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【数学】上海市松江二中11-12学年高一上学期期中考试 2


松江二中 11—12 学年度第一学期期中考试卷 高一数学
一、填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1.不等式

1 ? 1 的解集是 x



2.已知集合 M {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数, 则这样的集合共有 个。 3.已知命题 P 的逆命题是“若实数 a , b 满足 a ? 1 且 b ? 2 ,则 a ? b ? 4 ” ,则命题 P 的否 命题是 4.求函数 y ?

?2 x 2 ? 3x ? 2 的定义域 x2 ?1
1 2

5.函数 f ? x ? ? ( x 1 ? 2x)(0 ? x ? ) 的最大值是 6.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? 3 ? x 2 } , 则M ?N ? 7.函数 y ? x2 ? 2x 的定义域为[0,3],那么其值域为 8.已知 f(x)的定义域是[0,1],则 f (2 x) ? f ( x ? ) 的定义域为
2 9.设集合 A ? x x ? a ? 2 , B ? x ? x ? x ? 6 ? 0 ,若 A ? B ,

?

?

?

2 3

?

则 a 的取值范围是_______ ______。 10.若不等式 | ax + 2 |< 6 的解集是(-1,2) ,则实数 a 的值为 11.现有含盐 7%的食盐水 200 克,生产需要含盐大于 5%且小于 6%的食盐水,设需要加入含 盐 4%的食盐水 x 克,则 x 的范围是 。 12.已知关于 x 的不等式 x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 在[-1,3]上恒成立, 则 a 的取值范围是 .
2

二、选择题(每题 3 分,共 12 分) 13.若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
2 2





A. a ? b

B. ab ? b

2

C.

b a ? ?2 a b

D. | a | ? | b |?| a ? b | ( )

14.下列各对函数中,图象完全相同的是 A. y ? x, y ? C. y ?
2

x2

? x? , y ? x

x 0 B. y ? , y ? x x
D. y ?

x ? 1 x ? 1, y ?


?x ? 1??x ?1?


15.下列图象可作为函数 y ? f ( x) 的图象的是

16. “ x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ?
2

3 ”的 2

( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



A.充分不必要条件 C.充要条件 三、解答题 17.已知关于 x 的不等式

a?x ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ? 1 的解集为 Q 。 x ?1 (1)若 a ? 3 ,求 P ; (2)若 P ? Q ? P ,求正数 a 的取值范围。

18.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位: 元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,求出最小总费用。

2

a

x

19.解关于 x 的不等式 (a ?1) x2 ? (2 ? a) x ?1 ? 0 。

20.已知 a, b, x, y ? (0, ??) , (1)求证:

a 2 b2 (a ? b)2 ,并指出等号成立的条件; ? ? x y x? y 2 9 1 ( x ? (0, )) 的最小值,并求出等号成立时的 (2)利用此不等式求函数 f ( x) ? ? x 1? 2x 2 x 值.

21.对 a、b ? R ,记 max?a, b? ? ? (1)求 f ?0? , f ? ?4? ; (2)作出 f ( x) 的图像;

?a, a ? b 2 ,函数 f ? x ? ? max ? x , ? x ? 2 x ? 2? ? x ? R ? b , a ? b ?

(3)若关于 x 的方程 f ?x ? ? m 有且仅有两个不等的解,求实数 m 的取值范围.

松江二中 11—12 学年第一学期期中考试卷答案 高一数学
一、填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1.不等式

1 ? 1 的解集是 (0,1) ; x

2.已知集合 M {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数, 则这样的集合共有 6 个。 3.已知命题 P 的逆命题是“若实数 a , b 满足 a ? 1 且 b ? 2 ,则 a ? b ? 4 ” ,则命题 P 的否 命题是” 若实数a, b满足a ? b ? 4, 则a ? 1或b ? 2 ” 4.求函数 y ?

?2 x 2 ? 3x ? 2 1? ? 的定义域 ? ?2, ?1? ? ? ?1, ? 2 2? x ?1 ?
1 2

5.函数 f ? x ? ? ( x 1 ? 2x)(0 ? x ? ) 的最大值是

1 8

6.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? 3 ? x 2 } , 则 M ? N ? [?1, 3] 7.函数 y ? x2 ? 2x 的定义域为[0,3],那么其值域为 [?1, 3] 8.已知 f(x)的定义域是[0,1],则 f (2 x) ? f ( x ? ) 的定义域为 [0, ]
2 9.设集合 A ? x x ? a ? 2 , B ? x ? x ? x ? 6 ? 0 ,若 A ? B ,

?

?

?

2 3

?

1 3

则 a 的取值范围是 [0,1] 。 10.若不等式 | ax + 2 |< 6 的解集是(-1,2) ,则实数 a 的值为 ?4 11.现有含盐 7%的食盐水 200 克,生产需要含盐大于 5%且小于 6%的食盐水,设需要加入含 盐 4%的食盐水 x 克,则 x 的范围是 100 ? x ? 400 。 12.已知关于 x 的不等式 x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 在[-1,3]上恒成立, 则 a 的取值范围是 a ? ?2 .
2

二、选择题(每题 3 分,共 12 分) 13.若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
2 2

( D )

A. a ? b

B. ab ? b

2

C.

b a ? ?2 a b

D. | a | ? | b |?| a ? b | ( B )

14.下列各对函数中,图象完全相同的是 A. y ? x, y ? C. y ?
2

x2

B. y ? D. y ?

? x? , y ? x

x , y ? x0 x

x ? 1 x ? 1, y ?


?x ? 1??x ?1?
D )

15.下列图象可作为函数 y ? f ( x) 的图象的是

16. “ x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ?
2

3 ”的 2



A )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 三、解答题(10 分+10 分+10 分+10 分+12 分) 17.已知关于 x 的不等式

a?x ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ? 1 的解集为 Q 。 x ?1 (1)若 a ? 3 ,求 P ; (2)若 P ? Q ? P ,求正数 a 的取值范围。
解: (1) a ? 3 ,由

3? x x?3 ? 0 ,得 ?0 x ?1 x ?1

????(2 分) ????(4 分) ????(6 分) ????(8 分)

所以 P ? ?x | ?1 ? x ? 3? (2) Q ? x | x ? 1 ? 1 ? ? x | 0 ? x ? 2?

?

?

? a ? 0 ,∴ P ? ?x | ?1 ? x ? a?

? P ? Q ? P,?Q ? P

????(9 分)

所以 a ? 2 ,即 a 的取值范围是 ? 2, ??? ????(10 分) 18.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位: 元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,求出最小总费用。
2

a

x

解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m 则 y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 , x
6分

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II) ? x ? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 x

3602 3602 ? y ? 225x ? ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= 时,等号成立. 10 分 x x
19.解关于 x 的不等式 (a ?1) x2 ? (2 ? a) x ?1 ? 0 。 解: (1) a ? 1 时, x ? 1 ? 0 即 x ? 1 2分

1 )( x ? 1) ? 0 1? a 1 1 ?1 ∴ ? x ?1 ∵ 1? a 1? a 1 )( x ? 1) ? 0 (3) a ? 1 时, ( x ? 1? a 1 a ?1 ? ∵ 1? a 1? a 1 1 ? 1 ,∴ x ? 或x ? 1 ∴ 若 0 ? a ? 1 时, 1? a 1? a 1 ? 1 ,∴ ( x ? 1)2 ? 0 即 x ? 1或x ? 1 若 a ? 0 时, 1? a 1 1 ?1, ∴ x ? 或x ? 1 若 a<0 时, 1? a 1? a 1 或x ? 1 ; a ? 0 时, x ? 1 综合:若 a<0 时, x ? 1? a 1 或x ? 1 ; a ? 1 时, x ? 1 若 0 ? a ? 1 时, x ? 1? a 1 a ? 1 时, ? x ?1 1? a 20.已知 a, b, x, y ? (0, ??) ,
(2) a ? 1 时, ( x ? (1)求证:

5分

6分 7分 8分

10 分

a 2 b2 (a ? b)2 ,并指出等号成立的条件; ? ? x y x? y 2 9 1 ( x ? (0, )) 的最小值,并求出等号成立时的 (2)利用此不等式求函数 f ( x) ? ? x 1? 2x 2 x 值. a 2 b 2 ( a ? b) 2 (ay ? bx)2 解: (1) ? ? ??? x y x? y xy ( x ? y )

∵ a, b, x, y ? (0, ??)

∴ xy( x ? y) ? 0 , (ay ? bx)2 ? 0 3分 5分
2

a 2 b2 (a ? b)2 ? ? x y x? y 等号当且仅当 ay ? bx 时成立
(2) f ( x) ?

2 9 4 9 (2 ? 3) ? ? ? ? ? 25 7分 x 1 ? 2x 2x 1 ? 2x 2x ?1 ? 2x 1 1 等号当且仅当 2(1 ? 2 x) ? 3 ? 2 x 即 x ? ? (0, ) 时成立 9 分 5 2 1 所以, x ? 时, f ( x ) 的最小值为 25 10 分 5 ?a, a ? b 2 21.对 a、b ? R ,记 max?a, b? ? ? ,函数 f ? x ? ? max ? x , ? x ? 2 x ? 2? ? x ? R ? b , a ? b ? (1)求 f ?0? , f ? ?4? ; (2)作出 f ( x) 的图像; (3)若关于 x 的方程 f ?x ? ? m 有且仅有两个不等的解,求实数 m 的取值范围.
解: (1) f ?0? ? 2 , f ?? 4? ? 4 (2)如图 (3) ( 4分 8分 12 分

17 ? 3 , 2) ? (3, ??) 2


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