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高中数学第一章集合13集合的基本运算集合学习中的五大误素材素材北师大版必修1

集合学习中的五大误区 集合是高中数学的基本概念, 同时也是最难以理解的概念之一, 尤其在解题时容易出现 以下五个误区. 1.符号意义不清晰 例 1 在① ? ? ???;② ? ? ???;③若 A ? ?0,1?, B ? ?x | x ? A?,则 A ? B 中,正 确的叙述有几个? 误解:1 个(或 2 个). 正解: ???是含有一个元素“ ? ”的非空集合,按规定 ? 是任何非空集合的真子集, 从而①②均正确, 对于③,B ? ??, ?0?, ?? 故 A ? B 正确. 综上, 正确的叙述有 3 个. 1 , ?0,1?? , 2.忽略“互异”致增解 例2 A?? 1,4, a?, B ? 1, a 2 , B ? A ,求 a . 2 2 ? ? 1. 误解:由 a ? 4或a ? a得:a ? ?2或0, 正解: a ? 1 时, A,B 中分别出现相同元素,应舍去,故 a ? ?2或0 . 3.忽略空集漏特例 例3 A ? ?3,?1?, B ? ?x | ax ? 1 ? 0?, B ? A ,求 a . ?1 ? ?a ? 1 3 误解: B ? ? ? ,从而 a ? ?1或 . 正解:当 B ? ? 时, a ? ?1或 ; 当 B ? ? 时, a ? 0 . 故 a ? ?1或 . 例4 1 3 1 3 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,B ? x | x 2 ? mx ? 2 ? 0 ,若A ? B ? B,求m . ? ? ? ? 1 , 2? ,B ? A, 1?? ,2?或? 1, 2?.其中 B ? ? 1, 2?时,符合题意,得: 误解: A ? ? 从而 B ? ? m ?3. 正解:当 B ? ? 时, m ? 3 ; 当 B ? ? 时, ? ? m2 ? 8 ? 0,?2 2 ? m ? 2 2 . 1 4.代表元素误理解 例5 2 2 已知 A ? y | y ? x ? 1 , B ? x | y ? 1 ? x , 求A ? B . ? ? ? ? 2 ? ?y ? x ?1 误解:由 ? 得: 2 ? ?y ? 1? x ? 1, ?. A ? B ?( 0),(? 1, 0) 正解:集合 A 表示 y ? x 2 ? 1 的值域 [?1 ,集合 B 表示 y ? 1 ? x 2 的定义域 , ? ?) [ ?1, 1] ,从而 A ? B ? [ ?1, 1] . 5.集合转化不等价 例 6 已知集合 A ? x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 为一元集,求 a 的值. 2 误解: 集合 A 为一元集, 即方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两等根, 由 ? ? 4 ? 4a ? 0 得 a ? 1 . ? ? 正解:当 a ? 0 时,由 ? ? 4 ? 4a ? 0 得 a ? 1 ; 当 a ? 0 时, A ? ?? ? 1? ? 也符合题意. ? 2? ? ? x?a ? ? 1? 为一元集,求 a 的值. 2 x ?1 ? 5 . 4 例 7 已知集合 A ? ? x | 误解:由 A 得: ? ? 0 得: a ? ? 正解:当 x ? 1 ? 0 时, a ? ? 2 5 ; 4 2 当 x ? 1 时,由 x ? x ? a ? 1 ? 0 得 a ? ?1 ,此时 A ? ? x | ? ? x ?1 ? ? 1? ? ?0?符合题意; 2 x ?1 ? 同理 x ? ?1 时, a ? 1 也符合题意. 综上, a ? ? 5 或 ?1. 4 2