,要注意利用其来解决问题. (2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域,在求三角函数定义域时,一般 转化为不等式(组),因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义. 11.已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,若α ∈[0,2π ),求α 的取值范围. 【解析】因为点 P 在第一象限内, 所以 所以

结合单位圆(如图所示)中三角函数线及 0≤α <2π .

可知

<α <

或π <α <

.

【拓展延伸】要准确应用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形

-4-

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.下列四个结论中: ①α 一定时,单位圆中的正弦线一定; ②单位圆中,有相同正弦线的角相等; ③α 和α +π 有相同的正切线; ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确的个数是 ( A.0 ) B.1 C.2 D.3

【解析】选 C.单位圆中,



有相同的正弦线,但



,②错;α =

时,α +π =







不存在正切线,③错,①与④正确. 2.已知 MP,OM,AT 分别为 60°角的正弦线、余弦线和正切线,则下列结论一定成立的是 ( A.MP<OM<AT C.AT<OM<MP 【解析】选 B.MP=sin60°= B.OM<MP<AT D.OM<AT<MP ,OM=cos60°= ,AT=tan60°= .故选 B. ) )

3.若α 是三角形的内角,且 sinα +cosα = ,则这个三角形是 ( A.等边三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形

【解析】选 D.当 0<α ≤

时,由单位圆中的三角函数线知,sinα +cosα ≥1,而 sinα +cosα = ,所以
-5-

α 必为钝角,所以这个三角形是钝角三角形. 4.已知 sinα >sinβ ,那么下列结论成立的是 ( A.若α ,β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α ,β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若α ,β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α ,β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 【解析】选 D.如图(1),α ,β 的终边分别为 OP,OQ,sinα =MP>NQ=sinβ ,此时 OM<ON,所以 cosα <cos β ,故 A 错;如图(2),OP,OQ 分别为角α ,β 的终边,MP>NQ,即 sinα >sinβ ,所以 AC<AB,即 tanα <tanβ ,故 B 错;如图(3),角α ,β 的终边分别为 OP,OQ,MP>NQ,即 sinα >sinβ ,所以 OM<ON,即 cosα <cosβ ,故 C 错,所以选 D. )

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.使 tanα >1 成立的角α 的取值范围为 .

【解析】由于 tan

和 tan

都等于 1,利用三角函数的正切线(如图)可知,

角α 的终边在图中阴影部分, 故角α 的取值范围 α 2kπ +

<α <2kπ +

或 2kπ +

<α <2kπ +

, k∈Z =

α kπ +

<α <kπ +

,k∈Z .

答案:

-6-

6.已知θ ∈

,则 sin

,cos

,tan

从小到大依次为

.

【解题指南】先确定

的范围,然后利用三角函数线,即可确定 sin

,cos

,tan

从小到大的顺序.

【解析】因为θ ∈

,所以



,如图,单位圆中的三角函数线,cos

=OM,sin

=MP,

tan

=AT,所以 cos

<sin

<tan

.

答案:cos

<sin

<tan

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.利用单位圆中的三角函数线解不等式(组): (1)3tanα + >0.(2)

【解析】(1)要使 3tanα +

>0,即 tanα >-

.

由正切线知 kπ -

<α <kπ +

,k∈Z.

所以不等式的解集为

,k∈Z.

(2)不等式组即为

-7-

区域(Ⅰ)为 sinx>

,区域(Ⅱ)为 cosx≤ .

区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解,即不等式组的解集为 【拓展延伸】求解三角不等式的关键

,k∈Z.

熟悉角θ 的正弦线、余弦线、正切线是解决此类问题的关键,可借助图形的直观性来帮助分析问题. 8.求证:当α ∈ 时,sinα <α <tanα .

【证明】如图,设角α 的终边与单位圆相交于点 P,

单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A,过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于 T,过 P 作 PM⊥OA 于 M,连接 AP, 则: 在 Rt△POM 中,sinα =MP; 在 Rt△AOT 中,tanα =AT; 又根据弧度制的定义,有 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT, 即 OA?MP< ?OA< OA?AT, =α ?OP=α ,

即 sinα <α <tanα . 【变式训练】用单位圆及三角函数线证明:正弦函数在 上是增函数.

【证明】设 0≤α 1<α 2≤

,分别作α 1,α 2 的正弦线如图所示:

-8-

sinα 1=M1P1,sinα 2=M2P2.

因为 0≤α 1<α 2≤



所以 M1P1<M2P2,即 sinα 1<sinα 2,所以正弦函数在

上为增函数.

-9-


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