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辽宁省沈阳二中2017届高三上学期期中考试试题 数学文Word版含答案.doc

沈阳二中 2016—2017 学年度上学期期中考试 高三(17 届)文科数学试题
命题人:数学组 说明:1.测试时间:120 分钟 审校人:数学组 总分:150 分

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 (60 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的)

1.设集合 A={x|x≤2}, A.[1,2] B.[0,2]

,则 A∩B=(

) D.[﹣1,0) ) D.15 ) D.9

C. (1,2]

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=25,则 a3 的值为( A.2 B.5 C.10

3.已知 =(2,1) , =(3,m) ,若 ⊥( ﹣ ) ,则| + |等于( A.3 B.4 ) C.5

4.下列关于函数 y=ln|x|的叙述正确的是( A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 5.已知双曲线 C: ﹣

B.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线 y=﹣1 所围成的三角形 ) C. D. )

的面积为 4,则双曲线 C 的离心率为( A. B.

b ?6.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? 1 ,a ?
A.2 B. 3

?

?

? ?

1 ? ? ? ? ? ,? a ? c , b ? c ?? 60? 则 c 的最大值等于( 2
C. 2 D.1

7.若不等式组

2 2 表示的区域 Ω,不等式(x﹣ ) +y

表示的区域为 Γ,向

Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝麻数约为( A.114 B.10 C.150

) D.50 )

8.若点 P 是抛物线 C:y2=4x 上任意一点,F 是抛物线 C 的焦点,则|PF|的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

9.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (

10.若不等式 0≤x2-ax+a≤1 有唯一解,则 a 的取值为 A.0 B.2 C .4



D.6

11.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x±4y=0,A 为双曲线的右支上的一点,F1(﹣5,0) 、 F2(5,0)分别为双曲线的左、右焦点,若∠F1AF2=60° ,则△F1AF2 的面积为( A.8 C.4 B.6 D.9 )

12.若函数 f(x)=log2x 在 x∈[1,4]上满足 f(x)≤m2﹣3am+2 恒成立,则当 a∈[﹣1, 1]时,实数 m 的取值范围是( A.[﹣ , ] C.[﹣3,3] 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)= ,则 f(f(﹣1) )等于 . ) B. (﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞)∪{0} D. (﹣∞,﹣3]∪[3,+∞)∪{0}

14. 已知 sin(α+

)=

,则 cos(2α+

)=



15. 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(4a﹣3c)cosB=3bcosC, 若 a,b,c 成等差数列,则 sinA+sinC= .

16.如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别为 AD 上的两点,已知∠CAD=θ,∠CED=2θ,∠ CFD=4θ,AE=600,EF=200 ,则 CD= .

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinC= (1)若 a+b=5,求△ABC 面积的最大值;
2 2 (2)若 a=2,2sin A+sinAsinC=sin C,求 b 及 c 的长.



18. (本小题满分 12 分)
2 设 f ( x) ? (log2 x) ? 2a log2 x ? b( x ? 0) .当 x ?

1 时, f ( x ) 有最小值-1. 4

(1)求 a 与 b 的值; (2)求满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) A 3Acosx, cos2x?(A>0),函数 f(x)=m· 已知向量 m=(sinx,1),n=? n 的最大值为 6. 2 ? ? (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 5π? 1 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在? ?0,24?上的值域. 2

20. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列{an}中,a1=2,且 a2+1,a4+1,a8+1 成等比数列. (1)求数列{an}通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,求适合方程 b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数 n 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 且过点 P(2,2) .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过 M(﹣1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、 F2,△F1AF2、△F1BF2 的面积分别为 S1、S2,试确定|S1﹣S2|的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)
3 已知函数 f(x)=ax +blnx 在点(1,0)处的切线的斜率为 1.

(1)求 a,b 的值; (2)是否存在实数 t 使函数 F(x)=f(x)+lnx 的图象恒在函数 g(x)= 的图象的上方, 若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

沈阳二中 2016—2017 学年度上学期期中考试 高三(17 届)文科数学答案 一、选择题: CBCDA AAABB DD 二、填空题: 13.2 14. 15. 16. 300

三、解答题: 17. 解: (1)∵a+b=5, ∴ab≤( ∴S△ABC=
2 )=

. = .

sinC=≤

2 2 (2)∵2sin A+sinAsinC=sin C, 2 2 2 ∴2a +ac=c .即 8+2c=c ,

解得 c=4. 由正弦定理得 ,即 ,

解得 sinA=

.∴cosA=



由余弦定理得 cosA=

=

.即



解得 b=



18. 解:(1) f ( x) ? (log2 x)2 ? 2a log2 x ? b ? (log2 x ? a)2 ? b ? a2 .

1 ?log 2 ? a, 4 ∵ x ? , ymin ? ?1,则 ? 4 2 ?

?

1

?b ? a ? ?1,

解得 ?

?a ? ?2, ?b ? 3.

2 2 (2) f ( x) ? (log2 x) +4log2 x ? 3 .由 f ( x) ? 0 得: (log2 x) +4log2 x ? 3 ? 0 ,

∴ ?3 ? log 2 x ? ?1,∴ 19. 解:(1)f(x)=m· n

1 1 1 1 ? x ? ,∴ x ? ( , ) . 8 2 8 2

A = 3Asinxcosx+ cos2x 2 =A? 3 1 ? ? 2 sin2x+2cos2x?

π? =Asin? ?2x+6?. 因为 A>0,由题意知,A=6. π 2x+ ?. (2)由(1)f(x)=6sin? 6? ? π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12

π π π 1 x+ ?+ ?=6sin?2x+ ?的图象; y=6sin?2? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 3? ? ? ? 12? 6? 2

π? π? ? 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin? ?4x+3?的图象.因此,g(x)=6sin?4x+3?. 5π? 因为 x∈? ?0,24?, π π 7π? , . 所以 4x+ ∈? 3 ?3 6 ?

5π? 故 g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6]. 20.解: (1)设公差为为 d,a1=2,且 a2+1,a4+1,a8+1 成等比数列,
2 ∴(a4+1) =(a2+1) (a8+1) , 2 ∴(3d+3) =(3+d) (3+7d) ,

解得 d=3, ∴an=a1+(n﹣1)d=2+3(n﹣1)=3n﹣1; (2)∵数列{bn}满足 bn= ∴bn= ∴bnbn+1= , ? =3( ﹣ ) ﹣ )=3( ﹣ )= , ,

∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1=3( ﹣ + ﹣ +??+ 即 = ,

解得 n=10, 故正整数 n 的值为 10. 21. 解: (1)由题意可得: , + =1,又 a2=b2+c2,联立解得:a2=12, .

∴椭圆 C 的标准方程为:

=1.

(2)设直线 l 的方程为:my=x+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .

联立

2 2 ,化为: (m +2)y ﹣2my﹣11=0,

△>0,∴y1+y2= ∵S1=

. =c|y1|,S2=c|y2|,

∴|S1﹣S2|=

||y1|﹣|y2||=

|y1+y2|=



m=0 时,|S1﹣S2|=0.

m≠0 时,0<|S1﹣S2|= 综上可得:|S1﹣S2|的取值范围是



= .

,当且仅当|m|=

时取等号.

3 2 22.解: (1)函数 f(x)=ax +blnx 的导数为 f′(x)=3ax + ,

由题意可得 f′(1)=3a+b=1,f(1)=a=0, 解得 a=0,b=1; (2)F(x)=f(x)+lnx=2lnx,假设存在实数 t 使函数 F(x)的图象 恒在函数 g(x)= 的图象的上方,即为 2lnx> ,即 t<2xlnx 恒成立, 设 g(x)=2xlnx,g′(x)=2(lnx+1) , 当 x> 时,g′(x)>0,g(x)递增; 当 0<x< 时,g′(x)<0,g(x)递减. 可得 g(x)在 x= 处取得极小值,且为最小值﹣ , 可得 t<﹣ ,则存在实数 t∈(﹣∞,﹣ ) ,使函数 F(x)的图象 恒在函数 g(x)= 的图象的上方.