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2008年山东省济南市中考数学试题及答案(word版)


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济南市 2008 年高中阶段学校招生考试

数 学 试 题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 8 页.共 120 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 48 分)

注意事项: 1.数学考试中不允许使用计算器. 2.答第Ⅰ 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 3.选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案.不能答在考试卷上. 4.考试结束后,监考教师将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 12 个小题.每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.-2 的绝对值是( ) A.2 B.-2 ) C. (a3 )4 ? a7 D. a 6 ? a3 ? a 2 C.

1 2

D. ?

1 2

2.下列计算正确的是( A. a3 ? a 4 ? a 7

B. a3 ? a 4 ? a7 )

3.下面简单几何体的主视图是( .

正面

A.

B.

C.

D.

4.国家游泳中心——“水立方”是 2008 年北京奥运会标志性建筑物之一,其工程占地面积为 62828 平方米,将 62828 用科学记数法表示是(保留三个有效数字) ( ) A. 62.8 ? 103 B. 6.28 ? 104 C. 6.2828 ? 104 D. 0.62828 ? 105 5. 已知 ?ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, ?ABC 将 向右平移 6 个单位,则平移后 A 点的坐标是( ) A. ?2 ,1) ( A B. (2,1) y C B 1 O1

x

C. (2, ?1 ) D. ?2 , ?1 ) ( 6. 四川省汶川发生大地震后, 全国人民 “众志成城, 抗震救灾” , 积极开展捐款捐物献爱心活动.下表是我市某中学初一· 八 班 50 名同学捐款情况统计表: 捐款数(元) 10 15 20 30 50 60 70 80

第 5 题图

90

100



数(人)

3

10

10

15

5

2

1

1

1

2

根据表中提供的信息,这 50 名同学捐款数的众数是( ) A.15 B.20 C.30 D.100 7.如图:点 A、B、C 都在⊙O 上,且点 C 在弦 AB 所对的优弧上, 若 ?AOB ? 72? ,则 ?ACB 的度数是( ) A.18° B.30° C.36° D.72°

O

C

1 8.如果 xa ? 2 y3与 ? 3x3 y 2b?1 是同类项,那么 a、b 的值分别是( 3
?a ? 1 A. ? ?b ? 2 ?a ? 0 B. ? ?b ? 2 ?a ? 2 C. ? ?b ? 1



A

B 第 7 题图

?a ? 1 D. ? ?b ? 1

9.“迎奥运,我为先”联欢会上,班长准备了若干张相同的卡片,上面写的是联欢会上同学 们要回答的问题.联欢会开始后,班长问小明:你能设计一个方案,估计联欢会共准备 了多少张卡片?小明用 20 张空白卡片(与写有问题的卡片相同) ,和全部写有问题的卡 片洗匀,从中随机抽取 10 张,发现有 2 张空白卡片,马上正确估计出了写有问题卡片 的数目,小明估计的数目是( ) A.60 张 B.80 张 C.90 张 D.110 张 10.关于 x 的一元二次方程 2 x 2 ? 3x ? a 2 ? 1 ? 0 的一个根为 2,则 a 的值是( A.1 B. 3 C. ? 3 D. ? 3 S(吨) 30 ) 10 O 12.如图:等腰直角三角形 ABC 位于第一象限,AB=AC=2,直 角顶点 A 在直线 y=x 上,其中 A 点的横坐标为 1,且两条直 角边 AB、AC 分别平行于 x 轴、y 轴,若双曲线 y ? 与 ?ABC 有交点,则 k 的取值范围是( A. 1 ? k ? 2 B. 1 ≤ k ≤ 3 C. 1 ≤ k ≤ 4 D. 1 ≤ k ? 4 ) A O B 1 第 12 题图 x 2 4 t(时) )

11.济南市某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调 进物资 2 小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均 保持不变) .储运部库存物资 S(吨)与时间 t(小时)之间的函数关 系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是( A.4 小时 B.4.4 小时 C.4.8 小时 D.5 小时

第 11 题图 y C

k (k≠0) x

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济南市 2008 年高中阶段学校招生考试 数 学 试 题
第Ⅱ卷(非选择题 共 72 分) 注意事项:1.第Ⅱ卷共 6 页.用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在考试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得 分 评卷人 二、填空题:本大题共 5 个小题.每小题 3 分,共 15 分.把答案填在 题中横线上. 13 . 当 x ? 3 ,y ? 1时 , 代 数 式 ( x ? y) ( x? y)? 2 y 值 的 是 . E O B D 第 15 题图 A 16.如图:矩形纸片 ABCD,AB=2,点 E 在 BC 上,且 AE=EC.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好落在 AC 上, 则 AC 的长是 . D F C A

14.分解因式: x 2 ? 2 x ? 3 = . 15.如图,在 ? ABC 中,EF 为 ? ABC 的中位线,D为 BC 边上一点(不与 B、C 重合),AD 与 EF 交于点O,连接 DE、DF,要使四边形 AEDF 为平行四边形,需要添加 条件 .(只添加一个条件)

B

E 第 16 题图

C

17.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长 度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和 谐.例如,三根弦长度之比是 15:12:10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将 分别发出很调和的乐声 do、mi、so.研究 15、12、10 这三个数的倒数发现:

1 1 1 1 ? ? ? .我们称 15、12、10 这三个数为一组调和数.现有一组调和数:x、5、 12 15 10 12 3(x>5) ,则 x 的值是 .
三、解答题:本大题共 7 个小题.共 57 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 18.(本小题满分 7 分) (1)解方程: 2( x ? 1) ? 1 ? 0 .

(2)解不等式组 ?

?2 x ? 4 ? 0 ?3 ? x ? 6

① ②

,并把解集在数轴上表示出来.

? 3 ? 2 ?1 0 1

2 3

得 分

评卷人 19.(本小题满分 7 分) A

(1)已知:如图 1,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF. 求证:AB=DE.

D

B

E

C

F

第 19 题图 1 (2)已知:如图 2, ?PAC ? 30? ,在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm,DB=10cm,以 DB 为直径作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点,求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长. P F E A D O B C

得 分

评卷人 20. (本小题满分8分)

第 19 题图 2

完全相同的 4 个小球,上面分别标有数字 1、-1、2、-2,将其放入一个不透明的盒 子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀).把第一次、第二次摸到的球 上标有的数字分别记作 m、n,以 m、n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标,求点(m,n) 不在第二象限的概率.(用树状图或列表法求解) ..

得 分

评卷人 21. (本小题满分8分)

教师节来临之际,群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花,每束由 4 支鲜花包装而成, 其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花, 同一种鲜花每支 的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息,求出第三束鲜花的价格.

共计 19 元

共计 18 元

康乃馨 第三束 得 分 评卷人 22. (本小题满分 9 分)

水仙花

某大草原上有一条笔直的公路,在紧靠公路相距 40 千米的 A、B 两地,分别有甲、乙 两个医疗站,如图,在 A 地北偏东 45° 、B 地北偏西 60° 方向上有一牧民区 C.一天,甲医 疗队接到牧民区的求救电话,立刻设计了两种救助方案,方案 I:从 A 地开车沿公路到离牧 民区 C 最近的 D 处,再开车穿越草地沿 DC 方向到牧民区 C.方案 II:从 A 地开车穿越草 地沿 AC 方向到牧民区 C. 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的 3 倍. (1)求牧民区到公路的最短距离 CD. (2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案,哪一种方案比较合理?并说明理由. (结果精确到 0.1.参考数据: 3 取 1.73, 2 取 1.41) 北 东 C

45°

60° D 第 22 题图

A



得 分

评卷人 23.(本小题满分 9 分)

已知:如图,直线 y ? ? 3x ? 4 3 与 x 轴相交于点 A,与直线 y ? 3x 相交于点 P. (1)求点 P 的坐标. (2)请判断 ?OPA 的形状并说明理由. (3)动点 E 从原点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀速 运动(E 不与点 O、A 重合) ,过点 E 分别作 EF⊥ 轴于 F,EB⊥ 轴于 B.设运动 t 秒时, x y 矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为 S. 求:①S 与 t 之间的函数关系式. y ② 当 t 为何值时,S 最大,并求 S 的最大值. P

B O 得 分 评卷人 24. (本小题满分 9 分)

E

F 第 23 题图

A

x

, 已知: 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0), 顶点 C (1,?3 ), x 轴交于 A、 两点, A(?1 0) . 与 B
(1)求这条抛物线的解析式. (2)如图, AB 为直径作圆, 以 与抛物线交于点 D, 与抛物线对称轴交于点 E,依次连接 A、 D、 、 点 P 为线段 AB 上一个动点(P 与 A、 两点不重合), B E, B 过点 P 作 PM⊥AE 于 M, PN⊥DB 于 N,请判断

PM PN 是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由. ? BE AD (3)在(2)的条件下,若点 S 是线段 EP 上一点,过点 S 作 FG⊥EP ,FG 分别与边 AE、 .

BE 相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合,G 与 E、B 不重合),请判断 成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

PA EF 是否成立.若 ? PB EG
y E

M A D O P N B x

C 第 24 题图

济南市 2008 年高中阶段学校招生考试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.B 二、填空题 13.9 14. ( x ? 3)( x ? 1) 15. BD=CD,OE=OF,DE∥AC 等 16.4 17.15 三、解答题 18. (1)解: 2 x ? 2 ? 1 ? 0 .................................................................................................1 分 2x ? 1 ............................................................................................................. 2 分 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C

x?

1 2

............................................................................................................... 3 分 ................................................................................................ 4 分 .................................................................................................... 5 分 ...................................................................... 6 分

(2)解:解①得 x >-2 解②得 x <3

∴此不等式组的解集是-2<x<3 解集在数轴上表示正确 19.

............................................................................................ 7 分

(1)证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF ∵AC∥DF,∴∠F=∠ACB ∴△ABC≌△DEF ∴AB=DE ....................................................... 3 分 (2)解:过点 O 作 OG⊥AP 于点 G 连接 OF ..................................................... 4 分
A G E D O B C F

................................................................................... 1 分 ....................................................... 2 分
P

∵BE=CF,∴BE+EC= CF + EC 即 BC=EF

∵ DB=10,∴ OD=5 ∴ AO=AD+OD=3+5=8 ∵∠PAC=30° 1 1 ∴ OG= AO= ? 8 ? 4 cm ........................... 5 分 2 2 ∵ OG⊥EF,∴ EG=GF ∵ GF= OF 2 ? OG2 ? 52 ? 42 ? 3 ∴ EF=6cm ................................................. 7 分 20.解:组成的所有坐标列树状图为:

第 19 题图 2

第一次

1

-1

第二次

1 (1,1)

-1 (1,-1)

2 (1,2)

-2

1

-1 (-1,-1)

2

-2

(1,-2) (-1,1)

(-1,2) (-1,-2)

第一次

2

-2

第二次

1 (2,1)

-1 (2,-1)

2 (2,2)

-2 (2,-2)

1 (-2,1)

-1 (-2,-1)

2

-2

(-2,2) (-2,-2)

........................................ 5 分 或列表为:
第一次 第二次

1 (1,1) (1, ? 1) (1,2) (1, ? 2)

?1
( ? 1,1) ( ? 1, ? 1) ( ? 1,2) ( ? 1, ? 2)

2 (2,1) (2, ? 1) (2,2) (2, ? 2)

-2 ( ? 2,1) ( ? 2, ? 1) ( ? 2,2) ( ? 2, ? 2)

1 -1 2 -2

........................................ 5 分 方法一:根据已知的数据,点 ( m, n) 不在第二象限的概率为 方法二:1-

12 3 ? 16 4

4 3 .................................................................................................... 8 分 ? 16 4 21.解:设康乃馨每支 x 元,水仙花每支 y 元 ........................................................... 1 分
?3x ? y ? 19 由题意得: ? ?2 x ? 2 y ? 18 ?x ? 5 解得: ? ?y ? 4

................................................................................... 4 分

......................................................................................................... 6 分 ............................................................... 7 分

第三束花的价格为 x ? 3 y ? 5 ? 3 ? 4 ? 17

答:第三束花的价格是 17 元. ........... ............................................................... 8 分 22.解:(1)设 CD 为 x 千米, 由题意得,∠CBD=30° ,∠CAD=45° ∴ AD=CD=x ...................................... 1 分

在 Rt△BCD 中,tan30° = ∴ BD= 3x

x BD
45°

C

...................................... 2 分

60° D

AD+DB=AB=40 ∴ x ? 3x ? 40 ................................3 分
A



第 22 题图 解得 x ≈14.7 ∴ 牧民区到公路的最短距离 CD 为 14.7 千米. ................................................. 4 分 (若用分母有理化得到 CD=14.6 千米,可得 4 分) (2)设汽车在草地上行驶的速度为 v ,则在公路上行驶的速度为 3 v , 在 Rt△ADC 中,∠CAD=45° ,∴ AC= 2 CD 方案 I 用的时间 t1 ?

AD CD AD ? 3CD 4CD ............................................... . 5 分 ? ? ? 3v v 3v 3v
AC ? v 2CD .......................................................................... . 6 分 v

方案 II 用的时间 t2 ? ∴ t2 ? t1 ? =

2CD 4CD ? v 3v

(3 2 ? 4)CD ....................................................................................................... . 7 分 3v

∵ 3 2 ? 4 >0 ∴ t2 ? t1 >0 .......................................................................................................... . 8 分 ............................................................. . 9 分

∴方案 I 用的时间少,方案 I 比较合理

? y ? ? 3x ? 4 3 ? 23.解: (1) ? ? y ? 3x ?
?x ? 2 ? 解得: ? ?y ? 2 3 ?

..................................................................................... 1 分

.................................................................................................... 2 分

∴ P 的坐标为(2, 2 3 ) 点

........................................................................................ 3 分

(2)将 y ? 0 代入 y ? ? 3x ? 4 3
? 3x ? 4 3 ? 0 ∴ x ? 4 ,即 OA=4 ..................................................................................................... 4 分

做 PD⊥OA 于 D,则 OD=2,PD=2 3
2 3 ? 3 2 ∴∠ POA=60° .......................................................................................................... 5 分

∵tan∠ POA=

∵OP= 22 ? (2 3)2 ? 4

∴ POA 是等边三角形. △

......................... 6 分
y

(3)① 当 0<t≤4 时,如图 1 在 Rt△EOF 中,∵ EOF=60° ∠ ,OE=t ∴ EF=

P

1 3 t,OF= t 2 2
B

E

∴ S=

1 3 2 · EF= OF· t ................................ 7 分 2 8

O

F

D

A

x

当 4<t<8 时,如图 2 设 EB 与 OP 相交于点 C 易知:CE=PE=t-4,AE=8-t ∴ AF=4-

第 23 题图 1

1 3 t ,EF= (8-t) 2 2

y P

∴ OF=OA-AF=4-(4- ∴ S=

1 1 t)= t 2 2
B C

1 (CE+OF)· EF 2

E

=

1 1 3 (t-4+ t)× (8-t) 2 2 2

A O F x

=-

3 3 t 2 +4 3 t-8 3 .................................. 8 分 8

第 23 题图 2

② 当 0<t≤4 时,S= 当 4<t<8 时,S=- t=

3 2 t , t=4 时,S 最大=2 3 8

3 3 16 8 3 t 2 +4 3 t-8 3 =- 3 (t- ) 2 + 3 8 8 3 3

16 8 3 时,S 最大= 3 3 8 16 8 3 >2 3 ,∴ t= 时,S 最大= 3 ........................................................ 9 分 ∵ 当 3 3 3
24.解:(1)设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 1)2 ? 3 将 A(-1,0)代入: 0 ? a(?1 ? 1) 2 ? 3 .................................................... 1 分

∴ a?

3 4

.......................................... 2 分

3 3 3 9 ∴ 抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)2 ? 3 ,即: y ? x2 ? x ? ............................ 3 分 4 4 2 4
(2)是定值,

PM PN ? ? 1 ...................................................................................... 4 分 BE AD ∵ AB 为直径,∴ ∠AEB=90° ,∵PM⊥ AE,∴PM∥BE

∴ △APM∽△ABE,∴ 同理:

PM AP ① ? BE AB
.............................................................................................. 5 分

PN PB ? AD AB



PM PN AP PB ? ? ? ? 1 ............................................................................ 6 分 BE AD AB AB (3)∵ 直线 EC 为抛物线对称轴,∴ EC 垂直平分 AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB 为等腰直角三角形. ∴ ∠EAB=∠EBA=45° ...................... 7 分 如图,过点 P 作 PH⊥BE 于 H, 由已知及作法可知,四边形 PHEM 是矩形, ∴ PH=ME 且 PH∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP=∠PHB=90° ∠EAB=∠BPH=45° , ∴ PH=BH 且△APM∽△PBH
① + ②: ∴ ∴

PA PM ? PB BH

PA PM PM ① .................... 8 分 ? ? PB PH ME 在△MEP 和△EGF 中, ∵ PE⊥FG, ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵ ∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF


PM EF ? ME EG



由①、②知:

PA EF ............................................................................................. 9 分 ? PB EG (本题若按分类证明,只要合理,可给满分)


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